1、考研数学（数学三）模拟试卷 420 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时， 一(ax 2+bx+c)是比 x2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（A）a=c=1， b=0（B） a=1，b=2，c=0（C） a=c=2，b=0（D）a=b=1，c=02 设 则( )（A）f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=一 1 处间断（B） f(x)点 x=1 处间断，在点 x=一 1 处连续（C） f(x)在点 x=1，x=一 1 处都连续（D）f(x)在点 x=1，x= 一 1 处都间断3 设 则 f(x)在点 x=0 处( )
2、（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导4 设函数 f(x， y)连续，且 f(x，y)=xy f(x，y)dxdy+15x 2y2 ，则 f(x，y)=( ) （A） xy+15x2y2（B） 7xy+15（C） 15x2y2（D）xy+15x 2 y25 下列矩阵是正定矩阵的是( )6 已知 A 为三阶矩阵， 1=1，2，3 T ， 2=0，2，1 T ， 3=0，t，1 T 为非齐次线性方程组 AX=0，0，1 T 的三个解向量，则( ) （A）当 t=2 时，r(A)=1（B）当 t=2 时，r(A)=2（C）当 t2 时，r(A)=1（D）当 t2 时，
3、r(A)=27 连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为( )8 设随机变量 X 的分布函数为 又已知 P(X=1)=1/4，则 ( )（A）a=5/16，b=7/16（B） a=7/16，b=9/16（C） a=1/2，b=1/2（D）a=3/8，b=3/8二、填空题9 10 由曲线 x2+(y 一 2a)2a2 所围成平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体体积等于_11 已知 f(x)=arctan(x 一 1)2 ，f(0)=0 ，则 01f(x)dx=_12 设 z=z(u)，且 u=(u)+yxp(t)dt，其中 z(u)为可微函数，且 (u)连续，(u)
4、1，p(t) 连续，则13 A，B 均是 n 阶矩阵，且 A2 一 2AB=E，则秩 r(AB 一 BA+A)=_14 设 X，Y 为相互独立的随机变量，且 XN(1，2)，Y 服从参数 =3 的泊松分布，则 D(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 讨论函数 的渐近线、升降区间、极值、凹凸性，并画出它的大致图形16 求曲线 y= 的一条切线 1，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成的图形的面积最小17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，其中 0a b，试证至少存在一点(a， b)，使得 alnb 一 blna=(ab2ba2)18 试
5、求心形线 x=acos3，y=asin 3 与两坐标轴所围成的平面图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积19 设 f(x，y)连续，且其中D=(x，y)|0x1，0y1 求20 设 A 是 n 阶方阵，且 E+A 可逆，证明： (1) E 一 A 和(E+A) 一 1 相乘可交换； (2)若 A 为反对称矩阵，则(E 一 A) (E 一 A)一 1 是正交矩阵21 已知 =1，1，1 T 是二次型 2x12+x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 矩阵的特征向量，判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解：22 设 (x1 ，x 1 ，x n)和 (x1 ，x 1 ，x n)是
