1、考研数学（数学二）模拟试卷 302 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是满足 的连续函数，则当 x0 时 是关于 x 的_阶无穷小量（A）3.（B） 4（C） 5（D）62 设 其中函数 f(x)可导，且 f(x)0 在区间(一 1，1)成立，则（A）函数 F(x)必在点 x=0 处取得极大值（B）函数 F(x)必在点 x=0 处取得极小值（C）函数 F(x)在点 x=0 处不取极植，但点(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点（D）函数 F(x)在点 x=0 处不取极值，且点(0 ，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点3 设函数 则下
2、列结论正确的是（A）f(x)有间断点（B） f(x)在(一，+)上连续，但在(一 ，+) 内有不可导的点（C） f(x)在(一，+)内处处可导，但 f(x)在(一，+)上不连续（D）f (x)在(一，+) 上连续4 定积分 的值为（A）（B） 0。（C）（D）5 设 f(x)在a ，b上可导，又 且 则 在(a， b)内（A）恒为零（B）恒为正（C）恒为负（D）可变号6 设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F xx(x0，y 0)0 的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，
3、且 y(x0)=y0，则（A）y(x)以 x=x0 为极大值点（B） y(x)以 x=x0 为极小值点（C） y(x)在 x=x0 不取极值（D）(x 0，y(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点7 设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是（A） （B） （C） （D） 8 下列矩阵 中两两相似的是（A）A 3，A 4（B） A1，A 2（C） A1，A 3（D）A 2，
4、A 3二、填空题9 设 xa 时 (x)是 xa 的 n 阶无穷小，u0 时 f(u)是 u 的 m 阶无穷小，则 xa时 f(x)是 x 一 a 的_阶无穷小10 设 n 为正整数，则11 函数 的麦克劳林公式中 x4 项的系数是_12 反常积分13 设有摆线 x=a(tsint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积 S=_14 与矩阵 可以交换的矩阵是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (I)求不定积分16 设心脏线的极坐标方程为 r=a(1+cos)(a0)，求它绕极轴旋转一周所产生的旋转体的侧面积 A。16
5、 设方程 y3+sin(xy)一 e2x=0 确定曲线 y=y(x)17 求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径18 求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程19 设函数 f(x)连续且满足 求 f(x)的表达式19 设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径的圆面若以每秒 v0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的20 写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 V=V(t)之间的关系式，并求出水面高度
6、 z 与时间 t 的函数关系；21 求水表面上升速度最大时的水面高度；22 求灌满容器所需时间23 设二元可微函数 F(z，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y) ，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成 求此二元函数F(x，y)24 计算二重积分 其中 D：0x2，xy225 设 f(x)在(a，+)可导且 求证：若 A0，则 若 A26 设 g(x)在a，+)连续， 收敛，又 求证 1=026 已知 4 元齐次线性方程组 的解全是 4 元方程(ii)x 1+x2+x3=0 的解，27 求 a 的值；28 求齐次方程组(i) 的解；29 求齐次方程(i
7、i)的解29 已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 设 =(1，2，一 1)T 且满足 A=230 求该二次型表达式；31 求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形并写出所用坐标变换考研数学（数学二）模拟试卷 302 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 该题就是求 n0 使得存在极限其中计算时用了等价无穷小因子替换：F(sin2x)一(sin 2x)2(x0)这表明当 x0 时 是关于 x 的 6 阶无穷小量，即应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识因
