1、考研数学一（n 维向量与向量空间）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 Q= ，P 是 3 阶非零矩阵，且 PQ=0，则（A）t=6 时， r(P)=1（B） t=6 时，r(P)=2（C） t6 时， r(P)=1（D）t6 时，r(P)=22 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关3 设 1， 2， 3
2、是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为4 设矩阵 是满秩的，则直线 =的位置是（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面5 设 i=(ai，b i，c i)T，i=1 ，2,3，则平面上三条直线a1x+a2y+a3=0，b 1x+b2y+b3=0，c 1x+c2y+c3=0 交于一点的充分必要条件是（A） 1， 2， 3=0（B） 1， 2， 30（C） r(1， 2， 3)=r(1， 2)（D） 1， 2 线性无关，但 1， 2， 3 线性相关6 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ，艿线性表示
3、（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示7 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s+1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表出8 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 不能
4、由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关9 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3（B） 1+2， 1 2， 3（C） 1+2， 2+3， 3 1（D） 1 2， 2 3， 3 110 设向量组 I： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关11 若 r(1，
5、 2， s)=r，则（A）向量组中任意 r 一 1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r二、填空题12 设 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 AB=0，则 a=_13 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，一 1，一 2，4) T， 3=(一 3，2，3，一 11)T， 4=(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组15 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1
6、，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关?当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出16 已知向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2， 3， 5，如果它们的秩分别为 r()=r()=3，r()=4，求 r(1， 2， 3， 4+5)17 设 A 是 n 阶矩阵，证明 r(A*)=18 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，证明 r(AB)r(B)19 设 ， 为 3 维列向量，矩
7、阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置，证明： ( )秩 r(A)2； ( )若 ， 线性相关，则秩 r(A)220 设 A 是 n 阶矩阵，A 2=E，证明：r(A+E)+r(AE)=n21 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，r(B)=n ， AB=0，证明 A=022 设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A2=0，证明 A=023 判断下列 3 维向量的集合是不是 R3 的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基：( )W1=(x，y，x) x0；()W 2=x，y， z)x=0 ；()W3=(x，y，z)x+y 2z=0；()W 4：(x ，y，z)3x2y+z=1；
8、()W5=(x，y，z 24 已知 1=(1，1，1，1) T， 2=(1，1，一 1，一 1)T， 3=(1，一 1，1，一 1)T， 4=(1，一 1，一 1，1) T 是 R4 的一组基，求 =(1，2，1，1)在这组基下的坐标25 已知 1= 是 R3 的一组基，证明1= 3= 也是 R3 的一组基，并求由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3的过渡矩阵26 已知 R3 的两组基 1=(1，0，一 1)T， 2=(2，1，1) T， 3=(1，1，1) T 与1=(0，1，1) T， 2=(一 1，1，0) T， 3=(1，2，1) T () 求由基 1， 2， 3 到基1， 2，
