1、应用统计硕士（随机变量及其分布）模拟试卷 1 及答案与解析一、单选选择题1 设 X 为连续型随机变量，若 a，b 皆为常数，则下列等式中不恒成立的是( )。（A）P(Xa)P(Xa)（B） P(Xb)0（C） P(Xa)1（D）P(Xb)P(Xb)2 下列函数中，可作为某连续型随机变量的分布函数的是( )。（A）F()（B） F() arctan（C）（D）F() -f()d，其中 -+f()d13 函数 sin 是随机变量 的分布密度，如果 的取值范围为( )。（A）0 ， （B） 0，（C） 0， （D）0 ，24 下列可以作为离散型随机变量的概率分布的是( )。（A）（B）（C）（D）5
2、 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从正态分布 N(， )，如果 p(XY1) ，则 等于( )。（A）1（B） 0（C）（D）16 设随机变量 X 和 Y，独立同分布，分布列为 ，则下列各式中成立的是( )。（A）XY（B） PX Y1（C） PX Y0（D）PXY127 下面关于 n 重贝努里试验的叙述中，错误的是( )。（A）试验包含 n 个相同的试验（B）每次试验成功的概率 P 都是相同的（C）试验结果对应于一个离散型随机变量（D）在 n 次试验中，“ 成功” 的次数对应一个连续型随机变量8 设 是参数为 n4 和 P05 的二项随机变量，则 P(X2)为( )。（A）02125
3、（B） 03125（C） 06875（D）078759 已知离散型随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X3)P(X4)，则 为( )。（A）3（B） 2（C） 1（D）410 假设研究生入学数学考试的及格率为 50。随机地选择 8 个考生，则恰好有 4个人及格的概率为( ) 。（A）027（B） 05（C） 030（D）111 处于正态分布概率密度函数与横轴之间并且大于均值部分的面积为( )。（A）大于 05（B） 05（C） 1（D）0512 设随机变量 X，Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记p1PX4 ，p 2PY5，则( )。（A）对任何实数 ，都有
4、 p1p 2（B）对任何实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1p 2（D）对任何实数 ，都有 p1p 213 若随机变量 XN(， 2)，ZN(0 ，1)，则( )。（A）（B）（C）（D）14 假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为 50 元、标准差为 10 元的正态分布，已知 (2)09773，那么全公司中每周的加班津贴会超过 70 元的职员比例为( )。（A）00228（B） 03 174（C） 06826（D）0977215 设随机变量 X 的密度函数为 ，已知 PX1 ，则 ( )。（A）1（B） 11n2（C） 12（D）1n216 设随机变量 X 的分布列为：则
5、 YX 21 的分布列为( )。（A）（B）（C）（D）17 设随机变量 X 的概率密度为 f() ，则 Y3X 的概率密度为( ) 。（A）（B）（C）（D）二、简答题18 概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面?19 正态分布所描述的随机现象有什么特点?沩什么许多随机现象服从或近似服从正态分布?20 在什么条件下用正态分布近似计算二项分布的概率效果比较好?21 正态分布为什么需要加以标准化?标准化的意义是什么?三、计算与分析题22 设随机变量 XN(0，1)，求 YX 2 的概率密度。23 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布：24 已知连续型随机变量 X 密度函数为 ，且 P
6、1X30250 确定常数 a 和 b；求 PX15 。25 设随机变数 的分布函数为 求相应的密度函数，并求 P(1)。26 一条食品生产线每 8 小时一班中出现故障的次数服从平均值为 15 的泊松分布。求：(1)晚班期间恰好发生两次事故的概率。(2)下午班期间发生少于两次事故的概率。(3)连续三班无故障的概率。27 一批电阻器中。有 10是不合格品。如果随机抽取 10 个电阻器。其中有 2 个不合格的概率是多少?(1)运用二项分布；(2)运用作为二项分布的逼近泊松分布。28 某公司决定对职员增发“销售代表” 奖，计划根据过去一段时期内的销售状况对月销售额最高的 5的职员发放该奖金。已知这段时
7、期每人每个月的平均销售额(单位：元) 服从均值为 40000 元、方差为 360000 元的正态分布。那么公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为多少元 ?29 某公司员工的月工资服从均值为 1000 元、标准差为 100 元的正态分布。试计算某员工得到如下周工资的概率：(1)介于 950 元和 1300 元之间；(2)超过 1125 元；(3)低于 8110 元。应用统计硕士（随机变量及其分布）模拟试卷 1 答案与解析一、单选选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 X 为连续型随机变量，所以有： PXa1PXa ；对于定义区间上任意常数 b，均有 PXb0； PXa1PXa1；PXb
