1、考研（数学一）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011)已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx=sin 3x 与 cxk 是等价无穷小，则( )（A）k=1，c=4（B） k=1，c=4（C） k=3，c=4（D）k=3，c=-42 (2012)设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2).(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=( )（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!3 (2012)曲线 的渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（
2、C） 2（D）34 (2009)设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B =3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )5 (2006)设 A、B 为两个随机事件，且 P(B)0，P(AB)=1，则必有( )（A）P(AB) P(A)（B） P(AB)P(B)（C） P(AB)=P(A)（D）P(AB)=-P(B)6 (2003)设函数 f(x)在(- ， +)内连续，其导函数的图形如图 1 所示，则 f(x)有( )（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点7 (2011)
3、函数 f(x)=ln(x-1)(x-2)(x-3)的驻点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 (2006)设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x) 0， x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy09 (1999)设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )（A）PX+Y0=（B） PX+Y1=（C） PX-Y0=（D）PX-Y1=10 (2002)设函数 y=f(x)在(0，+)
4、 内有界且可导，则( )11 (2005)以下四个命题中，正确的是( )（A）若 f(x)在(0 ，1)内连续，则 f(x)在(0，1) 内有界（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界12 (2004)设 f(x)在a，b 上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是( )（A）至少存在一点 x0(a，b)，使 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使 f(x0)f(b) （C）至少存在一点 x0(a，
5、b)，使 f(x0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使 f(x0)=013 (2001)设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点14 (2003)设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g(x)= ( )（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=015 (2005)设函数 u(x，
6、y)=(x+y)+(x+y)+ 其中函数 具有二阶导数，具有一阶导数，则必有( )16 (2005)设 an0，n=1，2，若 收敛，则下列结论正确的是( )17 (2002)设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解18 (2002)设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则对任意常数 k，必有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，
7、k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关二、填空题19 (2000) =_，20 (2001) (x3+sin2x)cos2xdx=_21 (2012)设区域 D 是由曲线 y=sinx，x= ，y=1 围成，则 (x5y-1)dxdy=_.22 (2008)设 D=(x，y)x 2+y21，则 (x2-y)dxdy=_23 (2009)设 =(x，y，z)x 2+y2+z21，则 z2dxdydz=_.24 (2007)设曲面 ：x+y+ z=1，则 =_.考研（数学一）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出
8、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 x0 时，函数 f(x)=3sin x=sin 3x 与 cxk 是等价无穷小，所以从而 k-1=2，即k=3，于是 故应选 C2 【正确答案】 A【试题解析】 利用导数的定义求 f(0)故应选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线因为所以 y=1 是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线又因为所以x=1 是曲线的铅直渐近线，x=-1 不是曲线的铅直渐近线综上所述，应选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆
9、矩阵由 =(-1)22AB=6 知，矩阵 可逆，从而故应选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查乘法公式与加法公式由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(AB)=P(B) ，再由加法公式有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)故应选 C6 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查导函数 y=f(x)与函数 y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点) 由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决考虑用y=f(x)与 y=f(x)的图形之间的关系画出 y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题 根据 y=f(x)的图形画出 y=f(x)的图形，如
10、图 2 所示，根据 y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点故应选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以 x=1，x=2 ，x=3是曲线 y=f(x)的铅直渐近线又 ，由此可画出f(x)=ln(x-1)(x-2)(x-3) 的草图，如图 3 所示，由图形可知，存在两点 x1，x 2，使得 f(x1)=f(x2)=0，即 f(x)有两个驻点故应选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 y=f(x 0+x)-(x0)=f()x (x0 x 0+x) 因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，从而 f()f(x 0)，于是 y=f()xf(x 0)x=dy 又因为 f(x
11、)0，所以 0dyy故应选 A9 【正确答案】 B【试题解析】 由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以 由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为 ，从而 PX+Y1= 故应选 B10 【正确答案】 B【试题解析】 取 ，因为排除 A、C、D故应选 B11 【正确答案】 C【试题解析】 取 f(x)= ，在(0，1) 内连续，但 f(x)=lnx 在(0，1)内无界，排除A取 f(x)= ，在(0，1)内连续，但 f(x)在(0，1)内无界，排除 B取 f(x)= ，在(0，1)内有界，但 f(x)= 在(0，1)内无界，
12、排除 D故应选 C12 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=2-x2，x -1，1，则 f(x)=-2x 在a，b=-1，1上连续，且f(a)=f(-1)=20，f(b)=f(1)=-20，满足已知条件 由 f(x)=2-x2 的图形可知，在(-1，1)内，f(x)1，即对任意 x0(-1，1) ，都有 f(x0)0，这表明 D 选项是错误的故应选 D13 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)的导数在 x=a 处连续及 =f(a)=0，即 x=a 是 f(x)的驻点从而所以 x=a 是 f(x)的极大值点故应选 B14 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)为不恒等于零的奇
13、函数，所以 f(0)=0，又 f(0)存在所以故 x=0 是 g(x)的可去间断点应选 D15 【正确答案】 B【试题解析】 取 (x)=x2，(x)=0 ，则 u(x，y)=(x+y) 2+(x-y)2=2x2+2y2于是由此可知，选项A、C、D 都不正确故应选 B16 【正确答案】 D【试题解析】 取收敛，但 发散，排除 A； 发散，排除B；发散，排除 C故应选 D17 【正确答案】 D【试题解析】 (推理法) 因为当 nm 时，齐次线性方程组 BX=0 有非零解，从而线性方程组(AB)X=0 有非零解，故应选 D18 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2 不能由 1， 2， 3 线性表
14、示，则 1， 2， 3， 2 线性无关 取 k=0，由 B 知， 1， 2， 3， 2 线性相关，与 1， 2， 3， 2 线性无关矛盾，排除 B 取 k=0，由 C 知， 1， 2， 3， 1 线性无关，则 1 不能由 1， 2， 3 线性表示，与已知条件矛盾，排除 C 取 k=1，由 D 知， 1， 2， 3 1+2 线性相关，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2 可由 1， 2， 3 线性表示，而 1 可由1， 2， 3 线性表示，于是 2 可由 1， 2， 3 线性表示，与已知条件矛盾，排除D故应选 A二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】 由定积分的几何意义， 表示由直线
15、 x=0，x=1 ，y=0与曲线 y= 所围成的图形的面积，如图 5 所示，所以(其中 S 为单位圆(x-1) 2+y21的面积)20 【正确答案】 【试题解析】 21 【正确答案】 -【试题解析】 22 【正确答案】 【试题解析】 因为积分区域 D 关于 x 轴对称，函数 y 关于 y 是奇函数，所以由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有23 【正确答案】 【试题解析】 利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有24 【正确答案】 【试题解析】 因为关于 yOz 平面对称，x 关于 x 为奇函数，所以 由轮换对称性，其中 S 是的表面积，记在第一卦限部分的面积为 S1如图 8 所示，则
