1、考研数学（数学一）模拟试卷 307 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，f(0)=0，f (0)=0，f (0)=0，f (0)0则 ( )（A）（B）（C）（D）2 设 则 F(x)在 x=0 处( )（A）不存在极限（B）存在极限但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 设 则 f(x，y)在点 O(0，0)处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可微（D）可微4 下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续则 f(x)在(一,+) 上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在( 一 ，+)上有
2、界 设 f(x)在(一，+)上为正值的连续函数，则 在(一 ，+)上也是正值的连续函数设f(x)在(一，+)上为正值的有界函数，则 在(一，+) 上也是正值的有界函数其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在 n 阶可逆阵 P，使得下列关系式 PA=B P -1ABP=BA P-1AP=B P TA2P=B2 成立的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A 是 3 阶矩阵， 1=1，2，一 2T， 2=2，1，一 1T， 3=1，1，t T 是线性非齐次方程组 Ax=b 的解向量，其中 b=1，3，一 2T，
3、则 ( )（A）t=一 1 时，必有 r(A)=1（B） t=一 1 时，必有 r(A)=2（C） t一 1 时，必有 r(A)=1（D）t=1 时，必有 r(A)=27 已知事件 A 与 B 的概率分别为 则 的可能取值为( )（A）0.2（B） 0.4（C） 0.6（D）0.88 设随机变量 X 的分布律为 则 EX=( )（A）（B）（C）（D）3二、填空题9 已知 f(x)=arctan(x 一 1)2，F(0)=0，则 =_.10 设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z=6+x2+y2(6z7)，定向取上侧则曲面积分 =_.11 设当 x0时，f(x)有连续的一阶导数，并且满足
4、 f(x)=一 1+27+则 f(x)=_12 设 l 为平面曲线 y=x2 从点 O(0，0) 到点 A(1，1)的有向弧，则平面第二型曲线积分 =_.13 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，a，b，c 是实数，已知则 =_.14 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，则当 PX=n最大时，n=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知ABC 的面积为 S，三边长分别为 a、b、c在该三角形内求一点 P，使该点到ABC 三边的距离的乘积为最大要求求出使乘积为最大时的这三个距离及此乘积的最大值16 计算17 设 f(u)为奇函数，且具有一阶连续导数，S 是由锥面
5、 两球面x2+y2+z2=1 与 x2+y2+z2=2(z0)所围立体的全表面，向外求18 设常数 a 0，积分 讨论 I1 与 I2 的大小，并给出推导过程19 适当选取函数 (x)，作变量变换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程u=0，求 (x)及常数 ，并求原方程满足 y(0)=1，y (0)=0 的特解19 设20 求E+f(A) -1；21 证明 f(f(A)=A，并计算B+f(f(A) -1，其中 B=21 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=一 2B，CA T=2C 其中22 求 A；23 证明：对任何 3 维向量
6、 ，A 100与 必线性相关23 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量 Y 服从 ，且 X 与 Y相互独立，令 Z=XY，记 fZ(z)为随机变量函数 Z 的概率密度函数，求24 fZ(z)；25 EX Y ，D XY26 设总体 X 的概率密度为 其中 ，(0 ，1)是未知参数，X 1，X 2，X n，是取自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数，求 ， 的最大似然估计考研数学（数学一）模拟试卷 307 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 作积分变量变换，命 u=
