1、应用统计硕士（随机变量的数学特征）模拟试卷 1 及答案与解析一、单选选择题1 随机变量 X 与 Y 相互独立，并且均服从正态分布 N(0， )，则 E(EXY )为( )。（A）（B）（C）（D）2 已知 X 服从二项分布，且 EX24，DX1 44，则二项分布的参数为( )。（A）n4，p06（B） n6，p04（C） n8，p03（D）n24，p013 设 X 是一随机变量，X 0 为任意实数，EX 为 X 的数学期望，则有 ( )。（A）E(X X0)E(XEX) 2（B） E(XX 0)2E(X EX) 2（C） E(XX 0)2E(XEX) 2（D）E(X X0)214 D(X)4，
2、 D(Y)1， Y06，则 D(3X2Y) 的值为 ( )。（A）40（B） 14（C） 256（D）1765 设随机变量 X 的概率密度为： f() ， 则下列随机变量 YN(0 ，1) 的是( )。（A）Y (3)（B） Y (3)（C） Y (3)（D）Y (3)6 设随机变量 XN(， 2)，且 E(X)3，则 P1X1 等于( )。（A）2(1)1（B） (4) (2)（C） (4)( 2)（D）(2)(4)7 设随机变量 X 的二阶矩存在，则( )。（A）EX 2EX（B） EX2EX（C） EX2(EX) 2（D）EX 2(EX)28 现在有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元
3、，2 张为 5 元，某人从中随机地无放回抽取3 张，则此人得奖金额的期望是( )。（A）6（B） 78（C） 9（D）129 设 P(n) (n1，2，) ，则 E(X)( )。（A）0（B） 1（C） 05（D）不存在10 连续型随机变量 的概率密度为 ，则方差 D(X)为( )。（A）（B）（C） 2（D）411 X 服从参数为 16 的泊松分布，Y 服从参数为 2 的指数分布， XY05，则D(X2Y) 为( )。（A）19（B） 13（C） 17（D）2112 设二维随机变量(X，Y)的联合分布密度函数 ，E(XY)等于( )。（A）2（B） 6（C） 8（D）413 设二维随机变量(
4、X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 X Y 与 X y不相关的充要条件是( ) 。（A）E(X)E(y)（B） E(X2) E(X2)E(Y 2)E(Y) 2（C） E(X2) E(Y2)（D）D(X) D(y)14 假设随机变量 X 与 y 的相关系数为 ，则 1 的充要条件是( )。（A）Ya b（B） Cov(X，Y)1，DXDY1（C）（D）D(XY) 二、简答题15 简述切比雪夫不等式的内容及其重要意义。16 试阐明偏度和峰度的判断标准。三、计算与分析题17 设某种商品每周的需求量 X 是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间10，30中的某一整数，商店每销
5、售一单位商品可获利 500 元，若供大于求。则削价处理。每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应。此时 1 单位商品仅获利 300 元。为使商品所获利润期望值不少于9280 元。试确定最少进货量。18 假定随机向量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 和 Y 分别服从正态分布 N(1，3 2)和 N0，4 2)，并已知它们的相关系数为 p(X，y) 12，现做变换：Z 。 (1)试求 Z 的数学期望 E(Z)和方差 D(Z)； (2)试求 X 与 Z 的相关系数P(X，Z) ； (3)试判断 X 与 Z 的独立性(说明理由)。东北财经大学 2008 研19 设 10 只
6、同一种电器元件中有 2 只废品，装配仪器时，从这批元件中任取 1 只，若是废品，则扔掉重新任取 1 只，直到取到正品为止。求已取出的废品数 X 的概率分布、数学期望及方差。20 设二维离散随机向量(X，Y)的分布列为：问：(1)X 与 y 是否相关? (2)X 与 y 是否独立?21 随机向量(X，Y) 在区域 D：0 1，y 内服从均匀分布-求：(1)关于 X的边缘分布密度；(2)Z 2X1 的方差 Var(Z)。22 设 1， 2， n 为正的且独立同分布的随机变量(分布为连续型或离散型)，证明：对任意的 k(1kn)，有应用统计硕士（随机变量的数学特征）模拟试卷 1 答案与解析一、单选选
7、择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由题干可知，E(XY)E(X)E(Y)0，D(XY)D(X)D(Y)1，T X Y，服从 N(0，1)，所以【知识模块】 随机变量的数字特征2 【正确答案】 B【试题解析】 已知二项分布的期望为 EXnp24，方差为DXnpq144，所以 q06，因此求得 n6，p04。【知识模块】 随机变量的数字特征3 【正确答案】 C【试题解析】 计算 E(XX 0)2，E(XEX) 2 两个式子的差，得： E(XX 0)2E(XEX) 2 E(X 22XX 0X 02)EX 22XEX (EX) 2 2X 0EXX 02(EX) 2 (X 0EX) 20【知识模块】
8、 随机变量的数字特征4 【正确答案】 C【试题解析】 Cov(X，Y)p y 062 12，所以 D(3X2Y) 9D(X)4D(Y)12Cov(X，Y) 9441 1212256【知识模块】 随机变量的数字特征5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X 的概率密度为： 故 XN(3，2) 。令 Y k(xb)，则 EYk(EXb)k( 3b)0，DYk 2DX2k 21，得： 故 y (X3)。【知识模块】 随机变量的数字特征6 【正确答案】 B【试题解析】 计算如下：【知识模块】 随机变量的数字特征7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 DXEX 2(EX) 210，故 EX2(EX)2。
