1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!3 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )4 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为 ( )5
2、 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是 ( )（A）f(x 2)-f(x1)=(x1-x2)f()， (a，b)（B） f(x1)-f(x2)=(x1-x2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1)-f(x2)=(x2-x1)f()，x 1x 2（D）f(x 2)-f(x1)=(x2-x1)f()，x 1x 26 在区间0 ，8 内，对函数 ，罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立，并且 f(8)=07 给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数
3、的函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 x00是 f(x)的极大值点，则-x 0 必是-f(-x) 的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+) 上连续，f(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= 在(a，+) 内单调增加； (3)若函数 f(x)对一切 x 都满足 zf(x)+3xf(x)2=1-e-x，且 f(x0)=0，x 00，则 f(x0)是 f(x)的极大值； (4)设函数 y=y(x)由方程 2y3-2y2+2xy-x2=1 所确定，则 y=y(x)的驻点必定是它的极小值点； (5)设函数 f(x)=xex，则它的 n 阶导数 fn()(x)在点 x0=-(n+1)处
4、取得极小值正确命题的个数为 ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题8 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_9 =sin4x+cos4x，则 y(n)=_(n1)10 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6ms ，问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 _m2s三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点， 0t1，求极限12 若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n-1又xx 0 时， (n)(x) (n)(x)
5、试证：当 xx 0 时，(x)(x)12 设函数 f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且 f(x) 0试证：13 若 x0(a， b)，则对于(a，b)内的任何 x，有 f(x 0)f(x)-f(x0)(x-x0)， 当且仅当x=x0 时等号成立；14 若 x1，x 2，x n(a， b)，且 xix i+1(i=1，2，n-1)，则其中常数 ki0(i=1，2，n) 且15 若 x-1 ，证明：当 0a1 时，有(1+x) q1+ax；当 a0 或 a1 时，有(1+x)a 1+ax15 设 x(0，1)，证明下面不等式：16 (1+x)in2(1+x)x 2；17 18 证明：19 求使不
6、等式 对所有的自然数 n 都成立的最大的数 和最小的数 20 设函数 f(x)在(-，+)内二阶可导，且 f(x)和 f(x)在(-，+)内有界证明：f(x)在(- ，+)内有界21 设 n 为自然数，试证：21 已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f(x)-f(x) 20(xR)22 证明：f(x 1)f(x2)23 若 f(0)=1，证明：f(x)e f(0)x (xR)24 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a， b 满足条件 0aba+bc2
7、5 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a26 设 ba e，证明：a bb a27 证明：当 x0 时，不等式 成立28 证明：当 成立考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 方法一 用导数定义方法二 用乘积的求导法则含因子 ex-1 项在 x=0 处为 0，故只留下了一项于是 f(0)=ex(e2x-2)(enx-n) x=0=(-1)(-2)-(n-1)
8、=(-1)n-1(n-1)!【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得xf(x) x=0，即 f()+f()=0，有 f()= ，所以选(A) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【
9、正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关系，知(D) 不正确【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件令 f(x)= ，得 f(4)=0，即定理中可以取为 4【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x0 取到极大值，则-f(x)必在点 x0 处取到极小值，故该结论错误；对于(2)，对任意xa，由
10、拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)-f(a)=f()(x-a)，则由 f(x)0 知，f(x)在(a，+)内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确；对于(3)，因 f(x0)=0，故所给定的方程为 ，显然，不论 x00，还是x00，都有 f(x0)0，于是由 f(x0)=0 与 f(x0)0 得 f(x)是 f(x)的极小值，故该结论错误； 对于(4)，对给定的方程两边求导，得 3y 2y-2yy+xy+y-x=0， 再求导，得 (3y 2-2y+z)y+(6y-2)(y)2+2
11、y=1 令 y=0，则由式 得 y=x，再将此代入原方程有 2x3-x2=1，从而得 y=y(x)的唯一驻点 x0=1，因 x0=1 时 y0=1，把它们代入式得 y (1,1)0，所以唯一驻点 x0=1 是 y=y(x)的极小值点，该结论正确； 对于(5)，因为是求 n 阶导数 f(n)(x)的极值问题，故考虑函数 f(x)=xex 的 n+1 阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得 f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n-1)=(x+n)ex，f (n+1)(x)=x+(n+1)ex；f (n+2)(x)=x+(n+2)ex 令 f(n+1)(x)=0，得 f(n)
12、(x)的唯一驻点 x0=-(n+1)；又因 f(n+2)(x0)=e-(n+1)0，故点 x0=-(n+1)是 n 阶导数 f(n)(x)的极小值点，且其极小值为 f(n)(x0)=-e-(n+1)，该结论正确故正确命题一共 3 个，答案选择(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 y+2x-1=0【试题解析】 过(0，1) 点的切线，即求过 t=0 的切线方程.由于则法线的斜率为-2，可得出法线方程为 y-1=-2(x-0)，整理得 y+2x-1=0【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 144【试题解析