7、x 一 t，则上式右边极限仍为“ ”型，由题设 f(0)存在，故在 x=0 存在某邻域，在此邻域内 f(x)存存,所以对上式右边极限可再用洛必达法则，于是由于于是原式 故应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)在 x=0 处不连续不能用变上限求导定理，而应该先求出 F(x)再讨论之当 x0 时，则 当 x0 时，则即所以 F(x)在x=0 处连续但 故F(x)在 x=0 处不可导故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 所以 在点 O处连续，排除 A，B下面考察 C 所以 fx(0，0)=0 ，f y(0，0)=0 若在点 O(00)处可微，则应有但足上式并不成立，事实上，所以 f
8、(xy)在点 O(0，0)不可微故应选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 与 是正确的， 与是不正确的，理由如下： 是正确的设 x0(一，+)，则它必含于某区间 a,b中，由于题设 f(x)在任意闭区间(a，b上连续，故在 x0 处连续。所以在(一 ，+)上连续论证的关键之处是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续是正确的设 x0(一，+) ，所以 f(x0)0，且在 x0 处连续由连续函数的四则运算知 在 x0 处也连续，所以 上连续是不正确的反例：设f(x)=x，在区间 a,b上 这个界与a，b 有关，容易看出，在区间(一， +)上，f(x)=
9、x 就无界了 是不正确的反例：f(x)=e -y2，在区间(一， +)上 0f(x)1，所以 f(x)在(一 ，+) 上有界，而 在(一 ，+) 上无界。这是因为当 x 时 故应选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 逐个分析关系式是否成立式成立因为 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，故存在可逆阵 Q，Q，使 QA=E，WB=E( 可逆阵可通过初等行变换化为单位阵)，故有 QA=WB，W -1QA=B记 W-1Q=P，则有 PA=B 成立故 式成立式成立因为 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，可取 P=A，则有 A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA故式成立式不成立因为 AB 均是 n 阶实对称矩阵
10、，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即 A，B 之间不一定相似例如(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵 P，均有 P-1AP=P-1EP=EB故式不成立式成立因为 A，B 均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A 2，B 2 的特征值均大于零故 A2，B 2 的正惯性指数为n(秩为 n 负惯性指数为 0)，故 A2 B 存在可逆阵 P，使得 pTA2P=B2，故式成立由上分析，故应选 C【注】由本题可知，两个同阶可逆阵 A，B 必是等价的(由式 知)，且其积 AB，BA 必是相似的( 由式 知)但 A，B 不一定相似(由式知) ，但两个实对称可逆阵 A，B ，其
11、平方 A2 与 B2 一定是合同的(由式 知)6 【正确答案】 C【试题解析】 当 t一 1 时，r(B)=3法一 由 1， 2， 3 是 Ax=b 的解，t一 1 时，r(B)=3，知 1， 2， 3 线性无关 1 一 2， 2 一 3 是对应齐次方程组 Ax 一 0 的两个线性无关解，故 r(A)1，但 A0，( 若 A=0，则 Ax=b 无解，这和题设条件矛盾)故必有 r(A)=1，故应选C法二 又当 t一1，r(B)=3，则 B 是可逆阵，故 r(A)=r(AB)=rb， b，b=1故 C 成立，则 D 必不成立又 t=一 1 时，r(B)=2，则对应齐次方程组 Ax=0 有一个线性无
12、父解向量，故A 的秩可能是 1，也可能是 2，不能确定，故 A，B 都不成立7 【正确答案】 D【试题解析】 利用事件问运算与概率计算公式可得由加法公式和概率的基本性质得即 P(A)+P(B)一 1P(AB)minP(A)，P(B) (*)联合(*)(*)式解得 ，于是 故应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 随机变量 X 的分布律的递推关系式可化简为由(*)式呵知随机变量 X的分布律依赖于 PX=1，令 PX=1=C 利用分布律的归一性得解得 即随机变量 X 的分布律为即 所以 故应选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 0【试题解析】 添平面 S1： z=7
