1、考研数学（数学二）模拟试卷 386 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 数列极限（A）0（B） 1（C） （D）2 设 0，f(x)在(一 ，)有连续的三阶导数，f(0)=f(0)=0 且 ，则下列结论正确的是（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3 设 f(x，y)有连续的偏导数且 f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数 u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）4 设 则（
2、A）当 a一 3 或 a0 时，f(x)不可能无零点（B）当 a=0 时，f(x)不可能仅有一个零点（C）当 a=一 3 时，f9x)不可能仅有一个零点（D）当一 3a 0 时，f(x)不可能仅有两个零点5 设 D 是由直线 x=0，y=0，x+y=1 在第一象限所围成的平面区域，则_.（A）e+1 （B） e 一 1 （C）（D）6 以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）y+y+3y+5y=0（B） y一 y+3y+5y=0（C） y+y一 3y+5y=0（D）y一 y一 3y+5y=07 设 1， 2,3， 4
3、 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 的基础解系的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1（D）与 1， 2， 3， 4 等价的向量组8 下列矩阵中不相似于对角矩阵的是（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设 n 为正整数，则 =_10 设 y=y(x)满足方程 作自变量替换则 y 作为 t 的函数满足的微分方程微分方程是 _。11 设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， ，f(0)=一 1，则 =_
4、12 设 ，则 df(x，y)=_ 13 已知当 x0 时函数 f(x)一 sin(sinx)与 x4 是等价无穷小量，则 f(x)的带皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式是 f(x)=_14 已知 则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (I)设 ()求16 一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上，且与 AB 的距离为 a试求：(I)杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功17 设 (I)求证：f(x) 在0，+) 上连
5、续又()求 f(x)在0，+)的单调性区间；()求 f(x)在0， +)的最大值与最小值18 已知 y1*(x)=xe-x+e-2x，y 2*(x)=xe-x+xe-2x，y 3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x 是某二阶线性常系数微分方程 y+py+gy=f(x)的三个特解 (I)求这个方程和它的通解； ( )设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 0+y(x)dx19 设 z=z(x，y)是由 9x254xy+90y26yz 一 z2+1 8=0 确定的函数， (I) 求z=z(x，y) 一阶偏导数与驻点； ()求 z=z(x，y) 的极值点和极值20
6、求二重积分：21 若函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0 ，f(x) 0，且 f(x)在0，1上的最大值为 M求证：(I)f(x)0(x (0，1)；() 自然数 n，存在唯一的 xn(0，1)，使得22 已知四元齐次方程组 的解都满足方程式()x1+x2+x3=0 求 a 的值 求方程组(I)的通解23 已知 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=一 1 一3233，A 2=41+42+3，A 3=一 21+33 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A*一 6E 的秩考研数学（数学二）模拟试卷 386
7、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 转化为函数极限后用洛必达法则2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 为确定 的零点个数先考察 f(x)的单调性求出现列表格标出 f(x)的正负号区间，相应地得到 f(x)的单调性区间：所以 f(x)在(一，一 3)和(3，+) 内单调减少，在 (一 3，3)内单调增加，y=f(x)在每个单调性区间上是否存在零点取决于单调性区间端点的函数值或极限值是否异号故还要算出：综上计算结果可得当 a0 时，f(x)有两个零点； 当 a=0
8、时，f(x)只有一个零点 x=0；当一3a0 时，f(x)仅有两个零点； 当 a=一 3 时，f(x) 只有一个零点 x=3；当a一 3 时，f(x)没有零点应选 A5 【正确答案】 D【试题解析】 区域 D 如右图分析选用极坐标变换 D 的极坐标表示：6 【正确答案】 B【试题解析】 线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 对应于特征根1=1+2i， 2=12i 与 3=一 1，由此可得特征方程是 ( 一 12i)( 一 1+2i)(+1)=03 一 2+3+5=0由此即知以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 为线性无关特解
