1、考研数学（数学一）模拟试卷 417 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）（B） 0（C） 6（D）一 62 设 是实数， f(x)在点 x=1 处可导，则 的取值范围( )（A）一 1（B）一 10（C） 01（D）13 在下列微分方程中，以 y=(c1+x)e 一 x+c2e2x(c1，c 2 是任意常数)为通解的是( )（A）y“+y一 2y=5e 一 x（B） y“+y一 2y=3e 一 x（C） y“一 y一 2y=一 5e 一 x（D）y“一 y一 2y=一 3e 一4 已知曲面 x=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平
2、面 2x+2y+x=1，则点 P 坐标为( )（A）(1 ，一 1，2)（B） (1，1，2)（C） (一 1，1，2)（D）(一 1，一 1，2)5 设向量组 ， ， 线性无关，向量组 ， ， 线性相关，则( )（A） 不可由 ， 线性表示（B） 可由 ， 线性表示（C） 不可由 ， ， 线性表示（D） 不可由 ， ， 线性表示6 以下矩阵可相似对角化的个数为( )（A）2 个（B） 3 个（C） 4 个（D）5 个7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在(0，) 上服从均匀分布，则随机变量Z=maxX，Y)的概率密度为 ( )8 设随机变量 tt(n)，对 (0，1)，t (n)为满足
3、 P(tt (n)= 的实数，则满足P(|t|b)= 的 b 等于( )二、填空题9 10 若当 x0 时，x 一(a+bcosx)sinx 为 x3 的高阶无穷小，其中 a，b 为常数，则(a， b)=_11 设 ，则 y(n)=_12 设 则 f(x)以 2 为周期的傅立叶级数在 x= 处收敛于_，在 x=2 处收敛于 _13 设 ，B=A 一 1，则 B 的伴随矩阵 B*的所有元素之和等于_14 设 XB(n，p)，若(n+1)p 不是整数，则当 PX=k)最大时，k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 () 求 f(0)与
4、f“(0)；16 设 f(x)在1，3上连续，在 (1，3)内可导，试证：存在 ， (1，3)，使得 3f()=10f()17 设 f(x)，g(x) 具有二阶连续导数，且 y2f(x)+2yex+2yg(x)dx+2yg(x)+f(x)dy=0，其中 L 为平面上任意简单闭曲线 ()求 f(x)和 g(x)，其中 f(0)=g(0)=0；()计算沿任一条曲线从点(0，0)到点(1，1)的积分 18 ()求级数 的和函数；19 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微
5、分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解20 已知 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4 是 4 维列向量，若方程组Ax= 的通解是 k(1，一 2，4，0) T+(1，2，2，1) T，又 B=(3， 2， 1， 一 4)，求方程组 Bx=1 一 2 的通解21 设齐次线性方程组(2EA)x=0 有通解 x=k1=k(一 1，1，1) T，k 是任意常数，其中 A 是二次型 f(x1，x 2， x3)=xTAx 对应的矩阵，且 r(A)=1 ()求方程组 Ax=0 的通解 () 求二次型 f(x1， x2，x 3)22 设二维
6、随机变量(X，Y)的概率分布为其中 a，b，c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=一 02，PY0|X0=0 5记 Z=X+Y()求 a，b，c 的值；()求 Z=X+Y 的概率分布； ()求概率 PX=Z23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 一x+，一y+()求常数 A；() 求条件概率密度 fY|X(y|x)考研数学（数学一）模拟试卷 417 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 由导数定义知： 当+10，即 一 1 时，(x 一 1)一(+1) 为无穷小， 为有界变量，故当 一
7、1 时，f +(1)=0，f 一 (1)=0，故 f(1)=03 【正确答案】 D【试题解析】 y=(c 1+z)e 一 x+c2e2x=c1e 一 x+c2e2x+xe 一 x从而由齐次微分方程的解结构可得 ，=一 1， 1=2，y *=xe 一 x，即 y“一 y一 2y=0，再将 y*代入上式可得(D) 项正确4 【正确答案】 B【试题解析】 设 P 点的坐标为(x 0，y 0，z 0)，则点 P 处的切平面为 2x0(xx0)+2y0(yy0)+(zz0)=0 当且仅当 时，该切平面与 2x+2y+z=1 平行，故选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 ，y 线性无关 r(， ，)=
8、3； ， 线性相关 r(， ，)3，从而 可由 ， 线性表示，则 可由 ， 线性表示6 【正确答案】 C【试题解析】 (1)有 3 个不同的特征值，可对角化；(2) 的特征值为1，1，3，=1 为二重根，但其只有一个特征向量，从而不能对角化；(3)的秩为 1，从而特征根为 6，0，0，=0 为二重根，其有两个线性无关的特征向量，从而可对角化；(4)为实对称矩阵，则可对角化；(5)A 22，|A|0，显然有两个不同的特征值，也可对角化；综上所述，可对角化的矩阵有 4 个7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 2ln21【试题解析】 10 【
9、正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)的周期为2，且在点 x=0 处连续，故在 x=2 处收敛于 f(2)=f(0)=113 【正确答案】 【试题解析】 故 B*的所有元素之和为14 【正确答案】 (n+1)p 【试题解析】 设 XB(n，p)，则使 PX=k)达到最大的忌称为二项分布的最可能值，记为 k0 且三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 要证存在 ，(1，3) 使 3f()=10f()，即要证由拉格朗日中值定理知由柯西中值定理知由式知 f(3)一f(1)=2f()
10、，由 式知 f(3)一 f(1)= 则 ，故矿 f()=10f()，其中 ，(1，3)17 【正确答案】 () 由 知，sg(x) 一 f(x)+f(x)一 g(x)一 ex=0，18 【正确答案】 19 【正确答案】 将以上两式代入原方程得y“一 y=sinx(2) 特征方程为 2 一 1=0，=1非齐次方程待定特解为y*=Acosx+Bsinx代入 y“一 y=sinx 得，A=0， 则非齐次方程通解为由 y(0)=0，y(0)= 可得 c1=1，c 2=一 1则所求特解为20 【正确答案】 由方程组 Ax= 的通解是 k(1，一 2，4，0) T+(1，2，2，1) T，得4 一 r(A
11、)=1，即 r(A)=3；( 1， 2， 3， 4) 即 1 一 22+43=0且(1， 2， 3， 4) 21 【正确答案】 ()A 是二次型的对应矩阵，故 AT=A，由(2E 一 A)x=0 有通解x=kT=k(一 1，1，1) T，知 A 有特征值 1=2，且 A 的对应于 1=2 的特征向量为 1=(一 1，1，1) T 由于 r(A)=1，故知 =0 是 A 的二重特征值 Ax=0 的非零解向量即是 A 的对应于 =0 的特征向量 设 2=3=0 所对应的特22 【正确答案】 () 利用概率分布的规范性得到a+02+01+6+02+0 1+c=1，即 a+b+c=04 利用(X，Y) 的概率分布得到 X的边缘概率分布为由得到 a=02，b=01，c=01()Z=X+Y 的概率分布为()PX=Z=PX=X+Y)=PY=0)=0223 【正确答案】
