1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 12 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 已知 存在，且 ，求 f(x)2 设 f(x)是三次多项式，且有3 设 ，试求 ， 的值4 设函数 ，证明：存在常数 A，B ，使得当 x0 +时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数 A，B5 计算6 求极限7 数列x n通项8 设 证明： 存在并求其极限值9 设10 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?11 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?1
2、2 求极限13 计算极限14 利用夹逼定理证明：15 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f(0)，f (0)以及极限16 计算17 设18 试讨论函数 ,在点 x=0 处的连续性19 求函数 的间断点，并判断它们的类型20 设 求 f(x)的间断点并判定其类型21 设函数 f(x)连续可导，22 设 为了使 f(x)对一切 x 都连续，求常数 a 的最小正值23 设 求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续24 设 函数 f(x)由下列表达式确定，求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限25 设函
3、数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求26 设函数 f(x)在 0sinx，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限存在27 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且 f(x)在 x=0 处连续证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 12 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知x 一 2a，x 一 4a
4、为 f(x)的因式又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x 一 2a)(x一 4a)(xc)于是【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 显然由条件知 0，而【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 因为 所以a n有下界下面再证明a n单调递减【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的收敛性都不
5、能确定，现在先就 xn收敛，y n发散的情况来分析利用 这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零，y n发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛，且又x n收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 ，且y n发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如： yn=n，则 xnyn=1，于是x nyn收敛 ,yn=(一 1)nn，则 xnyn=(一1)n，于是 xnyn发散现在再就 xn和y n都发散的情况来分析x nyn的收敛性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则 xnyn必发散这是因为如果x nyn收敛，
6、而x n为无穷大，从等式 便得到yn收敛于零，这与假设矛盾若x n和y n都不是无穷大且都发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如x n=yn=(一 1)n 有 xnyn=1，于是x nyn收敛x n=(一 1)n，y n=1 一(一 1)n，有 xnyn=(一 1)n 一 1，于是x nyn发散【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的
7、形式但也可以写成一个表达式 ，所以函数 (x)=x是初等函数，而 ，则不是初等函数【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 从而得 F(0)=0，F(0)=4,【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 所以：当 a0 且 =一 1 时，有 g(0 一 0)一 g(0+0)=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续；当a0 且 一
8、 1 时，有 g(00)g(0+0)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点；当 a0 时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故 x=0 是函数F(x)的跳跃间断点当 x0 时， 在 x=1 处没有定义，且极限不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点当 x0 时，在点列 处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点,特别对点 ，有故 是函数 F(x)的可去间断点；而点，显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 故 x=0 为可去间断点 则 x=一 1 为跳跃
9、间断点【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 令 xn 一 tn=u，则 ，于是【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 当x1 时， 所以 f(x)=sinax；【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 f(x)在(一 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的，f(0)无定义，故 x=0 县间断点，因，所以 x=0 为跳跃间断点f(1)无定义，故 x=1 是间断点因为不存在，所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 显然 x=1 为间断点，连续区间(一，1)(1，+) 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限
10、、连续25 【正确答案】 本题考虑夹逼准则，由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 故 由 ，根据夹逼准则，得【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x)v(x)化为复合函数 ，其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得： 根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)一 k，得， 由上述结果 f(x)在 x=0 处右极限 f(0+)=1；而其左极限 由于极限 是存在的，故 2 一 k=f(0-)=f(0+)=1，则常数 k=1【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有，而 f(x0+x)一 f(x0)=f(x0)+f(x)一 f(x0)=f(x)，两边取极限得到，故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续