8、PXb。【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 B【试题解析】 由连续型随机变量的分布函数的性质可得： ()1 而01，故排除 A 项。，故排除 C 项。 概率密度函数具有两条性质：f()0； -+dxf()d1。D 项中的 f()的正负性未知，所以 F()不一定为分布函数。【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 A【试题解析】 A 项，当 0， 时 sin0且 sind1，所以 sin可以是随机变量 的分布密度； B 项，因为 0sind21，所以 sin不是随机变量的分布密度； C 项，当 ， 时，sin0 ，所以 sin不是随机变量的分布密度； D 项，当 ，2时，sin
9、0，所以 sin不是随机变量的分布密度。【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 C【试题解析】 离散型随机变量的概率分布应满足 1 且pi0，i1，2，n，题中只有 C 项满足： 。【知识模块】 随机变量及其分布5 【正确答案】 C【试题解析】 由于随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从正态分布，所以ZXYN(2 ，1) 。则 p(XY1)P(Z1)P 所以12 0，即 。【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 D【试题解析】 因为随机变量 X 和 Y 相互独立，且取值只能是 1 或者1，所以 P(XY)P(X Y 1)P(XY1) P(X 1)P(Y1)P(X1)P(Y1)【
10、知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 D【试题解析】 n 重贝努力试验的特征： 试验包含 n 个相同的试验；每次试验只有两个可能的结果：成功或失败；出现成功的概率 P 对每一次实验都是相同的，失败的概率 q 也不变，且 Pg1；试验是互相独立的； 试验结果对应于一个离散型随机变量。【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 P(X) ，所以P(X2)P(X 0) P(X1) 03125。【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 XP()，所以 P(X3)P(X4)，即 解得：4。【知识模块】 随机变量及其分布10 【正确答案】 A【
11、试题解析】 设及格的人数为 X，则 Xb(8，05) ，恰好有 4 个人及格的概率为：P(X4)C 84(05) 4(105) 4027。【知识模块】 随机变量及其分布11 【正确答案】 D【试题解析】 对于正态分布的概率分布函数，当 时，F() 05；当 p时，F() 0 5；当 时，F()05。题中大于均值的面积 S1F()10505。【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 A【试题解析】 已知 XN(，4 2)，YN(，5 2) 所以 N(0，1)，N(0 ，1) 则 所以，对任意的实数 ，均有 p1p 1。【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 D【试题解析】 0，
12、1 的正态分布称为标准正态分布。 E0， ，所以 服从标准正态分布，故 Z 。【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】 A【试题解析】 设每周的加班津贴为 X，则有： P(X70)1P(X70)1P1(2)109772 00228【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 B【试题解析】 由于 ，则：PX1 ，所以 。【知识模块】 随机变量及其分布16 【正确答案】 C【试题解析】 YX 21 可能取的值为1，0，3，8，则 P(Y1)P(X 21 1)P(X 0)015 P(Y0)P(X 210)P(X1)P(X1)045 P(Y 3)P(X 2 13)P(X2)P(X 2)0
13、35 P(Y8)P(X 21 8)P(X 3)P(X3)005【知识模块】 随机变量及其分布17 【正确答案】 C【试题解析】 设 y3，则 y 为单调递增函数，反函数为 y。故 Y3X 的概率密度为【知识模块】 随机变量及其分布二、简答题18 【正确答案】 (1)区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意义上的取值概率，连续型随机变量在给定区问内取值的概率对应的是概率密度函数 f()曲线(或直线)在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率值为 0，因为它对应的面积为 0。而分布函数 F 在 处的取值，就是随机变量 X 的取值落