9、3 的过渡矩阵； ()求 =(9，6，5) T 在这两组基下的坐标； () 求向量，使它在这两组基下有相同的坐标27 设 x=Cy 是坐标变换，证明 x00 的充分必要条件是 y0028 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，2，3) T， 2=(一 1，1，4，一 1)T， 3=(5，一 1，一 8，9) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个规范正交基29 已知 1=(1，2，0，一 1)T， 2=(0，1，一 1，0) T， 3=(2，1，3，一 2)T，试把其扩充为 R4 的一组规范正交基30 设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d
10、1=0，a 2x+b2y+c2z+d2=0，a 3x+b3y+c3z+d3=0，求 r( )考研数学一（ n 维向量与向量空间）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 若 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，且 AB=0，则由 B 的每列都是Ax=0 的解，可有 r(A)+r(B)n，从而 r(P)3 一 r(Q)如 t=6，则 r(Q)=1，得 r(P)2因此(A)，(B)应排除如 t6，则 r(Q)=2，得 r(P)1因此(D)不正确，而 P 非零，r(P)1 ，故仅(C)正确【知识模块】 n 维向量与向量
11、空间2 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nS 矩阵，满足 AB=0，且 A，B 均为非零矩阵，那么r(A)+r(B)n， r(A)1， r(B)1所以必有 r(A)n 且 r(B)n 因为，秩 r(A)=A 的列秩n， r(B)=B 的行秩n，故 A 的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关应选(A)【知识模块】 n 维向量与向量空间3 【正确答案】 A【试题解析】 按过渡矩阵概念：(新基)=(旧基)过渡矩阵，那么过渡矩阵 C 应满足关系式( 1+2， 2+3， 3+1)=(1， 3)C由于 ( 1+2， 2+3， 3+1)=(1， 2， 3) (1， 3)=(1
12、， 2， 3) 又( 1， 2， 3)可逆，从而 所以应选(A)【知识模块】 n 维向量与向量空间4 【正确答案】 A【试题解析】 初等变换不改变矩阵的秩，由可知，后者的秩仍应是 3所以直线的方向向量 S1=(a1 一 a2，b 1 一 b2，c 1 一 c2)， S 2=(a2 一 a3，b 2b3，c 2 一 c3)线性无关，因此排除(B) ，(C) 究竟是相交还是异面呢 ?在这两条直线上各取一点(a 3，b 3，c 3)与(a 1， b1，c 1)，可构造向量 S=(a3 一 a1，b 3b1， c3 一 c1)，如果 S，S 1，S 2 共面，则两直线相交，如 S1，S 2，S 3 不
13、共面，则两直线异面而三个向量的共面问题可用向量的混合积或线性相关性来判断例如或 S+S 1+S2=0，所以，应选(A)【知识模块】 n 维向量与向量空间5 【正确答案】 D【试题解析】 三条直线交于一点的充要条件是方程组 有唯一解，即 3 可由 1， 2 线性表出且表示法唯一故(D) 正确(B)肯定错，它表示1， 2， 3 线性无关，于是 r(A)r 方程组无解而(A)，(C) 均是交于一点的必要条件，仅行列式为 0 不能排除其中有平行直线，对于(C)，因为秩可能是 1，也就可能有平行直线作为充要条件(A)，(C) 是不正确的【知识模块】 n 维向量与向量空间6 【正确答案】 C【试题解析】
14、故应选(C)【知识模块】 n 维向量与向量空间7 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+2 一 3=0， 1， 2， 3 线性相关(C)是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关 1， 2， ， s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s， s+1 线性无关 (D)是【定理 34】的逆否命题故应选(D) 【知识模块】 n 维向量与向量空间8 【正确答案】 C【试题解析】 若 1=(1
15、，0) ， 2=(2，0)， 3=(0，2)， 4=(O，3) ，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1+3=(1，2) ， 2+4=(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B) ，取 4= 1，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组 (1，0，0)，(0，1， 0)，(0，0，1)，(一 1，一 1，一 1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3维向量必线性相关，如若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必可由 1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线性相关故应选(C)【知识模块】 n 维向量与向量空间9 【正确答案】
16、 D【试题解析】 用观察法由( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，可知 1 一 2， 2 一3， 3 一 1 线性相关故应选(D) 至于(A)，(B) ，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断例如，(A)中 r(1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 1+2， 3)=r(1， 2， 3)=3或( 1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 2， 3)由行列式 0 而知 1， 1+2， 1+2+3 线性无关【知识模块】 n 维向量与向量空间10 【正确答案】 D【试题解析】 用【定理 36】，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例
