1、考研数学（数学一）模拟试卷 345 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲面 x2 +cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，-1)处的切平面方程为（A）x-y+z=-2（B） x+y+z=0（C） x-2y+z=-3（D）x-y-z=02 的定义域是 （A）(， 5)(5，+)（B） (，6) (6，+)（C） (，4) (4，+)（D）(， 4)(4，5) (5，6)(6，+)3 4 5 6 7 商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品则原先售出的一台是次品的概率为（A）（B）（C）
2、（D）8 二、填空题9 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.10 11 12 13 14 (2004 年试题，一) 欧拉方程 的通解为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 f()在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式.15 验证 .16 若 f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f()的表达式17 试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)， 其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小18 19 20 21 22 (2002 年试题，五) 计算二重积分 其中 D=
3、(x，y)10x1，0y123 (2004 年试题，三) 设有方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 收敛24 一个计算机硬件公司生产一种型号的微型芯片，每一芯片有 01的概率为次品，且各芯片是否成为次品是相互独立的求 1 000 块芯片中至少有两块是次品的概率，分别用二项分布和泊松分布近似来计算考研数学（数学一）模拟试卷 345 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【知识模块】 综合3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A
4、【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 设 A 表永“第一次取出是次品”，B 表示“在余下的洗衣机中任取两台为正晶”，则由全概率公式，有由贝叶斯公式，可得故应选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 7【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 5【试题解析】 14 【正确答案】 题设所给为二阶欧拉方程，令 x=et，则一并代回原方程得 此为二阶常系数线性齐次方程相应特征
5、方程为 2+3+2=0，可解得特征根为 1=一 1， 2=一2，则通解为 y=C1e-t+C2e-2t，所以原方程通解为【试题解析】 对于二阶欧拉方程 x2y+pxy+qy=f(x)(p，q 为常数)，可令x=et(t=lnx)得 代入原方程后可化为二阶常系线性微分方程f(e)【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 把 ex 的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 e x=1+x+1/2x2+1/6x3+ox3， 代入经整理可得
6、 e x(1+Bx+Cx2)-(1+Ax)=(1-A+B)x+(1/2+B+C)x2+(1/6+B/2+C)x3+o(x3) 从而使得 ex(1+Bx+Cx2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 凡积分域是由抛物面与其它曲面所围成之形体，一般用柱坐标计算为宜在22 【正确答案】 由于题设所给被积函数为 emax(x1,y1)，因此应将积分区域 D 分块，分别求相应部分的积分值再累加，由已知 D=(x，y)0x1，0y1，则如图 1一 64 所示显然应将 D 划分为 D1 与 D2 两部分，在 D1 上 maxx2，y 2=x
7、2，在D2 上 maxx2，y 2=y2，由此解析二由于被积函数中的 x，y 具有可交换性，即 f(x，y)=emax(x2,y2)=f(y，x)，f(x，y)关于直线 y=x 对称，故而【知识模块】 章重积分23 【正确答案】 由题设，引入辅助函数 f(x)=xn+nx 一 1 则关于原方程存在唯一正实根的讨论转化为讨论函数 f(x)的零点因为 f(0)=一 10，则由连续函数的零点定理知，f(x)在0,1 内存在零点，设其为 xn，即 xn(0，1)，且 f(xn)=0；又，f (x)=nxn1 +n，当 x0 时 f(x)0，所以 f(x)在0，+) 上严格单调递增，从而 xn 是 f(x)在(0， +)上唯一零点，即原方程 xn+nx 一 1=0 在(0，+)上存在唯一正实根xnn由 xn+nxn 一 1=0 及 xn(0，1)知 所以当 1 时，由正项级数 收敛及比较判别法知， 收敛(1)【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 P1 000 块芯片中至少有两块次品 )=1-P1 000 块芯片中至多有一块次品 =1-b(0；1 000,0 001)-6(1；1000，0.001) 1-2e -10264 241【知识模块】 函数、极限、连续