14、在区间 ( ，)的概率。 (2)联系 F() -f()d；若 f()在 处连续，则有 F()F()。【知识模块】 随机变量及其分布19 【正确答案】 (1)正态分布所描述的随机现象具有如下特点：正态曲线的图形是关于 的对称钟形曲线，且峰值在 处；正态分布的两个参数均值 和标准差 一旦确定，正态分布的具体形式也就唯一确定，不同参数取值的正态分布构成一个完整的“正态分布族” ；正态分布的均值 可以是实数轴上的任意数值，它决定正态曲线的具体位置，标准差 相同而均值：不同的正态曲线在坐标轴上体现为水平位移；正态分布的标准差 为大于零的实数，它决定正态曲线的“陡峭”或“ 扁平”程度。 越大，正态曲线越扁
15、平；( 越小，正态曲线越陡峭；当 X 的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，正态曲线的左右两个尾端也无限渐近横轴，但理论上永远不会与之相交；与其他连续型随机变量相同，正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于 1。(2)如果原有总体是正态分布，那么，无论样本量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。若原有总体的分布是非正态分布，随着样本量 n 的增大(通常要求 n30)，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值 ，方差为总体方差的 1n 这就是统计上著名的中心极限定理。因此许多随机现象服从或近似服从正
16、态分布。【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 当样本量 n 越来越大时，二项分布越来越近似服从正态分布。这时，二项随机变量的直方图的形状接近正态分布的图形形状。即使对于小样本，当 p05 时，二项分布的正态近似仍然相当好，此时随机变量 X 的分布是相对于其平均值 np 对称的。当 p 趋于 0 或 1 时，二项分布将呈现出偏态，但当 n 变大时，这种偏斜就会消失。一般来说，只要当 n 大到使 np 和n(1 一 p)都大于或等于 5 时，近似的效果就相当好。【知识模块】 随机变量及其分布21 【正确答案】 因为不同的正态分布形式有不同的参数，要对不同的正态分布求某区间的概率是很困难
17、的。为此，需要对各种正态分布加以标准化，不同的正态分布变换为分布的平均数为 0、方差为 1 的标准正态分布。 数学上可以证明，若随机变量 x 服从正态分布 N(， 2)，则随机变量 服从标准正态分布，即zN(0，1)。z 就是标准化变换。 标准化的意义是可以利用这个标准化变换来计算非标准化正态分布的概率，得到随机变量取值。【知识模块】 随机变量及其分布三、计算与分析题22 【正确答案】 分别记 X，Y 的分布函数为 F()，F Y(y)。由于 YX 20，故当Y0 时 FY(y)0。当 y0 时有： F Y(y)P(Yy)P(X 2y) 将 FY(y)关于 y 求导数，即得 Y，的概率密度为：
18、由 X N(0，1)，其密度函数为：【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 由于 PXk 可得： 因此随着 k 的增大，P Xk先增后降，并且当 1 时达到最大，即k1。又 为整数，可得 k 与 k 1 时的 Pk 的值相等。所以k1 或 k 时 PXk 最大。【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 由概率密度的性质及其定义，有： -+f()d 02(ab)d2a2b1 又 P1X3 13f()d 12(ab)d 15ab025 联立，解得：a05，b1。 从而 ，所以 PX15 (051)d 00625。【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 1(1)e -e
19、-，所以相应的密度函数为P(1)F(1)1 。【知识模块】 随机变量及其分布26 【正确答案】 设一条食品生产线每 8 小时一班中出现故障的次数为 X。则XP()，即 P(X) ，1，2，。 (1)P(X2) 0251； (2)P(X2) P(X0) P(X1) 05578； (3)每 8 小时一班中无故障概率为 P(X0)e -1.5，由于三班是相互独立的，所以连续三班无故障的概率P(e -1.5)3e -4.500111。【知识模块】 随机变量及其分布27 【正确答案】 设随机变量 X 为 10 个电阻器中不合格的个数，则其中有两个不合格的概率为： (1)P(X2)C 102p2q8C 1
20、0201 209 801937。 (2) 泊松参数np10011，并将其带入泊松分布公式得： P(X2) 01839【知识模块】 随机变量及其分布28 【正确答案】 设这段时期每人每个月的销售额为 X 元，该公司应该把“ 销售代表”的最低发放标准定为 元。则由题意知，XN(40000 ，360000)。则由 P(X)5，即 所以 95，查标准正态分布表可得： 1645，解得40987 元。即公司应该把“ 销售代表”奖的最低发放标准定为 40987 元。【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 因为 XN(1000，100 2)，所以 (1)介于 950 元和 1300 元之间的概率为： (2)超过 1125 元的概率为： (3)低于 800 元的概率为：【知识模块】 随机变量及其分布