9、的三阶常系数齐次线性微分方程是 y一 y+3y+5y=0应选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 首先可排除 D，因为与 1， 2,3， 4 等价的向量组不必线性无关，包含向量个数也不必为 4另外 3 项都给出了 Ax=0 的 4 个解，是否构成基础解系只用看它们是否线性无关，即看秩是否为 4A 向量组 1+2， 2 一 3， 3 一4， 4 一 1l 对 1， 2,3， 4 的表示矩阵为 其行列式的值为2，因此是可逆矩阵于是 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 的秩为 4B 向量组1+2， 2 一 3， 34， 4+1 对 1， 2,3， 4 的表示矩阵为其行列式的值为 0，因
10、此是不可逆矩阵 1+2， 2 一 3， 3一 4， 4+1 的秩4.C 向量组 1+2， 2+3， 34， 4 一 1 对 1， 2,3， 4 的表示矩阵为 其行列式的值为 0，因此也是不可逆矩阵1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 的秩4.8 【正确答案】 C【试题解析】 C 矩阵的 3 个特征值都为 1，因此如果一个对角矩阵与它相似，则必须是单位矩阵 E，但是对每个可逆矩阵 PP 一 1EP=E，即 E 只和自己相似，因此 C矩阵不相似于对角矩阵.二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 先求11 【正确答案】 【试题解析】 由反函数求导公式得 再由复合函数求
11、导法得12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由题设知当 x0 时 f(x)一 sin(sinx)=x4+o(x4)下求 sin(sinx)的四阶麦克劳林公式14 【正确答案】 【试题解析】 A 是矩阵方程 A4X=A5 的解三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)用拼接法16 【正确答案】 (I)假定杆 AB 与质点 C 的位置如图所示，根据对称性，引力 F 是沿 y 轴负方向的，由于杆 AB 的线密度为 Ml，于是，位于x，x+dx 上微元的质量即为 它与质点 C 的引力在 y 轴方向的分力为17 【正确答案】 18 【正确答
12、案】 (I)由线性方程解的叠加原理y 1(x)=y3*(x)一 y2*(x)=e-2x，y 2(x)=y3*(x)一 y1*(x)=xe-2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是该齐次方程的特征根是重根 =一 2 相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0原方程为 y+4y+4y=f(x) 由于 y*(x)=xe-x 是它的特解，求导得 y*(x)=e-x(1 一 x)， y x(x)=e-x(x 一 2)代入方程得 e-x(x 一 2)+4e-x(1 一 x)+4xe-x=f(x) f(x)=(x+2)e-x原方程为 y+4y+4y=(x+2)e-x，其通解为 y=C1e
13、-2x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1，C 2 为 常数( ) C1，C 2，方程的 解 y(x)均有 不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得19 【正确答案】 (I)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得为求隐函数 z=z(x，y)的驻点，应解方程组可化简为 z=3y，由可得 z=30y 一 9x=3y，代入可解得两个驻点 x=3，y=1，z=3与 x=一 3，y=一 1，z= 一 3()z=z(x ，y)的极值点必是它的驻点为判定z=z(x，y) 在两个驻点处是否取得极值，还需求 z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数在驻点 P，Q 处20 【正确答案】 (I)D 是
14、圆周 x2+y2=2x(x 一 1)2+y2=1)的外部与梯形(x，y)1x2 ，0yz的公共部分如图所示在 Oxy 直角坐标系中选择先 y 后 x的积分顺序，D 表为()D 是圆域 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为 D1：21 【正确答案】 (I) 由题设条件及罗尔定理，() 由题设知存在 xM(0，1)使得 f(xM)=M0.22 【正确答案】 条件即 (I)和()的联立方程组和(I)同解，也就是矩阵对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的，显然 a
15、=0 时 r(A)=1，r(B)=2，因此 a0因为 a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3，a=1 2 得(I)的通解：c(一 1，一 1，2，2) T，C 任意23 【正确答案】 记 P=(1,2,3)，因为 1,2,3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵AP=(A 1，A 2，A 3)=(一 1 一 3233，4 1+42+3，一 21+33)得 A 的特征值为 1，2，3 思路：先求 B 的特征向量，用 P 乘之得到 A 的特征向量( 如果 B=，则 P 一 1AP=，即 A(P)=(P)对于特征值 1：B 的属于特征值 1 的特征向量(即(B 一 E)x=0 的非零解)为 c(1，1，1) T，c0则 A 的属于特征值 1 的特征向量为c(1+2+3)T， c0对于特征值 2： B 的属于特征值 2 的特征向量(即(B 一 2g)x=0 的非零解)为 c(2，3，3) T，c0则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c(21+32+33)T，c0。对于特征值 3：B 的属于特征值 3 的特征向量(即(B 一 3g)x=0 的非零解)为 c(1，3，4) T，c0则 A 的属于特征值 3 的特征向量为c(1+32+43)T，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，A =6于是 A*的特征值为 6，3，2，A *一 6E 的特征值为 0，一 3，一 4