13、(x2+y21)，向下，11 【正确答案】 【试题解析】 两边对 x 求导两次，得 f(x)=2f(x)f(x)初始条件为 f(0)=一 1，f (0)=1上述方程可改写为 f(x)=(f(x)2，两边积分得 f(x)=(f(x)2+C1，由初始条件得出 C1=0于是 f(x)=(f(x)2分离变量后积分得 再由初始条件得C2=1即得解如上12 【正确答案】 e【试题解析】 命 P(x,y)=yFy2，Q(x,y)=xe y2+2xy2ey2，有 曲线积分与路径无关方法一 改取路径 y=x，方法二 用原函数法ye y2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=ey2(ydx 一 xdy)+xyd
14、ey2=d(xyey2)13 【正确答案】 (cb)a【试题解析】 14 【正确答案】 2【试题解析】 随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，于是 当 为非正整数，n=时，PX=n最大事实上 即得PX=+1PX=)又 即得 PX=PX=一1根据上述分析可得当 n=时，PX=n最大三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设点 P 到三边 a、b、c 的距离分别为 x、y、z ，于是即 ax+by+cz 一 2S=0命 F(x，y，z，)=xyz+(ax+by+cz 一2S)，由拉格朗日乘数法， 解得当点 P 在三角形的边上时，xyz=0而 P 在三角形内部时，xyz
15、0所以当点 P 在三角形内部时，乘积 xyz 有最大值今求得唯一的(x，y， z)所以当 时，xyz 最大，最大值为16 【正确答案】 化成球面坐标17 【正确答案】 由条件知，可以用高斯公式，记 S 所包围的有界区域为 ，于是因为 f 是变元的奇函数，所以 f(xy)是 x 的偶函数，xf (xy)是 x 的奇函数，所以 同理 从而18 【正确答案】 当时， 从而 且 cosxsinx于是知I1I 2即19 【正确答案】 于是原方程化为 令 x(x)+2(x)=0，解之，取 于是经计算，得原方程化为解得 u=C1+C2x于是得原方程的通解为 再由初始条件 y(0)=1，y (0)=0 得 C
16、1=1，C 2=0，故得特解20 【正确答案】 E+f(A) -1=E+(EA)(E+A) -1-1=(E+A)(E+A)-1+(EA)(E+A)-1-1=2E(E+A)-1-1= (E+A)21 【正确答案】 利用(I)，先证 f(f(A)=E 一 f(A)E+f(A)-1=E(EA)(E+A) -1(E+A)= (E+A)一(EA)=A故22 【正确答案】 由题设条件AB= 一 2B，将 B 按列分块，设 B=1， 2， 3，则有 A1， 2， 3=一 21， 2， 3，即 i=一 2i，ji=1，2，3故 i(i=1，2，3)是A 的对应于 =一 2 的特征向量，又因 1， 2 线性无关
17、， 3=1+2故 1， 2 是 A的属于 =一 2 的线性无关特征向量，CA T=2C,两边转置得 ACT=2CT，将 CT 按列分块，设 CT=1,2,3，则有 A1,2,3=21,2,3，Ai=2i，i=1，2，3a，(i=1 ，2，3)是 A 的属于 =2的特征向量，因 1,2,3 互成比例，故 1 是 A 的属于特征值 =2的线性无关的特征向量取 P=1， 2， 1，则 P 可逆，且 ，A=PAP -1，其中 P-1 计算如下： 所以23 【正确答案】 因 Ai=一 2i，(i=1 ，2)，故 A100i=(一 2)100i=2100i.(i=1，2)，A1=21，故 A1001=21
18、001 对任意的 3 维向量 1，因 1， 2 1 线性无关， 可由 1， 2， 1 线性表示，且表示法唯一 设 =11+22+31，则A100=A100(11+22+31)=1A1001+2A1002+3A1001=121001+2100+321001=2100(11+22+31)=2100得证 A100和 成比例，A 100和 线性相关24 【正确答案】 Z 的取值范围为(一 1，+) 当 z一 1 时，F Z(z)=0；当一 1z0时，F Z(z)=PZz)=PXY2=PY=0).PXYzY=0)+PY=1).PX YzY=1)= PXz)+PXz+1)= 1 一 e-(x+1)；当 z0 时，F Z(z)= 1 一 e-z+1e-(z+1)于是25 【正确答案】 26 【正确答案】 首先检验总体 X 的概率密度函数是否满足规范性，由规范性得解得 =1一 在此基础上对未知参数 进行估计记似然函数为L()，则 当0x i1，x iN1，1x iN+1，x i2 时，两边取对数得 lnL()=NIn+(n 一 N)ln(1 一 )令 解得 因此 的最大似然估计为进而【试题解析】 首先利用归一性求解参数之间的联系，再对两个参数进行最大似然估计
