1、考研数学（数学一）模拟试卷 407 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x表示不超过 x 的最大整数，则 x=0 是 f(x)= 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2 设 f(x，y)为连续函数，D=(x，y)|x 2+y2t2，则（A）f(0，0)（B） -f(0，0)（C） f(0，0)（D）不存在3 以下四个命题，正确的个数为( ) 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 -+f(x)dx 必收敛，且 -+f(x)dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续，且存在，则 -+f(x)dx 必收敛，且 -+
2、f(x)dx= 若 -+f(x)dx 与 -+g(x)dx 都发散，则 -+f(x)dx+g(x)dx 未必发散；若 -0f(x)dx 与0+f(x)dx 都发散，则 -+f(x)dx 未必发散。（A）C 1y1+(C2 一 C1)y2+(C1 一 C2)y3。（B） C1y1+(C2 一 C1)y2+(1 一 C2)y3。（C） (C1+C2)y1+(C2 一 C1)y2+(C1C2)y3。（D）(C 1+C2)y1+(C2 一 C1)y2+(1 一 C2)y3。4 设 p(x)，g(x)，f(x)均是关于 x 的连续函数，y 1(x)，y 2(x)，)，y 3(x)是)，y“+p(x)y+
3、q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解， C1 与 C2 是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )（A）(C 1+C2)y1+(C2 一 C1)y2+(1 一 C2)y3（B） (C1+C2)y1+(C2 一 C1)y2+(C1C2)y3（C） C1y1+(C2 一 C1)y2+(1 一 C2)y3（D）C 1y1+(C2 一 C1)y2+(C1 一 C2)y35 设矩阵 Amn 经过若干次初等行变换后得到 B，现有 4 个结论，其中正确的是( ) A 的行向量均可由 B 的行向量线性表示； A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示； B 的行向量均可由 A 的行向量线性表示；
4、 B 的列向量均可由 A 的列向量线性表示。（A）、（B） 、（C） 、（D）、6 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是( )（A）矩阵 A 是不可逆的（B）矩阵 A 的主对角元素之和为 0（C） 1 和一 1 所对应的特征向量正交（D）Ax=0 的基础解系由一个向量构成7 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为PY=1=PY=一 1= ，则 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数（B）恰有一个间断点的阶梯函数（C）恰有一个间断点的非阶梯函数（D）至少有两个间断点8 设随机变量 X 服从分布 F(n，n)，记 P1=Px1， P
5、2= ，则( )（A）P 1P 2（B） P1P 2（C） P1=P2（D）因 n 未知，无法比较 P1，P 2 大小二、填空题9 设函数 f，g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)，则10 设 y=e3x(C1cosx+C2sinx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_。11 设为平面 y+z=5 被柱面 x2+y2=25 所截得的部分，则曲面积分12 设 y=y(x)由方程13 设 f(x)=1+x+x2+x2n+1，则 f(A)=_。14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，若 X 与 Y 分别服从 ，则 PX+Y1=_。三、解答题解答应写出
6、文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设对 x0 的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面都有其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数， ，求 f(x)。17 将函数 f(x)=2+|x|(一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数18 求由方程 x2+y2+z2 一 2x+2y 一 4z 一 10=0 所确定的函数 z=z(x，y) 的极值。19 设物体在高空中垂直下落，初速度为零，下落过程中所受空气阻力与下落速度的平方成正比，阻力系数 k0。证明下落速度不会超过20 设线性方程组 1x1+1x2+3x3+4x4=，其中 i(i=1，2，3，4) 和 均是四维列向量，有
7、通解 k(一 2，3，1，0) T+(4，一 1，0，3) T。 ()问 能否由 2， 3， 4 线性表出，若能表出，则写出表出式；若不能表出，请证明之； () 4 能否由1， 2， 3 线性表出，说明理由； ()求线性方程组( 1+， 1， 2， 3， 4)x= 的通解。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+2x22 一 2x32+2bx1x3(b0) ，其中二次型的矩阵 A 的特征值的和为 1，特征值的乘积为一 12。 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。22 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为()求 f
8、X(x)和 fY(y)；()求 fX|Y(x|y)和 fY|X(y|x)。23 设总体 X 的概率分布为其中(0 )是未知参数，利用总体 X 的样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值和最大似然估计值。考研数学（数学一）模拟试卷 407 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 因为( ，) 在 D 上，所以当 t0 +时，(，)(0， 0)。则 故选 A。3 【正确答案】 A【试题解析】 -+f