8、 于是由 F(x)符号的变化情况知，曲线 y=F(x)在区间( 一 1，0 是凸的，在区间0，1) 是凹的，可见(0，F(0)是其拐点由 F(x)符号的变化情况还知道，F (0)是 F(x)的最小值，又 F(0)=0，从而知F(x)0 当 x0 时成立这表明 F(x)在 x=0 处不取极值综合以上分析知，结论 C正确，其余均不正确故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题f(x)的定义域是( 一，+) ，它被分成两个子区间 (一，0和(0，+) 在 (一，0内 f(x)=x2，因而它在(一 ， 0上连续，在(一，0)内导函数连
9、续，且 f-(0)=0；在(0，+) 内 ，因而它在 (0，+)内连续且导函数连续注意 因而 f(x)在(一，+)连续可见 A 不正确又因 即 f(x)在 x=0 右导数 f+(0)存在且等于零，这表明 f(0)存在且等于零于是，f (x)在(一 ，+)上处处存在可见 B 不正确注意，当 x0 时， 于是 不存在，这表明 f(x)在 x=0 处间断。可见 C 正确，D 不正确故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 用分段积分法并在一 1，0与0，1上用推广的牛顿一莱布尼兹公式：故应选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 令 ，则 F(a)=F(b)=0，所给条件变为 F(x)+F(x)2 一
10、 F(x)=0 (*)若 F(x)在(a，b)不恒为零，则 F(x)在(a，b)取正的最大值或负的最小值设0，则 x(a，b)，F (x0)=0，F (x0)0F (x0)+F(x0)2 一(x 0)，则同样得矛盾因此 F(x)0( x(a，b) 故应选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 按隐函数求导法，y (x)满足 令 x=x0，相应地 y=y0 得y(x0)=0将上式再对 x 求导并注意 y=y(x)即得再令 x=x0，相应地 y=y0 得因 因此x=x0 是 y=y(x)的极小值点故选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量
11、组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必 从而 ,故线性方程组 Ax=b必有解，正确下面只需判断 或正确即可若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选 B当 r(A)=m 时，必有nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 m 有可能是 n+1，方程组 Ax=b 可以无解所以不正确，你能举例说明吗 ?8 【正确答案】 C【试题解析】 判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A 3，A 4 虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1 与A2 或 A2 与 A3 虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法知应
12、选 C实际上，A 1，A 3 的特征值都是 3，0，0，且 r(0EA1)=1，r(0E A3)=1，则 nr(OEA1)=31=2，n 一 r(OEA3)=31=2，说明齐次方程组 (OE 一 A1)x=0 与(OEA3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1 和 A3 都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1 和 A3 都与对角矩阵 相似，从而 A1 与A3 相似二、填空题9 【正确答案】 mm【试题解析】 由于 因此应填 mn10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 一 2【试题解析】 【分析一】先作分解与恒等变形将 y 化简，则有=1+2x+2x2
13、 一 2x4+o(x4)，于是x4 项的系数是一 2【分析二】利用 的泰勒公式将 y 按变量 x 的正整数幂展开到含 x4 的项为止，则有=1+2x+2x2 一2x4+o(x4)，于是 x4 项的系数是一 212 【正确答案】 【试题解析】 令 x=tan 作换元，则 x：0+对应 且 利用1+x2=1+tan2= ，就有13 【正确答案】 【试题解析】 由旋转面面积公式得14 【正确答案】 其中 t，u 是任意实数【试题解析】 设矩阵 与矩阵 A 可交换，即 AB=BA，亦即即 1069由 由 令 b2=t，b 4=u，解出b3=一 2t，b 1=4t+u.所以 其中 t，u 是任意实数三、
14、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 解法一先分解并凑微，即对上式第二项积分用分部积分法得用凑微分法求 即(或用另一凑微分法求 ，即因此 或解法二其余同上解法三16 【正确答案】 先求 由对称性，只须考察 0，按侧面积公式得17 【正确答案】 首先用隐函数求导法计算 y=y(x)在 x=0 处的一、二阶导数 y(0)与y(0)为此将隐函数方程两端对 x 求导数得 3y2y+(y+xy)cos(xy)一 2e2x=0(*)将x=0 与 y(0)=1 代入(*)即得 将(*)式两端对 x 求导数又得6y(y)2+3y2y+(2y+xy)cos(xy)一(y+xy )2s
