1、考研数学（数学一）模拟试卷 295 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 f(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记则它们的大小关系为（A）I 123（B） I312（C） I213（D）I 3213 若 f(一 1， 0)为函数 f(x， y)=e-x(ax+by2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是（A）a0 ，b=a+1（B） a0，b=2a（C） a1（C） 00 时， x2f(x)dx=arcsinx+c，F(x)是 f
2、(x)的原函数，满足 F(1)=0，则 F(x)=_.10 函数 的值域区间是_11 若 的收敛域是(一 8，8，则 的收敛半径是_12 设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有定义，且满足： f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x 一 x0)+b(yy0)+a()(0) ，其中 a，b 为常数 则13 已知 则 Ax=0 解空间的规范正交基是 _14 设每次试验的成功率为 p(0 则 Y 的数学期望为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 n 为自然数， 证明：15 f(x)在0，+)取最大值并求出最大值点；16 17 求不定积分17 设 f(x，y)，(x，y
3、) 均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x，y)在条件(x，y)=0 下的极值点，又 (x0，y 0)0，求证：18 19 曲面 z=f(x，y)与柱面 (x，y)=0 的交线 F 在点 P0(z0，y 0,z0)(z0=f(x0，y 0)处的切线与 xy 平面平行20 设函数 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且又 C，是以原点为心，半径为 r 的圆周，取逆时针方向，求21 求 的和21 已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2)T， 2=(1，2，一 1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是
4、 1=(1，1，2，1)T， 2=(0，一 3，1，a) T，22 求矩阵 A；23 如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解23 已知 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 是 3 维线性无关列向量，且 A1=31+3223，A 2=一 2A3=81+625324 写出与 A 相似的矩阵 B；25 求 A 的特征值和特征向量；26 求秩 r(A+E)26 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y i)(i，j=1，2)，且试求：27 二维随机变量(X，Y) 的联合概率分布；28 X 与 Y 的相关系数 xy；29 条件概率 PY=yxX=x 1，
5、j=1 ，229 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为30 求未知参数 的矩估计量；31 若样本容量 n=400，置信度为 095，求 的置信区间考研数学（数学一）模拟试卷 295 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价无穷小因子替换：x0 时 ln(1+sin2x2)sin2x2x4；tan(1-cosx) 2(1-cosx)2 故应选B2 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】因此 I312，故选B【 分
6、析二】 因此I312，故选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 应用二元函数取极值的必要条件得所以 b=2a由于B=fxy(一 1，0)=2ye-x (1,0)=0，C=f yy(一 1，0)=一 2e-x (1,0)=一 2e，=ACB 2=2e2(3ab)，再由二元函数取极值的必要条件0 得 3ab0于是常数 a，b 应满足的条件为a0，b=2a故应选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 D 是如图所示的正方形区域，它关于原点对称，用直线 x+y=0 将 D 分成 D1 与 D2(D1，D 2 关于原点对称 y对(x，y)是偶函数(f( 一 xy)=f(x，y)，于是D1 关于 y=x 对
7、称，用直线 y=x 将 D1 分成 D11与 D12，D 1=D11uD12，f(x，y)=f(y,x) 于是因此 选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以 B 正确注意方程组有唯一解不要求方程的个数 m 和未知数的个数 n 必须相等，可以有 mn例如 方程组 Ax=b 有尤穷多解 的列数当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩 r(A)必小于方程的个数，例如6 【正确答案】 C【试题解析】 有 n 个线性尤关的特征向量记 C 项的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而 那么 nr(EC)=3 一 2=1
8、说明齐次线性方程组(EC)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以 C 不能对角化故选 C.7 【正确答案】 D【试题解析】 利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论又所以故选 D.8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X1，X 2，X n+1相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时， cov(Xi，X j)=2，所以故选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】 按题意 为先求 f(x)，将求导得 【分析二】同前，求出 令 x=sint，则由 F(1)=0，定出 C=0F(x