13、】 设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2)=2r(2).6=144(米2秒)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因 f(x)=arcsinx 在0，t 上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 令 u(n-1)(x)=(n-1)(x)-(n-1)(x) 在x 0，x上用微分中值定理得 u (n-1)(x)-u(n-1)(x0)=u(n
14、)().(x-x0)， x0x 又由 u(n)()0 可知 u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)0， 且u(n-1)(x0)=0，所以 u(n-1)(x)0，即当 xx 0 时， (n-1)(x) (n-1)(x) 同理 u(n-2)(x)=(n-2)(x)-(n-2)(x) 0 归纳有 u(n-3)(x)0，u(x) 0，u(x)0于是，当 xx 0 时，(x)(x) 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 将 f(x)在 x0 点泰勒展开，即 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)2，在 x0 与 x 之间由已知 f(x)0，x
15、(a ，b)得 (x-x0)20(当且仅当 x=x0 时等号成立)，于是 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，即 f(x0)f(x)-f(x0)(x-x0)(当且仅当 x=x0 时等号成立)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 f(x0)f(xi)-f(x0)(xi-x0)，i=1，2，n，当且仅当 xi=x0 时等号成立 而 x0x1 且x0xn，将上面各式分别乘以 ki(i=1，2，72)后再求和，有【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)a 则有 f(x)=a(1+x)a-1，f(x)=a(a-1)(1+x) a-2，由 f(x)的泰勒展
16、开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，(0，1) ，可知当 x-1，0a 1 时，a(a-1)0，1+0 故 0，所以 f(x)f(0)+f(0)x ，即 (1+x) a1+ax 同理可证当x-1， a0 或 a1 时，有 (1+x)a1+ax【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 (x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2x-In 2(1+x)-2ln(1+x)，(0)=0 当 x(0，1)时，(x)= x-ln(1+x)0知 (x)单调递增，从而 (x)(0)=0，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1
17、+x)ln 2(1+x)x 2【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 f(x)=由(1)得，当 x(0，1)时f(x)0，知 f(x)单调递减，从而 f(x)f(1)= 又因为当 x(0，1)时，f(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 +)= ，所以【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由f(0)=1，只需证【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 已知不等式等价于故g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g(x)g(0)=0 同理，g(x)在0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即(1+x)ln 2(1+x)-x20，从而 f(x)0(0
18、x1)，因此 f(x)在(0， 1上也严格单调递减故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数 为【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 存在正常数 M0，M 2，使得对 x(-，+)，恒有 f(x)M 0，f(x)M 2 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f()，其中 介于 x 与 x+1 之间，整理得 f(x)=f(x+1)-f(x)- f()，所以 f(x)f(x+1) + f(x)+ 所以函数 f(x)在(- ，+)内有界【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 右端不等式等价于证明从而，当 x0 时，f(x)单调增，且当 x+ 时，f(x)趋于零，所
19、以，当 x0 时，f(x)0进而知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有从而右端不等式成立类似地，引入辅助函数，x0可证明：当 x0 时，g(x)0，从而对一切自然数 n，左端不等式成立【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 记 g(x)=Inf(x)，则 g(x)=【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 方法一 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立 当 a0 时，由于 f(x)在区间0，a及b，a+
20、b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1(0，a)，2(b， a+b)， 1 2，使得f(a+b)-f(b)-f(a)-f(0)=af( 2)-af(1) 因为 f(x)在(0，c)内单调减少，所以 f(2)f(1)，于是， f(a+b)-f(b)-f(a)-f(0)0， 即 f(a+b)f(a)+f(b) 方法二 用函数的单调性 将f(a+b)-f(b)-f(a)-f(0)中的 b 改写为 x，构造辅助函数 F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x 0，b， 显然 F(0)=0，又因为 f(x)在(0 ，c) 内单调减少，所以 F(x)=f(a+x)-f(x)0，于是有 F(b)F(0
21、)=0，即 f(a+b)-f(b)-f(a)0，即f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增F(x)=sinx+xcosx-2sinx+=+xcosx-sinx，由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，为此有F(x)=-xsinx0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=0，所以 F(x)0，x (0，)，于是 F(b)F(a) ，即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 f(x)=
22、 ，其中 lnxlne=1，所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当 ba e 时， 即 blnaalnb，则lnablnb a，所以 abb a【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 构造辅助函数 f(x)=1+x-由题设条件很难确定的符号，但是【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 ，而 cosx0，所以不等式成立当 上式中，当，但是，2xcosx-2sinx+x 3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcosx-2sinx+x3，则 g(0)=0，且 g(x)=x2+2x(x-sinx)0，所以，当 x时，g(x)=2xcosx-2sinx+x 30从而，当 x 时，【知识模块】 一元函数微分学