6、参数 的两个独立的无偏估计量，且 方差是 方差的 4 倍试求出常数 k1 与 k2 ，使得 是 的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小23 假设总体 X 是连续型随机变量，其概率密度 X1 ，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，统计量 Yn=n1 一 maxX1 ，X 1 ，X n的分布函数为 Fn(x)求证 Fn(x)一 F(x) (一 x+)，其中 F(x)是参数为 2 的指数分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 420 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 利用等价无穷小代换 一 x2 一 1(x 2
7、)2/2 简便求之也可使用洛比达法则或泰勒展开式求之由题设有故 1 一 a=0，b=0，1 一 c=0，即 a=c=1，b=0仅(A)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 依间断点定义和连续点定义判别。故 f(x)在点 x=1 处间断故 f(x)在点 x=一 1 处连续，仅(B)入选3 【正确答案】 C【试题解析】 讨论分段函数在分段点的极限、连续及可导性问题，从分段点左、右两侧分别考虑，即：先求左、右极限，若二者存在且相等，则在该分段点极限存在；先求左、右极限，若二者存在且相等，并等于分段点的函数值，则在该点处连续；先求左、右导数，若二者存在且相等，则在该分段点可导，否则函数在该点处不可导不
8、存在，故 f(x)在点 x=0 处不可导仅(C) 入选4 【正确答案】 A【试题解析】 显然被积函数待求，但由于积分区域确定，所给等式中出现的积分，其值为一常数设 在所给等式两端在区域|x|+|y|1 上计算二重积分即可求得结果因积分区域|x|+|y|1 关于 x 轴与 y 轴均对称，故5 【正确答案】 B【试题解析】 对称矩阵为正定矩阵的必要条件是 aij0(i=1，2，n)，另外各阶顺序主子式大于 0 也是必要条件，可用上述必要条件判别对称矩阵是不是正定矩阵(A)中矩阵 A1 中的元素 a33=一 20，(C)中矩阵 A3 中的元素 a33=0，故 A1 与A3 不是正定矩阵又(D) 中矩
9、阵 A4 的第 1 行与第 2 行之和等于其第 3 行反号，即1+2=一 3 ，因而 1 ， 2 ， 3 线性相关，故|A 4|=0，A 4 也不是正定矩阵，只有(B)中矩阵 A2 为正定矩阵仅(B)入选。6 【正确答案】 C【试题解析】 将向量关系式 Ai=0，0，1 T(i=1， 2，3) 合并成矩阵等式 AB=C 如能求出 t 使 B 为满秩矩阵，则 r(AB)=r(A)=r(C)，而 r(C)可观察求出先将一组向量关系式 Ai=0，0，1 T(i=1，2，3)合并成一个矩阵等式 AB=C(矩阵关系式)，即A1 ， 2 ， 3=AB= 其中 B= 1 ， 2 ， 3，C=， ，=0，0，
10、1 T当 t=2 时，B 中的第 2，3 列成比例，故|B|=0，r(B)=2当 t2 时，r(B)=3，即可逆，故 r(AB)=r(A)=r(C)=1仅(C) 入选7 【正确答案】 D【试题解析】 设事件 A=n 次抛掷中有 k 次正面向上 ，A 1=第 k 次正面向上，A2=前 n 一 1 次抛掷中有 k 一 1 次正面向上，则事件 A 发生等价于 A1 ，A 2 同时发生，故 A=A1A2 ，又 A1 ，A 2 相互独立，所以 P(A)=P(A 1)P(A2)总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面向上，设此事件为 A，设在第 n 次抛掷时第 k 次正面出现的事件为 A1 ，前 n 一
11、1 次抛掷中有 k 一 1 次正面向上的事件为 A2则复合事件 A等价于 A1 与 A2 的乘积，又因 A1 ，A 2 独立，故 P(A)=P(A1 A2)=P(A1 )P(A2)，故所求概率为 P(A)=Cn 一 1k 一 1 仅(D)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用分布函数的定义及右连续性求之。由分布函数 F(x)为右连续函数，得到 F(一 1+0)=F(一 1)，即P(X=1)=1/4，故 a+b+1/4=1 解与 得到 a=5/16，b=7/16 仅(A) 入选。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先将分子有理化，再利用无穷小等价代换或直接用洛必达法则求之10 【正确答
