1、考研数学（数学一）模拟试卷 427 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 曲线 的渐近线条数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）03 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x21)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则为( )（A）ln3（B） ln3（C） ln3（D） ln34 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 ，则( )（A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(
2、0， 0)=fy(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0) 处可微分5 设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 的解，则( )（A）当 t2时，r(A)=1（B）当 t2时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1（D）当 t=2 时，r(A)=26 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A=T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(x)+08F 1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为1 的指数分
3、布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（A）036（B） 0.44（C） 0.64（D）18 学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2)，任取 36 个学生的成绩，平均成绩=60，则 的置信度为 095 的置信区间为( )二、填空题9 _10 设函数 y=y(x)由 确定，则 _11 _12 y2y3y=e -x 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=（m，-m，1） T 是方程组 AX=0 的解，2=（m，1，1-m） T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m=_14 设总体 XN(0， 2)，且 X1，X 2，X 15 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 _三、解答题
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 证明：15 存在 c(0，1) ，使得 f(c)=0；16 存在 (0，1)，使得 f()=f()；17 计算 ，其中为 z=x2+y2 被 z=0 与 z=1 所截部分的下侧18 设方程 在变换 求常数 a19 将函数 f(x)= 展开成 x1 的幂级数，并求20 设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l1，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l2，又满足 x(3l1+2)=2(x+1)
5、l2，求曲线 y=y(x)21 (I)设 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，且 与 1， 2， n 正交，证明：=0， () 设 1， 2， n1 为 n1 个 n 维线性无关的向量，1， 2， n1 与非零向量 1， 2 正交，证明： 1， 2 线性相关21 设二次型 f(x1，x 2，x 2)=x12+x22+x322x 1x22x 13+2ax2x3(a0)通过正交变换化为标准形 2y12+2y22+by3222 求常数 a， b；23 求正交变换矩阵；24 当X=1 时，求二次型的最大值24 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 PX=i= ，i=1，2，3 令
6、U=max(X，Y)，V=min(X，y)25 求(U，V)的联合分布；26 求 P(U=V)；27 判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数27 设 X 的密度为 ，其中 0 为未知参数28 求参数 的最大似然估计量29 是否是参数 的无偏估计量?考研数学（数学一）模拟试卷 427 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在x=0 处可导，所以 k2=3，即 k=5，选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 所以曲线 无水平渐近线；因为 ，所以 x=0 为曲线 的铅直渐近线，又因为 ，所以
7、 x=1 为曲线的铅直渐近线；因为，所以曲线的斜渐进线为 y=x+2，故曲线有三条渐近线，选(A)3 【正确答案】 D【试题解析】 令 P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x 21，因为 ，所以2xydx+(x21)dy=0 为全微分方程由 2xydx+(x21)dy=0 ，得2xydx+x2dy dy=0，整理得 d(x2yy)=0，通解为 x2yy=C 由初始条件 y(0)=1 得C=1 ，从而特解为 y(x)=4 【正确答案】 D5 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：当 t2 时， 为 AX=0 的两个线性无关的解，从而 3r(A)2，r(A)1 ，又由 A0 得，r(A)1，即 r
8、(A)=1，应选(A)方法二：令 ，由已知条件得 ，r(AB)=1 ，当 t2 时，B 为可逆矩阵，从而 r(AB)=r(A)=1，应选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X，因为 ， J 正交，所以T=2=0，A 2=T.T=0 于是 2X=0，故 1=2=3=4=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 因为4r(0EA)=4 r(A)=3 ，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案
9、】 2【试题解析】 10 【正确答案】 -2【试题解析】 x=0 代入，得 y=011 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 将特征方程为 22 3=0 ，特征值为 1=1， 2=3，则方程y2y3y=0 的通解为 y=C1e-x+C2e3x 令原方程的特解为 y0(x)=Axe-x 代入原方程得 A= ，于是原方程的通解为13 【正确答案】 1【试题解析】 由 Ax=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值，1=(m，m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，A+E =0，=1 为 A 的另一个特征值，其对应的
10、特征向量为2=(m，1，1m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(5)【试题解析】 因为 XiN(0， 2)(i=1，2，10)，所以 (1) iXiN(0，10 2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 f(0)=0，f +(0)=1，f(1)=0，f (1)=2 由 f+(0)0，存在 x1(0，1)，使得 f(x1) f(0)=0；由 f (1) 0，存在x2(0，1)，使得 f(x2)f(1)=0；因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在c(0，1)，使得(fc)=016
11、 【正确答案】 令 h(x)=ex f(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0，由罗尔定理，存在 1(0，c)， 2(c，1) ，使得 h(1)= h(2)=0 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f(1)+f(1)=0，f( 2)+f(2)=0 令 (x)=ex f(x)+f(x)，因为 (1)=(2)=0，所以存在 (1， 2) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=ex f(x)f(x)且 ex 0，于是 f()=f()17 【正确答案】 令 1：x 2+y21，取上侧，18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确
12、答案】 由已知条件得 y(0)=0，y(0)=0 ， P(x，y)处的切线为 Yy=y(X x) ，令 X=0，则 Y=yxy，A 的坐标为(0，yxy) ，两边对 x 求导整理得 1+y2=2(x+1)yy 积分得 ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即 1+p2=C2 (x+1)，由初始条件得 C1=1，即再由 y(0)=0 得 C2=0，故所求的曲线为21 【正确答案】 (I)令 ，因为 1， 2， n 线性无关，所以 r(A)=n，又因为 1， 2， n 与 正交，所以 A=0，从而 r(A)+r()n，注意到r(A)=n，于是 r()=0，即 为零向量()方法一：令 ，B=(
13、 1， 2)，因为1， 2， n1 线性无关，所以 r(A)=n1，又因为 1， 2， n1与线性正交，所以 AB=0，从而 r(A)+r(B)n，注意到 r(A)=n1，所以 r(B)1，即1， 2 线性相关 方法二： 令 ，因为 1， 2， n1 线性无关，所以 r(A)=n1，因为 1， 2， n1 与 1， 2 正交，所以 1， 2 为方程组AX=0 的两个解，而方程 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以1， 2 线性相关22 【正确答案】 令 ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 因为二次型经过正交变换化为 2y12+2 y22+b y32 所以矩阵 A 的特征值
14、为 1=2=2， 3=b，由特征值的性质得 解得 a=1，b=123 【正确答案】 当 1=2=2 时，由(2EA)X=0，得 当3=1 时，由(EA)X=0，得24 【正确答案】 因为 Q 为正交矩阵：所以X=1 时，Y=1，当Y=1 ，二次型的最大值为 225 【正确答案】 U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 P(UV)=0， PU=1，V=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= ， PU=2 ，V=1=PX=2，Y=1+PX=1，Y=2=2PX=2PY=1= ， PU=2 ，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= ， PU=3，V=1=PX=3，Y=1+PX=1，Y=3=2PX=3PY=1)= ， PU=3，V=2=PX=3 ，Y=2+PX=2 ，Y=3=2PX=3PY=2= ， PU=3，V=3=PX=3 ，Y=3=PX=3PY=3= 于是(U，V) 的联合分布律为 26 【正确答案】 PU=V=PU=1 ，V=1+PU=2， V=2+PU=3，V=3=27 【正确答案】 PU=1= ，PV=3= ，PU=1 ，V=3=0，因为 PU=1，V=3PU=1PV=3，所以 U，V 不独立U，V 的分布律为28 【正确答案】 似然函数为29 【正确答案】
