1、考研数学（数学二）模拟试卷 348 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x 的已知连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，C 1，C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+(C2 一 C1)y2+(1 一 C2)y3（B） (C1 一 C2)y1+(C21)y2+(1 一 C1)y3（C） (C1+C2)y1+(C1 一 C2)y2+(1 一 C1)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一
2、C2)y32 设 A，B，C 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是（A）A TBTATCT=E（B） BAC=CAB（C） BA2C=E（D）ACAB=CABA3 设 a1，a 2，a s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是( )（A）若 a1， a2，a s 线性相关，则 Aa1，Aa 2，Aa s 线性相关（B）若 a1，a 2，a s 线性相关，则 Aa1，Aa 2， ，Aa s 线性无关（C）若 a1，a 2，a s 线性无关，则 Aa1，Aa 2， ，Aa s 线性相关（D）若 a1， a2，a s 线性无关，则 Aa1，Aa 2，Aa
3、 s 线性无关4 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()ATAX=0 必有( ) （A）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解（B） ()的解是( )的解，( )的解也是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解5 (2007 年试题，一) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )（A）若 存在，则 f(0)=0（B）若 存在，则 f(0)=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在6 微分方程 y“yx 21 sinx
4、 的特解形式可设为（A）y *ax 2bxc x(Asinx Bcosc)（B） y*x(ax 2bxc AsinxBcosx) （C） y*ax 2bxc Asinx（D）y *ax 2bxc Acosx7 8 设 ，则 f(x) （A）不存在，x (，)（B）存在且为连续函数，x ( ，)（C）等于 0，x (，)（D）等于 0，x (，0)(0，)二、填空题9 设 Ye x(C1sinxC 1cosx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求微分方程 x2yxyy
5、 2 满足初始条件 的特解16 17 18 19 20 21 22 23 考研数学（数学二）模拟试卷 348 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将 B 改写为 C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y1)+(y3 一 y2)，因为 y1，y 2，y 3 均是 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，所以 y1-y3，y 2 一 y1 是 y+p(x)y+q(x,y)=0 的解，并且y1-y3 y2 一 y1 线性无关，事实上，若它们线性相关，则存在 k1 与 k2 不全为零，使得 k1(y1 一 y3)+k2(y2 一
6、 y1)=0，即一 k1y+k3，y 2+(k1-k2)y1=0由于题设 y1，y 2，y 3线性无关，故 k1=0，k 2=0，k 1k 2=0，与 k1，k 2 不全为零矛盾于是推知 C1(y3一 y3)+C2(y2 一 y1)为对应的齐次方程的通解，而 y3 一 y2 也是对应齐次方程的一个解，它包含于 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中，所以 C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y1)+(y3 一 y2)，即 B 也是该非齐方程对应的齐次方程的通解故应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则由 ABAC=E
7、知矩阵 A，B ，C 均可逆，那么由 ABAC=EABA=C -1CABA=E从而(CABA) T=ET，即 ATBTATCT=E，故 A 正确由 ABAC=E 知A-1=BAC，由 CABA=E 知 A-1=CAB，从而 BAC=CAB，故 B 正确由ABAC=ECABA=EACAB=E，故 D 正确由排除法可知， C 不正确，故选C3 【正确答案】 A【试题解析】 用秩的方法判断线性相关性 因为(Aa 1，Aa 2，Aa s)=A(a1，a 2，a s)，所以 r(Aa1，Aa 2，Aa s)r(a1，a 2，a s ) 又若a1，a 2，a s 线性相关，则 r(a1，a 2，a s)s
8、 ，从而 r(Aa1，Aa 2，Aa s)s 所以 Aa1，Aa 2，Aa s 线性相关，故选(A)4 【正确答案】 B【试题解析】 若 xu 是 AX=0 的解，即 Axi=0，显然 ATAxi=0； 若 xi 是 ATAX=0 的解，即 ATAxi=o，则 xiTATAxi=0，即(Ax i)T(Axi)=0若 Axi0，不妨设Axi=(b1，b 2，b n)T，b 10，则(Ax i)T(Axi)= 与(Ax i)T(Axi)=0 矛盾，因而 Axi=0，即 ()、( )同解选(B)5 【正确答案】 D【试题解析】 A，B，C 三个选项都是正确的对于 D 选项，如 f(x)=x，满足但
9、f(0+)=-1，f (0-)=-1，二者不相等，即 f(0)可以不存在，故应选D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 分析 本题应注意方程的右端为两项之和，因此由叠加原理，方程y“ y x21sinx 的特解为方程 y“yx 21 的特解与方程 y“ysinx 的特解之和 详解 方程 y“ yx 21sinx 对应的齐次方程的特征方程为 210，特征根为 1，2 i ， 由于 a0 不是特征根，于是方程 y“yx 21 的特解可设为 y*1ax 2bxc， 而 i 是特征方程的根，于是方程 y“ysinx的特解可设为 y*1x(Asinxcosx)， 所以，由叠加原理
10、得原方程的特解可设为 y*ax 2bx cx(AsinxBcosx) 故应选(A)【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 y“2y 2y0【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 m+n(m+n)【试题解析】 11 【正确答案】 0 是 n-1 重特征值，另一个是 3n【试题解析】 12 【正确答案】 |A|=-4【试题解析】 13 【正确答案】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因为aii i， 所以 aa a600a214 【正确答案】 2【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ；【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 根据题意可知方程组()中方程组个数