9、【知识模块】 随机变量的数字特征8 【正确答案】 B【试题解析】 设 X 为得奖金额，则当 X6 时，P(X) ；当 X9 时，P(X) ；当 X 12 时，P(X) ，那么期望值为 E(X)678。【知识模块】 随机变量的数字特征9 【正确答案】 D【试题解析】 E(X)P() ，期望值趋于无穷大。【知识模块】 随机变量的数字特征10 【正确答案】 A【试题解析】 由随机变量 X 的概率密度可得：所以 D(X)E(X 2)E 2(X)2。【知识模块】 随机变量的数字特征11 【正确答案】 D【试题解析】 DX16，DY ，Cov(X，Y) XY 1，所以 D(X2Y)DX4DY4Cov(X
10、，Y) 164 4(1) 21【知识模块】 随机变量的数字特征12 【正确答案】 D【试题解析】 因为 p(，y)p 1()p2(y)，其中所以，X 与 Y 相互独立。由于因此，E(XY)E(X)E(Y) 64。【知识模块】 随机变量的数字特征13 【正确答案】 D【试题解析】 和 不相关，也就是协方差 Cov(，)0，即 EEE0。因为 XY 与 XY，所以 E(XY)(X Y) E(XY)E(XY)，即 D(X)D(Y) 。【知识模块】 随机变量的数字特征14 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 随机变量的数字特征二、简答题15 【正确答案】 (1)切比雪夫不等式的内容：如果 和
11、是概率分布的期望值和标准差，那么，对于任何 K1，分布至少有 1 一(1k 2)的概率包含在距期望值 K 个标准差的范围之内，即在 K 区间之内。 (2) 切比雪夫不等式的重要意义：为概率陈述规定了范围，而不论潜在的概率分布形式如何，只需要知道随机变量的数学期望和方差即可，并适用于离散型和连续型随机变量。另外，许多概率论中的定理都可由它推出，特别是对有关大数定理的证明中多次利用该不等式来估计概率。【知识模块】 随机变量的数字特征16 【正确答案】 (1)偏度系数 1 的判断标准有： 当 10 时，表示数列分布是正态的或对称的； 当 10 时，表示数列分布有偏斜，而且 1 的绝对值越大表示分布偏
12、斜程度越大， 1。绝对值越小越接近 0，表示分布偏斜程度越小； 当10 时，表示大于平均数的标志值分布较分散，分布曲线右边拉长尾巴，称为右偏斜或正偏斜； 当 10 时，表示小于平均数的标志值分布较分散，分布曲线左边拉长尾巴，称为左偏斜或负偏斜。 (2)峰度系数 2 的判断指标有： 当 2时，表示频率分布的峰度是正态分布的峰度； 当 20 时，表示在平均数邻近的标志值分布比正态分布更集中，分布曲线是尖态峰； 当 20 时，表示在平均数邻近的标志值分布比正态分布更分散，分布曲线是平坦峰。平坦峰表明次数分布离中趋势显著，离散度高。【知识模块】 随机变量的数字特征三、计算与分析题17 【正确答案】 该
13、种商品每周的需求量 X 服从10，30上的均匀分布，设商店所获利润为 ，商店进货量为 Y，则有： 则商品所获利润期望值为： ( 150y27000y105000) 若使商品所获利润期望值不少于 9280 元，只须满足： (150y 27000y105000)9280 解得，207y26。因为进货量为区间10，30中的某一整数，故为使所获利润期望值不少于 9280 元，最小进货量为 21个单位。【知识模块】 随机变量的数字特征18 【正确答案】 (3)由于随机向量(X，Y) 服从二维正态分布，Z ，则(X ，Z)服从二维正态分布。又由(2)知 XZ0，所以 X 与 Z 相互独立。【知识模块】 随
14、机变量的数字特征19 【正确答案】 依题意，10 只元件中有 2 只废品，所以 X 的可能取值为0，1，2。X0 表示“ 第一次抽到的就是正品” ；X1 表示“第一次抽到的是废品，第二次抽到的是正品” ；X2 表示“ 第一次和第二次抽到的都是废品，而第三次抽到的是正品” 。所以 PX21PX1 PX01 于是得到废品数 X 的概率分布： 所以则 D(X)E(X 2)E(X) 2。【知识模块】 随机变量的数字特征20 【正确答案】 (1)由(X ，Y) 的联合分布可以分别得到 X 和 Y 的概率分布为： P(X1)38，P(X0)14，P(X1)38 P(Y1)38，P(Y0)14，P(Y1)3
15、8 进而可求得 X 和 Y 的期望 E(X)E(Y)0，DO(X)D(Y)34。 XY 的概率分布为： P(XY1)P(X 1，Y 1)P(X1，Y 1)14 P(XY0)P(X0，Y1)P(X0，Y0)P(X0，Y 1)P(X1，Y0)P(X1，Y0)12 P(XY 1)p(X 1，Y 1)P(X1，Y1)14 可以得到 E(XY)0 。 因此 X 与 Y 的相关系数为：即 X 与 Y 不相关。 (2)由于P(X0，Y0)0，P(X0)14，P(Y0)14，可以看到： P(X0，Y0)P(X0)P(Y0) 故 X 与 Y 不独立。【知识模块】 随机变量的数字特征21 【正确答案】 由于随机向量(X，Y)在区域 D：0 1，y 内服从均匀分布，所以其联合密度函数为： (1)当 01 时f() -+dt -+dt2； 当 为其他值时，f()0，所以 X 的边缘分布密度为：(2)由(1) 可得：所以 Var(Z)Var(2X1)4Var(X) 4 。【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 j i 同分布(j1，n)，又 1，所以 E都存在且相等(j1，n)。由于 1 ，所以【知识模块】 随机变量的数字特征
