1、考研数学（数学二）模拟试卷 322 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x)在 x0 的某个邻域内连续，且 f(0)0 ，则在点x0 处 f(x)（A）不可导 （B）可导，且 f(0)0（C）取得极大值 （D）取得极小值 2 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“p(x)yq(x)yf(x)的解，C 1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1C 2y2y 3（B） C1y1 C2y2(C 1C 2)y3 （C） C1y1 C2y2(1C 1C2)y3 （D）C 1y1C 2y2(1 C 1C
2、2)y33 4 5 6 7 (2009 年试题，一) 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)上的曲率圆为x2+y2=2，则 f(x)在区间(1，2)内( )（A）有极限点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点8 二、填空题9 10 设 z=(1+x2y)xy，则 =_.11 12 13 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，当 x(0，+) 时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为 y=f(x)的反函数，它们满足 则 f(x)的表达式是_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 设函数 f(
3、x)在0，+)上可导，f(0)=0，且存在反函数，其反函数为 g(x)，若求 f(x)19 20 21 22 (2000 年试题，五) 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 fn(0)(n3)23 设 y 的 n2 阶导数 ，求 y 的 n 阶导数 y(n)考研数学（数学二）模拟试卷 322 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案
4、】 D【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 y=f(x)在点(1，1) 上的曲率圆为 x2+y2=2，且 f(x)不变号，所以 f(x)是一个凸函数，即 f(x) 则 f(1)=一 1因为 f(x)(x)(1)=一 1()(2一 1)=f()0， f(2)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 一 3xy2(1+x2y)xy2ln(1+x2y)【试题解析】 所以11 【正确答案】 -3/2【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 f(x)=x 2(x0)【试题解析
5、】 【分析一】由定积分的几何意义知： 由曲线 y=f(x)，x、y轴及直线 x=t0 所围成的曲边梯形的面积， 由曲线 x=g(y)，y 轴(yf(0)及直线 y=f(t)所围成的曲边三角形的面积 x=g(y)与 y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为 t 与 f(t)，见右图于是因此 tf(t)=t3，f(t)=t 2(t0)，即 f(x)=x2(x0)【分析二】先化简题设方程的左端式子，有 于是即 tf(t)=t3，f(t)=t 2(t0)因此 f(x)=x2(x0)【分析三】将题设方程两边求导得 即 f(t)+gf(t)f(t)=3t2，f(t)+t
6、f(t)=3t2，亦即tf(t) =3t2(原方程中令 t=0，等式自然成立，不必另加条件)将上式积分得 因 f(t)在0，+)上连续，故必有 C=0因此f(x)=x2(x0)14 【正确答案】 -75E【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 将 两边对 x 求导数，得 g(f(x)f(x)+f(x)=xey即 xf(x)+f(x)=xex或写成 【注】 (xf(x)=xex，两边积分得即 因 f(x)在 x=0 处连续，所以只有 C=1 时上式才能成立，所以【注】也可将 xf(z)+f(x)=xex 改写为用线性常微分方程的解的公式求出 f(x)19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 求函数的高阶导数在 0 点的值，可利用麦克劳林展开式即只需将 f(x)展开成麦克劳林级数，就可得到相应的高阶导数在 0 点的值，由题设 f(x)=x2In(1+x)，则由此知 ，所以【试题解析】 本题还可直接由莱布尼兹公式（uv） (n)=u(n)v(0)+Cn1v+Cn2u(n-2)vn+u(0)v(n)及 而求，在莱布尼兹公式中，令u=In(1+x)，v=x 2，则 因此【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】
