1、考研数学（数学一）模拟试卷 450 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 lnf(x)=cosx，则 dx 等于( )（A）xcosx sinx+C（B） xsinx cosx+C（C） x(cosx+sinx)+C（D）xsinx+C2 设在全平面上有 0，则下列条件中能保证 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)的是( )（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 23 设 Un=(1) nln(1+ )，则级数 ( )（A） 都收敛（B） 都发散（C） 发散（D）
2、 收敛4 设 y1=2x+ex+e2x，y 2=2x+ex，y 3=e x+e2x+2x 都是某二阶常系数线性齐次方程的解，则此方程为( ) （A）y+3y+2y=2x（B） y一 3y+2y=4x 一 6（C） y一 3y+2y=x（D）y+3y+2y=x5 设 1=1，0 ，0， 1T， 2=1，2，0， 2T， 3=一 1，2，一 3， 3T， 4=一2，1，5， 4T，其中 1， 2， 3， 4 是任意实数，则 ( )（A） 1， 2， 3 总是线性相关（B） 1， 2， 3， 4 总是线性相关（C） 1， 2， 3 总是线性无关（D） 1， 2， 3， 4 总是线性无关6 设 1，
3、2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 A 的秩(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，C 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 X=( )（A）1 ，2，3，4 T+C1，1，1，1 T（B） 1，2，3，4 T+C0，1，2，3 T（C） 1，2，3，4 T+C2，3，4，5 T（D）1 ，2，3，4 T+C3，4，5，6 T7 已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，方差 D(X)D(Y)，则( )（A）X 与 Y 一定独立（B） X 与 Y 一定不独立（C） X+Y 与 XY 一定独立（D）X+Y 与 XY 一定不独立8 设
4、X1，X 2，X n+1 是来自正态分布 N(， 2)的简单随机样本，设已知 T=k t(m)，则 k，m 的值分别为( ) （A）k= ，m=n1（B） k= ，m=n 1（C） k= ，m=n（D）k= ，m=n二、填空题9 已知 =2005，则 a=_，b=_10 若 =2，则幂级数 anx3n 的收敛半径是_11 设 f(x，y)= =_12 设平面 的方程为 2xy+z 一 2=0，直线 l 的方程为 则 与 l 的位置关系是_13 A 是 ns 矩阵，r(A)=s，B 是 sn 矩阵，r(B)=n，则 r(AB)=_14 在总体 N(1，4) 中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X
5、1，X 2，X 5，则概率P(minX1，X 2，X 51)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f(x)在a，b(0a b)上连续，在(a，b)内可导，则在 (a，b)内存在 ， 使f()=17 将函数 f(x)=ln(x+ )展成 x 的幂级数并求 f(2n+1)(0)18 计算曲面积分 4zxdydz2zydzdx+(1 一 z2)dxdy，其中 S 为 z=ey(0ya)绕 z 轴旋转成的曲面下侧19 问满足方程 一 y一 2y=0 的哪一条积分曲线通过点(0，一 3)，在该点处有倾角为 arctan6 的切线且曲率为 0?20 求方程组 的通解，并求
6、满足 x2=x3 的全部解21 设三阶对称矩阵 A 的特征值为 0，1，1 1， 2 是 A 的两个不同的特征向量，且 A(1+2)=2(1)证明 2=0；(2) 求方程组 AX=2 的通解22 设 X，Y 相互独立，都在(0，1)内服从均匀分布，现有区域D0=(x，y) 0x1 ，x 2y1) (见下图) (1)若对(X，Y) 进行 5 次独立观察，求至少有一次落在 D0 内的概率；(2)若要求至少有一次落在 D0 内的概率不小于 0999，至少要进行多少次观察?23 设(X，Y)为二维离散型随机变量，已知 P(XY=0)=1，给定下表，试求(X ，Y)的联合分布，并求 X+Y 与 X2Y