12、案】 4 2a3【试题解析】 按 x 轴上的曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体体积公式计算即可，Vx=20a(y12 一 y22)dx=20a8a =16a a2=42a3其中 y 1=2a+，y 2=2a 一11 【正确答案】 【试题解析】 利用题设将 f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求之因为被积函数的导数已知，也可直接用分部积分法求之f(x)=f(x)一 f(0)=0xf(t)dt=0xarctan(t 一 1)2dt，则 01f(x)dx=010xarctan(t 一 1)2dtdx= arctan(t一 1)2dtdx，其中积分区域(见右图)为 D=(t，x)|0tx，
13、0x1交换上述二重积分的积分次序得到12 【正确答案】 0【试题解析】 给出隐函数 u 及其自变量 x，y 所满足的等式，为求有关偏导数，常利用此式设出辅助函数 F(x，y，u)=0，再利用有关公式求出相关的偏导数设 F(x，y，u)=u 一 (u)一 yxp(t)dt，则 Fu=1 一 (u)，F x=一 p(x)，F y=一一 p(y)=p(y)，13 【正确答案】 n【试题解析】 利用可逆矩阵性质：由 A(A 一 2B)=E，得到(A 一 2B)A=E，从而AB=BA。 由于 A(A 一 2B)=E，且 A，A 一 2B 均是 n 阶矩阵知，A 可逆，且 A 一2B 是 A 的逆矩阵。
14、故 A(A 一 2B)=(A 一 2B)A=E， 即 A 2 一 2AB=A2 一 2BA， 可见 AB=BA， 从而 r(AB 一 BA+A)=r(A)=n14 【正确答案】 27【试题解析】 利用公式 D(XY)=E(XY)2 一E(XY) 2 或 D(XY)=D(X)D(Y)+E(X)2 D(Y)+E(Y)2 D(X)求之 由题设易知 E(X)=1，D(X)=2，E(Y)=D(y)=3 因 D(XY)=E(XY)2 一E(XY) 2=E(X2 Y2)一E(XY 2 ， 又 X，Y 独立，故有 E(X 2Y2)=E(X2)E(Y2)， E(XY)=E(X)E(Y)=13=3 于是 E(X
15、2Y2)=E(X2)E(P)=D(X)+(E(X)2D(Y)+(E(Y)2 =312=36， 故 D(XY)=E(X 2Y2)一E(XY) 2=36 一 9=27三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)因 =，故直线 x=1 是函数的铅直渐近线又故直线 y=x+1 是斜渐近线(2) 由 得其驻点为x1=3， x2=一 1虽然在 x=1 处附近一阶、二阶导数存在，且二阶导数变号，但 f(x)在 x=1 处没有定义，因而不连续，故了没有拐点以 y 的不连续点 x=1，驻点 x=一 1 及 x=3 将其定义区间分为部分区间，函数在这些部分区间的变化列成下表：当 x
16、=一 1 时， y=x+1=0，而 =一 2，且 x=0 时，y=x+1=1，y= 一 3因此在(一 ，1)内函数图形在渐近线 y=x+1 的下面又当 x=3 时，y=x+1=4，而因而在(1，+)内渐近线在函数图形的下面因此描绘函数 y的大致图形如上图所示【试题解析】 确定函数的定义域、曲线的渐近线，然后利用导数讨论函数的单调性和极值、凹向与拐点，由曲线的方程求出曲线与坐标轴交点的坐标，最后画出函数的图形16 【正确答案】 设切点为 ，则过此点切线 l 的方程为其中切线 l 的斜率为 ,将x=2，x=0 代入切线 l 的方程，即得注意 求曲线、直线等所围图形的面积时，对规则图形的面积应使用有
17、关公式简化计算【试题解析】 先绘出有关图形如右图所示，由图可看出所求平面图形的面积 S=S梯形 OABD 一 S 曲边梯形 OAEC下面分别求出这两个面积的值及 S 的最小值。17 【正确答案】 等式可改写成 作辅助函数 f(x)= 则 f(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)，使得【试题解析】 待证的中值等式中含有 af(b)一 bf(a)这样的项，为找出辅助函数，常先用 ab 去除等式两端，从而找出两函数值的差该函数就是要找的辅助函数本例用 ab 去除等式两端即得 于是辅助函数就出现了。18 【正确答案】 求坐标轴上的曲边梯形绕坐标轴旋转生成的旋
