1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下 3 个命题， 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列u ni必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 xni收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） f(f(x)（C） (f(x)（D）(x)3 设 f(x)=sin(cosx
2、)，(x)=cos(sinx)，则在区间 内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数4 设 则当n1 时，f n(x)= ( )（A）（B）（C）（D）5 设 则 f(一 x)等于 ( )（A）（B）（C）（D）6 设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x) 一 v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是 ( )（A）若 不存在，则 必存在（B）若 不存在，则 必不存在（C）若 存在，则*必不存在（D）若 存在，则 必存在7 两个无穷小比较的结果是 ( )（A）同阶（B
3、）高阶（C）低阶（D）不确定8 函数 f(x)=xsinx ( )（A）在(一 ，+)内无界（B）在 (一，+)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在9 极限 的充要条件是 ( )（A）1（B） 1（C） 0（D）与 无关10 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 x+x0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(c) 不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界
4、，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大二、填空题11 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 x(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_12 对充分大的一切 x，以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x， ，最大的是_13 14 极限15 设 则 ， 的值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 ，求 n，c 的值17 已知 ，求 a，b 的值18 确定 a，b ，使得 x 一 (abcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小19 设 ，求 a，b 的值20 确定常数 a，b，
5、c ，使得 c.21 设 ，其中 f(x)连续，求22 23 24 25 26 设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0 ，F(x) ，且当 x0 时，F(x)x n，求 n 及 f(0)27 设 f(x)在1，)内可导，f(x)0 且 a0，令 an .证明：a n收敛且 0 f(1)28 设 a0， x10，且定义 xn1 (n 1，2，)，证明： 存在并求其值29 设 a11，当 n1 时，a n1 ，证明：数列a n收敛并求其极限30 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1) 1证明：(1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c；(2)存在拿0 ，2，使得 2f(0)f(
6、1) 3f(2)6f()31 设 A，证明：数列a n有界32 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 ef(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续33 设 f(x)在a，)上连续，f(a) 0，而 存在且大于零证明：f(x)在(a，) 内至少有一个零点34 f(x) ，求 f(x)的间断点并分类35 求 f(x) 的间断点并判断其类型考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数
7、 N，当 nN 时，恒有u n 一 A可知当niN 时，恒有u ni 一 A因此数列u ni也收敛于 A，可知命题正确对于命题，不妨设数列 xn为单调增加的，即 x1x2x n，其中某一给定子数列xni收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有x niA由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在ninni+1，有一 ni 一 Axn 一 Axni+1 一 A ，从而 x n 一 A 可知数列xn收敛于 A因此命题正确对于命题，因 ，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2：当 2nN 1 时，恒有 x 2n 一 A ；当 2n
8、+1N 2 时，恒有 x 2n+1 一 A取 N=maxN1，N 2，则当 nN 时，总有x n 一 A因此 可知命题正确故答案选择D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有 g(一 x)=(一 x)=(一(x)=一 (x)=一 g(x)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 注意在 内，sinx 是增函数， cosx 是减函数任取 x1，x 2，且 x12，有 cosx1cosx 2 所以 sin(cosx)sin(cosx2)，即 f(x)是减函数；由于sinx12，所以 cos(sinx1)co
9、s(sinx2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 令 ，当 x0 时可排除 A；令当 x0 时可排除 B；令 当 x0 时可排除D【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 如 当 x0 时，都是无穷小但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在着点故 f(x)在(一，+)内无界C 错，对于任意给定的正数
10、 M，无论 x 取多么大的正数，总有xn=2nx( 只要 )，使 f(xn)=xnsinxn=0【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 令【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 设 当 x0 时为无界变量，不是无穷大，令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除 A设 x0 时，令 f(x)=x2, 可排除 B，C【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题11 【正确答案】 m【试题解析】 令 x=一 1，则 f(1)=f(-1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一 f(-1)=2f(1)一 2a再令 x=1，则 f(3
11、)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=一 f(-n)=一(一 m)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：e x xln x，其
12、中 ，0，故本题填 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 yx 一(abcosx)sinx ， y1bsin 2x 一(a bcosx)cosx ， y“ bsin2x sin2x(abcosx)sinxasinx2bsin2x， yacosx4
13、bcos2x， 显然 y(0)0， y“(0)0，所以令 y(0)y(0)0 得故当 时，x 一(abcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 ln(1x)(ax bx 2)x 一 o(x 2)一(ax bx 2)(1a)x 一(b )x2o(x 2)，由 得 x0 时， ，于是 ，故 a1，b一 2【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 由得 b一 1；由得 a；于是 c .【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24
14、【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an1 一 anf(n1)一f(n1)一 f()0(n，n1)，所以a n单调减少因为an f(k)f(x)dxf(n) ，而 f(k)f(x)dx0(k1，2，n1)且a 0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，) ，故 anf(n)0，所以 存在由 anf(1)，而 f(k)一0(k2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】
15、高等数学部分28 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 (1)令 (x)f(x) 一 12x，(0)一 1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1) ，使得 (c)0，于是 f(c)12c(2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M，由 6m2f(0)f(1)3f(2)6M 得由介值定理，存在 0，2，使得于是 2f(0)f(1) 3f(2)6f()【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 取 01，因为 A，根据极限定义，存在
16、 N0，当 nN时，有 a n 一 A1，所以a n A1 取Mmaxa 1，a 2，a N，A1)， 则对一切的 n，有a nM.【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 ef(x) 在0 ，1上单调增加， 所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x) ，令 x ，由夹逼定理得 f(x0 一 0)f(x 0)；当 xx 0 时，有 故令 x ，由夹逼定理得 f(x00)f(x 0)，故 f(x0 一 0)f(x 00)f(x 0)，即 f(x)在 xx 0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 高等数学部分33
17、 【正确答案】 令 k0，取 0 0，因为 k0，所以存在 X00， 当 xX0 时，有f(x)一 k ，从而 f(x) 0，特别地，f(X 0)0，因为 f(x) 在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()0【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 xk(k0，一 1，一 2，)及 x1 为 f(x)的间断点f(0 0)因为 f(00)f(00) ，所以 x0 为跳跃间断点；由 得x2 为可去间断点；当 xk(k一 1，一 3，一 4，)时，由 得xk(k 一 1，一 3，一 4，)为第二类间断点；由 得 x1 为第二类间断点【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 f(x)的间断点为 x0，一 1，一 2，及 x1当 x0 时，f(00) ，f(00)，则 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x一 1 时， ，则 x一 1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 xk(k一 2，一 3，)时， ，则 xk(k一 2，一 3，)为函数 f(x)的第二类间断点当 x1 时，因为 limf(x)不存在，所以 x1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学部分