9、)=10 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 F(x)是( 一 ，+)上连续的偶函数，且由F(x) 在（-，0） 在（0，+） 由于 F(0)=0，又 因此，函数F(x)的值域区间是11 【正确答案】 2【试题解析】 由 的收敛域是(一 8，8可知， 有收敛域一 828 即一 2的收敛半径是 2，从而幂级数 的收敛半径也是 2又因幂级数是幂级数 两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质知，幂级数 的收敛半径是 212 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x 一 x0)+b(yy0)+o()(0)f(x，y)在点(x0，y 0)处可微且13 【正确答案】 【试题
10、解析】 对 Ax=0 的系数矩阵 A 作初等行变换，有得基础解系 1=(1，5，3，0) T， 2=(一 2，一1，0，3) T 正交化有 1=1=(1，5，3，0) T，单位化得14 【正确答案】 【试题解析】 设 X 表示“取得首次成功所需进行的试验次数 ”，则 X 服从几何分布，即 Px=n=Pqn-1，n=1，2 ，其中 q=1 一 p而故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 求 f(x)，考察 f(x)的单渊性区间由于因此，当 x1 时仅当x=k(k=1，2，)时 f(x)=0于是，f(x) 在0，1单调上升，f(x)在1，+)单调下降f(x)16 【
11、正确答案】 方法 1。估计 就是估计积分值 由sintt(t0) 方法 2。因为当 t1 时，t t20，所以 因此17 【正确答案】 【分析与求解一】作变量替换 ，则有再分部积分得其中于是根据三角形示意图，易变量还原得【分析与求解二】为了作分部积分，先求同样由三角形示意图，变量还原得于是分部积分得18 【正确答案】 由题设条件方程 (x，y)=0 在点 M0 邻域确定隐函数 y=y(x)，且满足 y(x0)=y0M 0 点是 z=f(x，y) 在条件 (x，y)=0 下的极值点 z=fx，y(x)以x=x0 为极值点它的必要条件是由 x，y(x)=0及隐函数求导法得 代入(*)得19 【正确
12、答案】 空间曲线 在 P0(x0,y0，z 0)处的切线的方向向量(切向量)为 T 与 xy 平面平行20 【正确答案】 记 Cr 围成的圆域为 Dx,y，从线积分 的形式看，可在 Dr 上用格林公式，将此线积分化为三重积分，即因此21 【正确答案】 【分析与求解一】记 引入幂级数，把求数值级教的和 S 转化为求幂级数的和令再求幂级数与有相同的收敛半径 R=1注意幂级数当 x=1 时收敛，又和函数S(x)在 x=1 连续，由幂级数在收敛区间端点的性质【分析与求解二】先对作分解，即为求，引入幂级数 则因此，22 【正确答案】 记 C=(1， 2)，由 AC=A(1， 2)=0 知 CTAT=0，
13、则矩阵 AT 的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTX=0 的解对 CT 作初等行变换，有 得到 CTx=0 基础解系为 1=(3，一 1，1，0)T， 2=(一 5，1，0，1) T所以矩阵23 【正确答案】 设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 y，则 y 既可由1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出，故可设 y=x11+x22 一 x31x42，于是 x11+x22+x31+x42=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有y0 x1，x 2，x 3，x 4 不全为 0 秩r(1， 2， 1， 2) a=0当 a=0 时，解出 x4=t，x
14、 3=一 t，x 2=一 t，x 1=2t因此Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 y=2t1t2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数24 【正确答案】 由于 A(1,2,3)=(31+3223 一 2，8 1+6253)令 P=(1,2,3)，因 1,2,3 线性无关，故 P 可逆记，则有 P-1AP=B，即 A 与 B 相似25 【正确答案】 由 可知矩阵 B 的特征值为一 1，一 1，一 1，故矩阵 A 的特征值为一 1，一 1，一 1对于矩阵 B，由得特征向量(0，1，0) T，(一 2，0，1) T，那么由 B= 即(P -1AP)=，得 A(P)=(P)所以是 A 的特征
15、向量，于是 A 属 jf 特征值一 1 的所有特征向量是 k12+k2(一 21+3)，其中 k1，k 2 不全为026 【正确答案】 由 AB 有 A+EB+E ，故 r(A+E)=r(B+E)=127 【正确答案】 因 X 与 Y 独立，所以有或于是(X，Y)的联合概率分布为28 【正确答案】 由(I)知 X 与 Y 独立，因此它们的相关系数 PXY=029 【正确答案】 因 X 与 Y 独立，所以 PYi)X=x 1=PY=yjj=1，2，于是有【试题解析】 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2 与 y1，y 2，且又题设 于是有PX=x1Y=y 1=PX=x1，即事件X=x 1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件X=x 2与Y=y 1独立，且X=x 1与Y=y 1的对立事件y=y 2独立；X=x 2与y=y2独立，即 X 与 Y 相互独立30 【正确答案】 要求 0 的矩估计量，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系记 =EX，则 的矩估计量为 其中31 【正确答案】 尽管总体 X 不是正态总体，但由于样本容量 n=400 属大样本，故也近似服从标准正态分布，即总体 X 的期望值 的置信区间公式仍是其中 满足 由于 1 一=095，因此 而 S 是样本标准差 注意到是 的严格递增函数， n=400， ，因此 的置信区间为