7、的分布考研数学（数学一）模拟试卷 450 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因被积函数含有因子 f(x)，可先进入微分号，用分部积分法求之；另一方法在所给等式两端求导也可产生 f(x)f(x)=(cosx)=sinx 用此式代入积分也可简化计算 =xdlnf(x)=xdcosx=xcosxcosxdx=xcosxsinx+C 仅(A) 入选2 【正确答案】 C【试题解析】 0，其含义是固定 y，f(x，y)关于 x 单调减少，因而当x1x 2 时，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 1) 同样 0，其含义是固定 x，f(
8、x，y)关于 y 单调增加，于是当 y1y 2 时，有 f(x2，y 1)f(x 2，y 2) 由式与式 得到 x1x 2，y 1y 2 时，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)f(x 2，y 2)， 即 f(x 1，y 1)f(x 2，y 2)仅(C) 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 un 为交错级数，由莱布尼茨判别法知，该级数收敛；又由=1， 发散，知 发散易看出 ln(1+ )单调下降，且un=0，由莱布尼茨判别法知，该交错级数 un 收敛又而 为发散级数；故正项级数 发散，仅(C)入选注意 上面用到下述判别正项级数敛散性的常用结论：设 vn 为正项级数，若当 n时， =1，
9、即un vn(n)，则 un 与 vn 有相同的敛散性4 【正确答案】 B【试题解析】 因 y1，y 2，y 3 均为非齐次方程的解，则 y1y 2=e2x，y 1 一 y3=2ex 是相应的齐次方程的解因此 r1=2，r 2=1 为特征方程的根特征方程为 (r 一 2)(r 一 1)=0， 即 r23r+2=0， 所以齐次方程为 y一 3y+2y=0 设所求方程为 y一3y+2y=f(x)，f(x)为非齐次项，将 y2=2x+ex 代入得 f(x)=4x 一 6， 则 y一3y+2y=4x 一 6仅(B) 入选5 【正确答案】 C【试题解析】 判别分量已知的向量组的线性相关性时，可用下述性质
10、判别：一向量组线性无(相) 关，则在相同位置上增加(去掉) 相同个数的分量所得的升(减)维向量组仍线性无(相) 关显然， =一 1，2，一 3T 线性无关(因 0)由上述结论可知在它们的相同位置上增加相同个数(1 个)分量所得到的升维向量组 1， 2， 3 总是线性无关仅(C)入选6 【正确答案】 C【试题解析】 根据非齐次线性方程组通解的结构，依次求出其导出组的基础解系及自身的一个特解 方法一 因 r(A)=3，n=4，故导出组 Ax=0 的一个基础解系只含 n 一 r(A)=43=1 个解又根据非齐次线性方程组的两个解的差为其导出组的解，因而 2 1 一( 2+3)=(1 一 2)+(1
11、一 3)=2，3，4，5 T0 为其导出组的一个解，因它不等于 0，故2，3，4，5 T 为其导出组的基础解系又显然 1 为其自身的一个特解，故所求通解为 1+C21 一( 2+3)=1，2，3，4 T+C2，3，4，5 T仅(C)入选 方法二 (A)中1，1，1，1 T=1 一( 2+3)，(B) 中0，1，2，3 T=2+3 及(D)中3，4，5，6 T=31 一 2(2+3)都不是 AX=0 的解(因解向量的系数的代数和不等于 0)，因而乘以任意常数 C 后不能构成其导出组的基础解系，故选项(A) 、(B)、(D)都不正确仅 (C)入选7 【正确答案】 D【试题解析】 (X，Y) 为二维