17、说明(A) ，(B)，(C)均不正确【知识模块】 n 维向量与向量空间11 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)=r 向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， s 中有 r 个向量线性无关，而任 r+1 个向量必线性相关所以应选(C) 【知识模块】 n 维向量与向量空间二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=0，有 r(A)+r(B)3又因 B0，有 r(B)1从而 r(A)3，因此行列式A=0又所以 a=【知识模块】 n 维向量与向量空间13 【正确答案】 k 1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T【试题解析】 由于
18、A=0，秩 r(A)=2，知 r(A*)=1 那么 nr(A*)=31=2从而 A*x=0 的通解形式为：k 11+k22 又 A*A=AE=0，故 A 的列向量是 A*x=0的解 所以 A*x=0 的通解为：k 1(1，2，一 1)T+k2(1，0，1) T【知识模块】 n 维向量与向量空间三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有所以， 1， 2 是一个极大线性无关组【知识模块】 n 维向量与向量空间15 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3， 4)，则那么，当 a=0 或 a=10 时，A=0 ，向量组 1， 2，
19、 3， 4 线性相关当 a=0 时， 1为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31， 4=41当a=10 时，对 A 作初等行变换，有由于2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1= 2 3 4，所以2， 3， 4 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1= 2 3 4【知识模块】 n 维向量与向量空间16 【正确答案】 由 r()=r()=3，知 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，故 4 可由 1， 2， 3 线性表出设 4=l11+l22+l33 如果 4+5 能由1， 2， 3
20、线性表出，设 4+5=k11+k22+k33，则 5=(k1 一 l1)1+(k2 一 l2)2+(k3一 l3)3 于是 5=可由 1， 2， 3 线性表出，即 1， 2， 3， 5 线性相关，与已知r()=4 相矛盾所以 4+5 不能用 1， 2， 3 线性表出，由秩的定义知r(1， 2， 3， 4+5)=4【试题解析】 由于 r()=3，得 1， 2， 3 线性无关，那么向量组1， 2， 3， 4+5 的秩至少是 3，能否是 4?关键就看 4+5 能否用 1， 2， 3 线性表出，或者看向量组 1， 2， 3， 4+5 是线性相关还是线性无关【知识模块】 n 维向量与向量空间17 【正确
21、答案】 若 r(A)=n，则A0，A 可逆，于是 A*=AA 1 )可逆，故r(A*)=n 若 r(A)n 一 2，则A中所有 n 一 1 阶行列式全为 0于是 A*=0，即r(A*)=0 若 r(A)=n 一 1，则A=0，但存在 n 一 1 阶子式不为 0，因此A*0，r(A *)1，又因 AA *=AE=0 ， 有 r(A)+r(A*)n，即 r(A*)n 一 r(A)=1，从而 r(A*)=1【知识模块】 n 维向量与向量空间18 【正确答案】 设 AB=C，C 是 ms 矩阵，对 B，C 均按行分块，记为用分块矩阵乘法，得即向量组 1， 2， ， m 可由向量组1， 2， n 线性表
22、出，那么由定理可知 r(AB)=r(C)=r(1， 2， m)r(1， 2， n)=r(B)【知识模块】 n 维向量与向量空间19 【正确答案】 () 利用 r(A+B)r(A)+r(B)和 r(AB)min(r(A)，r(B) ，有 r(A)=r(T+T)r(T)+r(T)r()+r() 又 ， 均为 3 维列向量，则 r()1，r()1故 r(A)2 ()方法 1当 ， 线性相关时，不妨设 =k，则 r(A)=r(T+K2T)=r(1+k2)T=r(T)r()12 方法 2因为齐次方程组 Tx=0 有 2个线性无关的解，设为 1， 2，那么 T1=0， T2=0 若 ， 线性相关，不妨设=
23、k，那么 T 1=(k)T1=kT1=0， T 2=(k)T2=kT2=0 于是 A 1=(T+T)1=0， A 2=(T+T)2=0， 即 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，因此 nr(A)2，即 r(A)12 【知识模块】 n 维向量与向量空间20 【正确答案】 由 A2=E，得 A2 一 E=0，即(AE)(A+E)=0故 r(AE)+r(A+E)n 又 r(AE)+r(A+E)=r(E 一 A)+r(A+E)r(EA)+(A+E)=r(2E)=r(E)=n， 所以 r(AE)+r(A+E)=n【知识模块】 n 维向量与向量空间21 【正确答案】 由 r(B)=n，知 B 的列向量中
24、有 n 个是线性无关的，设为1， 2， n令 B1=(1， 2， n)，它是 n 阶矩阵，其秩是 n，因此 B1 可逆由 AB=0，知 AB1=0，那么右乘 ，得 A=(AB1) =0【知识模块】 n 维向量与向量空间22 【正确答案】 因为 AT=A，A 2=0，即 AAT=0，而于是由 =0， a1j 均是实数，知 a11=a12=a1n=0同理知a2j0，a nj0， j=1，2，n，A 的元素全是 0，所以 A=0【知识模块】 n 维向量与向量空间23 【正确答案】 ()W 1 不是子空间，因为 W1 对数乘向量不封闭例如=(1， 2，3) W1，但 k0 时，k=(k，2k，3k)