9、(x，y)dx 收敛 存在常数 a，使 -af(x)dx 和 a+f(x)dx 都收敛，此时 -+f(x)dx=-af(x)dx+a+f(x)dx。设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且 但是 -0f(x)=-0xdx=， 0+f(x)dx=0+xdx=，故 -+f(x)dx 发散，这表明命题， ，都不是真命题。设 f(x)=x，g(x)=一 x，由上面讨论可知 -+f(x)dx 与 -+g(x)dx 都发散，但 -+f(x)+g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题。故选 A。4 【正确答案】 C【试题解析】 将选项 C1 改写为 C1(y1 一 y2)+C2(y2 一
10、y3)+y3。作为非齐次方程的解，只需要满足 C1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)是对应的齐次方程组的通解，因此只需要证明(y1 一 y2)与(y 2 一 y3)线性无关即可。 假设(y 1 一 y2)与(y 2 一)y 3)线性相关，即存在不全为零的数 k1 和 k2 使得 k1(y1 一 y2)+k2(y2 一 y3)=0， 即 k1y1+(k2 一 k1)y2 一k2y3=0。 由于 y1，y 2，y 3 线性无关，则根据上式可得 k1=k2=0，与 k1 和 k2 不全为零矛盾，因此(y 1 一 y2)与(y 2 一 y3)线性无关，可见选项 C 是非齐次微分方程的通解。故选
11、 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 经初等行变换得到 B 知，有初等矩阵 P1，P 2，P 使得PSP2P1A=B。记 P=PSP2P1，则 P=(pij)nm 是可逆矩阵，将 A，B 均按行向量分块有 这表明pi11+pi22+pimm=i(i=1，2，m)，故 B 的行向量均可由 A 的行向量线性表出，因 P=(pij)mn 是可逆矩阵，所以两边同乘 P-1 得 故 A 的行向量均可由 B 的行向量线性表出。故选 B。6 【正确答案】 C【试题解析】 根据|A|= 123=0，a 11+a22+a33=1+2+3=0，知 A，B 正确；而 1=0是单根，因此(0EA)x=一 A
12、x=0 只有一个线性无关的解向量，即 Ax=0 的基础解系只由一个线性无关解向量构成，D 也正确。故选 C。7 【正确答案】 A【试题解析】 (概率法) ，由全概率公式知，对任意的 aR，PX+Y=a=PX+Y=a，Y=1+PX+Y=0，Y=一 1=PX=a 一 1，Y=1+PX=a+1，Y=一 1PX=a 一 1+PX=a+1=0，所以 X+Y 的分布函数是连续函数。故选 A。8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 f 2【试题解析】 10 【正确答案】 y“一 6y+10y=0【试题解析】 所求方程的特征根为 r1，2 =3i，可见其特征方程为 (r 一 3+i)(r
13、 一 3一 i)=(r 一 3)2+1=r2 一 6r+10=0， 故所求方程为 y“一 6y+10y=0。11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 一 2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 A3=A.A2=4A，A 4=(A2)2=42E，A 5=A.A4=A.42E=42A，A 2n=4nE，A 2n+1=4nA。故 f(A)=E+A+A2+A3+A4+A5+A2n+A2n+1=E+A+4E+4A+42E+42A+4nE+4nA=(1+4+42+4n)(E+A)14 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 与 Y 相互独立，X 与 Y 分别服从令随机变量函数 Z=
14、X+Y，则 由分布律可得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 () 由已知条件可知 可由 i(i=1，2，3，4)线性表出，且 =(42k)1+(3k 一 1)2+k3+34，其中 k 为任意常数。当 k=2 时，则可得到=52+23+34。因此 能由 2， 3， 4 线性表出。()方程组的通解为 k(一2，3，1，0) T+(4，一 1，0，3) T，则系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 3，且一21+32+3=0，得 3=2132。(*) 假设 4 能由 1， 2
15、， 3 线性表出，则存在不全为零的数 k1，k 2，k 3 使 4=k11+k22+k33，将(*)式代入可得4=k11+k22+k33=(k1+2k3)1+(k23k3)2，因此可知 r(2， 3， 4)2，该结果与r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，因此 4 不能由 1， 2， 3 线性表出。()因为方程组(1， 2， 3， 4)x= 有通解 k(一 2，3，1，0) T+(4，一 1，0，3) T，因此可知r(1+， 1， 2， 3， 4)=r(1+， 1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=3，故方程组( 1+， 1， 2， 3， 4)x= 有解，由 0.(1+)+4
16、1 一 2+0.3+34=，得1=(0，4，一 1，0，3) T；0.( 1+)一 21+32+3+0.4=0，得 =(0，一 2，3，1，0)T； (1+)一 1+0.2+0.3+0.4=，得 2=(1，一 1，0，0，0) T，得所求方程组的通解为 其中 与 1 一 2 不成比例，是线性无关的。21 【正确答案】 () 二次型 f 对应的矩阵为 设 A 的特征值1， 2， 3 满足题中所给条件，则 1+2+3=a+22=1， 123=|A|=一 4a 一 2b2=一12。解得 a=1，b=2，已知 b0，因此 a=l，b=2 。 () 由矩阵 A 的特征多项式22 【正确答案】 23 【正确答案】 (矩估计)g(X)=0 2+12(1)+22+3(12)=340，(极大似然估计)对于给定的样本值，极大似然函数为 L()=2(2(1)22(12)4=46(1 一 )2(12)4，