12、正态随机变量，如 cov(X，Y)0，则 X，Y 相关，不独立同样如 X+Y，XY 相关，则 X+Y，XY 一定不独立由于随机变量(X， Y)服从二维正态分布，X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关，即 xy=0而题中对此未作任何假设，(A) 和(B) 有时成立，有时不成立，然而 cov(X+Y，XY)=cov(X，X)+cov(Y ，X) 一 cov(X，Y)一 cov(Y，Y)=D(X)一 D(Y)0，由此推出X+Y 与 XY 相关，因此 X+Y 与 XY 不独立仅(D)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 因 ，则Xn+1 N(0，1)，S 2= 2(n 一 1)，而 ，S 2 及 Xn+
13、1 三者相互独立，由 t 分布的典型模式得到即 故k= ，m=n 一 1仅 (A)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 令ab+1=0，则由上式得 ，从而 a=b1=10 【正确答案】 【试题解析】 令 t=x3，则原级数化为 antn 的收敛半径 R=2因而一 2t2， 即 一 2x 32，故 ，于是原级数的收敛半径为11 【正确答案】 一 2ex2y2【试题解析】 =yex2y2 ，因 f(x，y) 具有对称性，故得到 =xex2y2 同理，由= 2xy3ex2y2 及对称性得到 =2x 3yex2y2 而 =ex2y2 一 2x2y2ex2y2 ，故 =2e x2y2 12 【正
14、确答案】 l 在 上【试题解析】 因为 的法向量为 n=(2，一 1，1)，l 的方向向量为 s=(1，3，1)，由于n.s=23+1=0， 即 n 与 s 垂直，从而 l 与 平行又由 l 的方程知，l 过点(1，一 2，一 2)，此点坐标亦满足 的方程，所以 l 在 上13 【正确答案】 n【试题解析】 因 A 为 ns 矩阵，且 r(A)=s，即 A 为列满秩矩阵，则r(AB)=r(B)=n14 【正确答案】 096875【试题解析】 P(minX 1，X 2，X 51)=1 一 P(minX1，X 2，X 51)=1 一P(X11，X 21，X 51)=1 一P(X 11)5三、解答题
15、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 1n=x，则 n时，x0于是16 【正确答案】 令 g(x)=1x，对 f(x)，g(x)在a ，b上使用柯西中值定理知，存在 (a，b)，使 即再对 f(x)在a ，b上使用拉格朗日中值定理得到：存在(a， b)，使 故在(a ，b)内存在 ， 使【试题解析】 由 2f()= 易看出可先对 f(x)及 g(x)=1 x 在a，b上使用柯西中值定理，再对其函数差值使用拉格朗日中值定理证之 17 【正确答案】 f(x)= ，利用展开式(1+x) =1+ax+xn+得到再在上式两边积分得到级数的收敛区间为(一 1，1) 但当 x=1
16、时，等式右边的级数为为交错级数，满足莱布尼茨准则，是收敛的，故级数的收敛域为一 1，1，即其中 x一1，1再求 f(2n+1)(0)由于 f(x)麦克劳林展开式为 另一方面，由式得到 f(2n+1)(0)=0(n=0，1，2，)，f(0)=1=(一 1)n故 f 2n+1(0)=(一 1)n1.3.5.(2n 一 1)2，n=1，2，3，【试题解析】 将函数 f(x)在点 x0 处展成幂级数，若用直接展开法需求出 f(n)(x0)，这是比较困难的若用间接展开法，可避开求 f(x)的 n 阶导数本例用间接展开法，为此先求 f(x)的导数，将其导数展成 x 的幂级数后再积分即得函数的幂级数的展开式
17、设函数 f(x)的展开式求出为 f(x)= an(xx0)n另一方面，函数 f(x)的展开式为 f(x)= (xx0)n比较它们的同次幂系数，由展开式的唯一性，有=an， 即 f (n)(x0)=an.n!(n=0，1，2，)这是求函数在一点处的高阶导数值的有效方法18 【正确答案】 设 D 为平面 z=ea 介于此旋转曲面内的部分令 P=4zx， Q= 2zy，R=1 一 z2，则 根据高斯公氏得 4zxdydz一 2zydzdx+(1 一 z2)dxdy=0，所以 4zxdydz 一 2zydzdx+(1 一 z2)dxdy= 4zxdydz一 2zydzdx+(1 一 z2)dxdy因