15、in(xy)一 4e2x=0，(*)将 x=0,y(0)=1 与 y(0)=代入(*)即得 利用以上计算结果即知所求的曲率为 曲率半径为18 【正确答案】 设曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆中心是( ，)先求(，)曲线 y=y(x)在点(0，1)处的法线方程是 y=1 一 ，曲率中心(，)位于法线上，所以有 =13又( ，)与(0，1)的距离即曲率半径 ，即于是 因为 y=y(x)在(0，1)附近是凹的(y (0)0，y (x)连续)， (，)在法线上凹的一侧，如右图，1 即于是曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程是19 【正确答案】 题设方程可改写为 由 f(x)连续知
16、与 可导，结合 45x 与 36xez 可导即知 f(x)可导，将上式两端求导得 化简得再将 中令 x=0 得 f(0)0求解转化为求解+ 从式又知 f(x)具有二介导数，将式两端求导得 f(x)+4f(x)一 5f(x)=36(x+2)ex在 式中令 x=0 得 fx(0)=36，综合可得 y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题 的特解从特征方程 2+4一 5=0 可得二特征根 1=1， 2=一 5，于是对应齐次微分方程有二线性无关特解 ex 与 e-5x，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式 y*=x(Ax+B)ex，代入方程知待定系数 A 和 B应满足恒等式6(2Ax+B)+2A
17、e x=36(x+2)ex，不难得出 A=3，B=11从而方程具有通解 y=C1ex+C2e-5x+(3x2+11x)ex，于是 y=C1ex 一 5C2e-5x+(3xx+17x+11)ex利用初值y(0)=0 与 y(0)=36 可确定 综合即得20 【正确答案】 由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积V(t)之间的关系是 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，且 S(z)=z2+(1 一z)2现由 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v0dt，即 两边积分并注意 z(
18、0)=0，得 (*)21 【正确答案】 求 z 取何值时 取最大值已求得 因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1 一 z)2 在0，1上的值点由(z)在 在0，1上取最小值故 时水表面上升速度最大22 【正确答案】 归结求容器的体积，即 因此灌满容器所需时间为 或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*)中令 z=1 得23 【正确答案】 由题设可知，在极坐标系中，F(x，y) 与 无关，于是再由 F(x，y)=f(x)+g(y)得 代入 式得由 f(x)=x，g (y)=y分别得因此 F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x 2+y2)+C0
19、 其中 C 与C0 为 常数24 【正确答案】 D 如图(1)所示因被积函数分块表示，要分块积分以 y 一 x=为分界线将 D 分成上、下两部分，分别汜为 D1 与D2，D=D 1UD2，见图(2)在 D1 中，yx2；在 D2 中，0y 一 x，于是【分析与求解二】利用对称性与 D 关于 y=x 对称的区域记为D*，又记 f(x，y)=sin(x 一 y)=f(y，x)，则25 【正确答案】 联系 f(x)与 f(x)的是拉格朗日中值定理，取 x0(a，+)， xx0有 f(x)=f(x0)+f()(x一 x0)(x0()：由 ，设 A0，由极限的不等式性质xa， xa 时 f(x) 现取定
20、 x0x，当 xx0 时，由于 x0x，有 f() ，于是由(*)式得 又因 所以若 A(x)=一 f(x) 由已证结论知于是26 【正确答案】 记 ，则 f(x)在a ，+)内可导且 f(x)=g(x)，则 l0 或 与收敛矛盾因此 l=027 【正确答案】 因为方程组(i)的解全是(ii) 的解，所以(i) 与(iii) 同解那么(i)和 (iii)的系数矩阵 有相同的秩如a=0则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于因为 a 和 a 一 1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3又当 时，r(B)=3，此时 (i)N(iii)同解28 【正确答案】 由于 基础解系为 则通解是
21、k，其中 k 为任意实数29 【正确答案】 由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一1，0，1，0) T， 3=C（0，0，0，1) T，则通解是 k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 是任意实数30 【正确答案】 据已知条件，有 即 解出 a12=2，a 13=2，a 23=一 2，所以 xTAx=4x1x2+4x1x34x2x331 【正确答案】 由 得矩阵 A 的特征值为2，2，一 4由(2E A)x=0， 得 =2的特征向量1=(1， 1，0) T， 2=(1，0，1) T；由(一 4EA)x=0， 得=一 4 的特征向量 3=(一 1，1，1) T将 1， 2 正交化令 1=1，则再对 1， 2， 3 单位化，有那么令xTAx=yTAy=2y12+2y22 一 4y32