25、W1()W 2 是子空间因为=(0， a，b)，=(0 ，c ，d)W 2，而 +=(0，a+c，b+d)W 2， k=(0，ka，kb)W2，即 W2 对于运算封闭，W 2 是子空间又(0，1，0)，(0，0，1)线性无关且能表示 W2 中任一向量，因而是 W2 的一组基，那么 dimW2=2()W 3 是子空间，如，W 3，即 ， 是齐次方程 x+y 一 2z=0 的解由于 +，k 仍是解，故+W3， kW 3，W 3 对运算封闭，是子空间(1，1，0)，(2，0，1)是基础解系，也就是 W3 的一组基，那么 dimW3=2()W 4 不是子空间因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，
26、即 W4 对加法不封闭()W 5 不是子空间，因为条件等同于 【试题解析】 要判断 W 是不是子空间，就是要检查 W 对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭如 W 是子空间，则 W 中向量的极大线性无关组就是一组基，而向量组的秩就是子空间的维数【知识模块】 n 维向量与向量空间24 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，按分量写出，有因此， 在基1， 2， 3， 4 下的坐标是【试题解析】 求 在基 1， 2， 3， 4 下的坐标，也就是求 用 1， 2， 3， 4线性表出时的组合系数【知识模块】 n 维向量与向量空间25 【正确答案】 由于 1， 2， 3= =40，所以 1，
27、 2， 3 线性无关，因此它是 3 维空间 R3 的一组基设由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵为C，则 (1， 2， 3)=(1， 2， 3)C，故 C=(1， 2， 3)1 (1， 2， 3)=【试题解析】 要证 1， 2， 3 是 3 维空间的一组基，也就是要证 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 n 维向量与向量空间26 【正确答案】 () 设从基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵是 C，则(1， 2， 3)=(1， 2， 3)C，故 C=(1， 2， 3)1 (1， 2， 3)=()设 在基 1， 2， 3 下坐标是(y1，y 2，y 3)T，即
28、y11+y22+y33=，亦即设 在基 1， 2， 3 下坐标是(x1，x 2，x 3)T，按坐标变换公式 X=CY，有 可见 在这两组基下的坐标分别是(1，2，4) T 和(0 ，一 4，5) T()设=x11+x22+x33=x11+x22+x33，即 x1(1 一 1)+x2(2 一 2)+x3(3 一 3)=0亦即所以，仅零向量在这两组基下有相同的坐标【知识模块】 n 维向量与向量空间27 【正确答案】 必要性(反证法) 若 y0=0，则 0=Cy0=C0=0 与已知 x00 矛盾故y00 充分性(反证法) 若 x0=0，由 Cy0=0，而 y00，知齐次线性方程组有非 0 解，那么系
29、数行列式C=0，这与 x=Cy 是坐标变换，C 为可逆矩阵相矛盾，故 x00【知识模块】 n 维向量与向量空间28 【正确答案】 因为秩 r(B)=2，所以解空间的维数是 n 一 r(B)=42=2又因1， 2 线性无关，故 1， 2 是解空间的一组基令 1=1=(1，1，2，3) T， 2=2 一1=(一 1，1，4，一 1)T 一 (一 4，2，10，一 6)T，再单位化，得 1= =(一 2， 1，5，一 3)T，即是解空间的一个规范正交基【知识模块】 n 维向量与向量空间29 【正确答案】 由 3=21 一 32 知 1， 2， 3 线性相关，但 1， 2 线性无关，故可将其扩充为 R
30、4 的一组基例如添加(0，0，1，0) T，(0，0，0，1) T那么，令1=(0，0，1，0) T， 2=(0，0，0，1) T(已互相正交)，而再单位化，得 1=(0，0，1，0) T， 2=(0，0，0，1) T， 3=就是合于所求的一组规范正交基【试题解析】 要先判断 1， 2， 3 的线性相关性，再扩充成 R4 的一组基(可用阶梯形向量组是线性无关的)，然后再用 Schmidt 正交化改造为规范正交基【知识模块】 n 维向量与向量空间30 【正确答案】 记 i=(ai，b i，c i) (i=1，2，3)是平面的法向量，A= 是方程组的系数矩阵， 是增广矩阵， i=(ai，b i，c
31、 i，d i)是 i 的延伸向量()平面两两不平行，有且仅有一个公共点的充要条件是 r(A)=r =3这可从方程组有唯一解来推导，亦可从法向量来看，这时的三个法向量不共面，因而 1， 2， 3 线性无关，即 r(A)=3， i 延伸后 i 仍线性无关故 r =3()三个平面两两相交，围成一个三棱柱的充要条件是 1， 2， 3 线性相关，但任两个线性无关，且 r =3法向量在与三棱柱的棱垂直的平面上，因而 1， 2， 3 共面，但不共线，因此1， 2， 3 线性相关，但任两个线性无关，从而 r(A)=2，此时方程组无解，r =3()三个平面两两不平行，并有一条公共直线的充要条件是 1， 2， 3 线性相关，但任两个线性无关，且 r =2( )有两个平面平行 (不重合) ，第三个平面与它们相交的充要条件是 1， 2 线性相关，但 3 不能用 1， 2 线性表出，且 r=3()有两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是 1， 2 线性相关，但 3 不能用 1， 2 线性表出，且 r =2【知识模块】 n 维向量与向量空间