18、D 关于 y 轴对称，4zx 是 D 上关于 x 的奇函数，故4zxdxdy=0又 D 关于 x 轴对称，2zy 是 D 上关 y 的奇函数，故52zydzdx=0于是 4zxdydz 一 2zydzdx+(1 一 z2)dxdy=0+0 (1 一 z2)dxdy=一(1 一 e2a)dxdy=(e2a1) dxdy=(e2a 一 1)a2【试题解析】 曲面 S 不封闭，先添加一平面区域 D(见下图)使其封闭在封闭曲面所围成的区域内使用高斯公式求之而在添加的平面域上的积分可利用对称性等方法简化求之19 【正确答案】 此方程是一常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 r 3 一 r2 一2r=0，
19、 解得 r 1=0， r 2=2， r3=1 即微分方程的通解为 Y=C 1+C2e2x+C3ex 因积分曲线通过点(0，一 3)，代入上式有 C 1+C2+C3=3 由题设知该点的倾角为arctan6，即 y x=0=2C2e2x 一 C3ex x=0=tan(arctan6)， 亦即 2C 2 一 C3=6 又在这点曲率为 0，因而 y x=0=4C2e2x+C3ex x=0=0 即 4C2+C3=0 联立式、式、式解得 C1=0，C 2=1，C 3=4，则所求的积分曲线为 y=e2x 一 4ex 【试题解析】 高于二阶的常系数齐次线性方程的求解方法与二阶的常系数齐次线性方程的求解方法类似
20、：利用特征方程的每个根与方程的特解的对应关系写出其通解20 【正确答案】 由基础解系和特解的简便求法即得其基础解系为 1=33，一 5，一 3，1，0 T， 2=一23，3，2，0，1 T，其特解为 =81，一 11，一 7，0，0 T，其通解为X=k11+k22+=k133，一 5，一 3，1，0 T+k22一 23，3，2，0，1 T+81，一 11，一 7，0，0 T若 x2=x3，则有一 5k1+3k211=一 3k1+2k27， 即 k 2=2k1+4，代入通解得 x2=x3 的全部解为 X=k 133，一 5，一 3，1，0 T+(2k1+4)一23，3，2，0，1 T+81，一
21、11，一 7，0，0 T=k1一 13，1，1，1，2 T+一11，1，1，0，4 T， k 1 是任意实数【试题解析】 先用初等行变换将其增广矩阵 化成阶梯形矩阵使导出组的系数矩阵出现最高阶的单位矩阵，然后用基础解系和特解简便求法写出基础解系和特解及通解在通解中令 x2=x3 即得所求的全部解21 【正确答案】 先证明 1 与 2 是属于不同特征值的特征向量，且 1 是属于特征值 1=0 的特征向量， 2 是属于特征值 2=1 的特征向量，否则都与 A(1+2)=2 矛盾例如：若 A1=1，A 2=0.2，则 A(1+2)=A1=12；若 A1=1，A 2=2，则 A( 1+2)=A1+A2
22、=1+22(因 i 为特征向量， 10) 1， 2 既然属于不同特征值的特征向量，由 A 为实对称矩阵便有 2=0因 A 为实对称矩阵，必与对角矩阵 相似，因而秩(A)=2，则 AX=0 的一个基础解系含 32=1 个解向量由 A1=01=0 知， 1 为基础解系又由 A(1+2)=2 及 A2=1.2=2 知， 2与 1+2 都为 AX=2 的特解，故 AX=2 的通解为 k1+2 或 k1+(1+2)22 【正确答案】 由题设有因 X，Y 相互独立，有(1)设 n 为(X ，Y)落在 D0内的次数，则 nB(5，2 3) ，于是 P(n1)=1 一 P(n=0)=1 一(13)50996(
23、2)P( n1)=1 一 P(n 一 0)=1 一(13) n0999因 0001， 3n1000， n629，取 n7，故至少要进行 7 次观察【试题解析】 求解的问题是与次数有关的问题应首先设出落在 D0 内的次数这个随机变量，它服从二项分布，利用此分布求解有关问题23 【正确答案】 因 P(XY=0)=1，故 P(XY0)=0，于是 P12=P32=0又由联合分布与边缘分布的关系得到 P11+P12=P1.， 即 P11+0=14， 故 P11=14；P 31+P32=P3.， 即P31+0=14， 故 P31=14又 P11+P21+P31=P.1， 即 14+P 21+14=12， 故P21=0；P 12+P22+P32=P.2， 即 0+P22+1=12， 故 P22=12故所求的(X ，Y)的联合分布为 将上述所求得的联合分布表改写成下述形式，并在同一表格上分别求出 X+Y，X 2Y 的分布：故 X+Y 及 X2Y 的分布如下：【试题解析】 利用题设及联合分布与边缘分布的关系求其联合分布用同一表格法求 X+Y 与 X2Y 的分布