18、转体体积，计算公式为 Vy=cdx2dy，或 V y=ab2xydx19 【正确答案】 设 xyf(x，y)dxdy=A(常数)在等式两端乘以 xy，然后在区域D 上二重积分得到【试题解析】 因 D 为一固定区域，故 xyf (x，y)dxdy 为一常数，利用这一点可先求出 f(x， y)的表示式，再求偏导，20 【正确答案】 (1)因(E 一 A) (E+A)=E 一 A2=(E+A) (E 一 A)， 两边分别左乘、右乘(E+A) 一 1 得到 (E+A) 一 1(EA)(E+A)(E+A)一 1=(E+A)一 1(E+A)(EA)(E+A)一 1 ， 故 (E+A) 一 1(E 一 A)
19、=(E 一 A) (E+A)一 1 ， 即 E 一 A 与(E+A) 一 1 相乘可交换 (2)为证(E 一 A) (E+A)一 1 为正交矩阵，只需证 (E A) (E+A)一 1T=(EA)(E+A)一 1一1 事实上，由(1)的结果得到 (E A) (E+A)一 1T=(E+A)一 1(E 一 A)T=(E 一 A)T(E+A)一 1T =(EAT)(E+A)T一 1=(EAT)(E+AT)一 1 =(E+A)(E 一 A)一 1 (A 为反对称矩阵，A T=一 A)， 而 (E 一 A) (E+A)一 1一 1=(E+A)一 1一 1(E 一 A)一 1 =(E+A)(E 一A)一 1
20、 ， 故 (E 一 A)(E+A)一 1T=(E 一 A)(E+A)一 1一 1 ， 所以(E 一 A) (E+A)一 1 为正交矩阵【试题解析】 (1)利用(EA)(E+A)=(E+A)(EA)及矩阵乘法运算证之； (2)利用正交矩阵的定义(AA T=E，即 A 一 1=AT)证之，21 【正确答案】 二次型矩阵是 设 是属于特征值 0 的特征向量，即 A1=0，或 易解出 0=3，b=0，a=2对于 A1=，由于|A 1|=0，所以 f 不是正定二次型将 a=2，b=0 代入方程组，对系数矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵：当 c=6 时，对 B 进一步用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵
21、，得到则 A2X=0 的一个基础解系含 2 个解向量：1=一 9，19 ，一 7，1，0 T ， 2=2，一 7，2，0，1 T ，其通解为 X=k11+k22 ，k 1 ，k 2 为任意常数。当 c6 即 c 一 60 时，矩阵 B 用初等行变换进一步可化为含最高阶单位矩阵的矩阵： 这时方程组A2X=0 的基础解系只含一个解向量： 一(3c 一 10)/14，一(23 一 2c)/7，0，一(c 一8)/7，7 T为方便计，取 3=一(3c 一 10)/2，一(23 一 2c)，0，一(c 一 8)，49 T=5一 3c/2，2c 一 23，0，(8 一 c)，49 T故当 c6 时，方程组
22、 A2X=0 的通解为 k33 ，其中 k3 为任意常数【试题解析】 写出二次型矩阵 A，由题设条件列出方程易求得 a、b 和 的特征值0 ，然后再将所给齐次方程组的系数矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，用基础解系的简便求法即可写出其基础解系及通解22 【正确答案】 由无偏估计量的定义，为使 也是 的无偏估计量，必有 即得 k1+k2=1为求 k1 ，k 2 之值，使无偏估计量 k11+k22 的方差 D(k11+k22)最小，故归结为求函数 f(k1 ，k 2)=4k12+k22 在条件 k1+k2=1 下的最小值可用拉格朗日乘数法求之为此，令 F(k 1 ，k 2 ，)一 4k1
23、2+k22+(k1+k21)。=k1+k2 一 1=0 易求得 k1=即满足上述条件的所有线性估计中，当 k1=1/5 ，k 2=4/5 时，相应方差最小【试题解析】 由无偏估计量的定义易求出，在条件 k1+k2=1 时，可使也是 的无偏估计量，然后用拉格朗日乘数法，求出线性估计中的最小方差 在条件 k1+k2=1 时的 k1 与 k2 之值23 【正确答案】 由题设知，总体 X 的分布函数为 G(x)=P(Xx)=一 1f(t)dt=所以 Yn 的分布函数 Fn(x)=P(YnX)=P(n1 一 max X1 ，X 2 ， ，X nx) 即 Yn 的分布函数 Fn(x)的极限分布是以参数为 2 的指数分布函数【试题解析】 首先要明确简单随机样本是一组相互独立且与总体同分布的随机变量，其次要会求 max X1 ，X 2 ，X n的分布函数，最后还要熟悉极限公式：=e 一 x 一(一 0)2e 一 2x
