1、考研数学一（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知曲面 z=x2+y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P 的坐标是 ( )（A）(1 ，一 1，2)（B） (一 1，1，2)（C） (1，1，2)（D）(一 1，一 1，2)2 设平面方程为 Ax+Cz+D=0，其中 A，C，D 均不为零，则平面 ( )（A）平行于 x 轴（B）平行于 y 轴（C）经过 x 轴（D）经过 y 轴3 已知向量 的始点 A(4，0，5)， 的方向余弦为则 B 的坐标为 ( )（A）(10 ，一 2，
2、1)（B） (一 10，一 2，1)（C） (10，2，1)（D）(10 ，一 2，一 1)4 双曲线 绕 z 轴旋转而成的曲面的方程为 ( )（A）（B）（C）（D）5 已知等边三角形ABC 的边长为 1，目 则 a.b+b.c+c.a= ( )（A）（B）（C）（D）6 过点 P(2，0，3)且与直线 垂直的平面的方程是 ( )（A）(x 一 2)一 2(y0)+4(z 一 3)=0（B） 3(x 一 2)+5(y0)一 2(z 一 3)=0（C）一 16(x 一 2)+14(y0)+11(z 一 3)=0（D）一 16(x+2)+14(y 一 0)+11(z 一 3)=07 已知 且 a
3、 与 b 不平行，则以 OA、OB 为邻边的平行四边形OACB 的对角线 OC 上的一个单位向量为 ( )（A）（B）（C）（D）8 已知 ，则a+b= ( )（A）1（B）（C） 2（D）9 曲线 x2+y2+z2=a2 与 x2+y2=2ax(a0)的交线是 ( )（A）抛物线（B）双曲线（C）圆（D）椭圆10 设直线 L 为 平面 为 4x 一 2y+z 一 2=0，则 ( )（A）L 平行于 （B） L 在 上（C） L 垂直于 （D）L 与 相交但不垂直11 曲面 上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为( )（A）48（B） 64（C） 36（D）1612 设 a，b， c
4、为非零向量，则与 a 不垂直的向量是 ( )（A）(a.c)b 一 (a.b)c（B）（C） ab（D）a+(ab)a13 与直线 及直线 都平行，且过原点的平面 的方程为 ( )（A）x+y+z=0（B） x 一 y+z=0（C） x+yz=0（D）xy+z+2=014 直线 与平面 ：x-y+2z+4=0 的夹角为 ( )（A）（B）（C）（D）15 曲线 在平面 xOy 上的投影柱面方程是 ( )（A）x 2+20y2-24x-116=0（B） 4y2+4z2 一 12z-7=0（C）（D）16 曲面 上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为 ( )（A）a（B）（C） 0（D）二
5、、填空题17 设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1 ，b=2，且 ab若 AB，则k=_18 点(-1，2， 0)在平面 x+2y-z+1=0 上的投影为_19 点(1 ，2，1) 到平面x+2y+2z-13=0 的距离是_20 已知 ，则 u=2a 一 3b 的模u=_21 过三点 A(1，1，一 1)，B(-2，一 2，2) 和 C(1，一 1，2)的平面方程是_22 三平面 x+3y+z=1，2xy-z=0，一 x+2y+2z=3 的交点是_23 xOz 坐标面上的抛物线 z2=x 一 2 绕 x 轴旋转而成的旋转抛物面的方程是_24 设 a=(3，一 5，8)，b=(-1，1，z
6、)，a+b=a-b，则 z=_25 向量 a=(4，一 3，4)在向量 b=(2，2，1) 上的投影为_26 已知向量 a=(2，一 1，一 2)，b=(1，1，z) ，则使 a 和 b 的夹角(ab)达到最小的z 为_ 27 已知ABC 的顶点坐标为 A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z) ，则当z=_时，ABC 的面积最小28 设 a，b， c 的模a=b=c =2，且满足 a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_29 过直线 且和点(2，2，2)的距离为 的平面方程是_30 曲面 z 一 ez+2xy=3 在点(1 ，2，0)处的切平面方程为 _三、解答题解答应写出文字
7、说明、证明过程或演算步骤。31 求直线 在平面 ：a y+3z+8=0 的投影方程32 求直线 旋转一周所产生的曲面方程32 设曲线 L 是抛物柱面 x=2y2 与平面 x+z=1 的交线33 求曲线 L 在各个坐标平面上的投影曲线；34 求曲线 L 分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程34 设有曲面 S：2x 2+4y2+z2=4 与平面 ：2x+2y+z+5=0，试求35 曲面 S 上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面 平行；36 曲面 S 与平面 的最短距离37 设 A(a ij)nn 是非零矩阵，且 A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A038 39 40
8、 41 42 43 考研数学一（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，可知切平面的法向量为(2，2， 1)又由 z=x2+y2 可得曲线切平面的法向量 (zy，z y，一 1)=(2x，2y，一1)令 (2x，2y ，一 1)(2，2，1)，解得 x=一 1，y= 一 1，代入 z=x2+y2，解得x=2所以，P 点坐标为(一 1，一 1，2)【知识模块】 向量代数与空间解析几何2 【正确答案】 B【试题解析】 平面 Ax+Cz+D=0 的法向
9、量 n=(A，0，C) ，易见 nj而 j 是 xOz平面的法向量，故该平面与=xOz 平面垂直又因为 D0，它不过原点，从而与 y轴平行(但不经过 y 轴) 应选 B【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 C【试题解析】 设 B(x，y，z)，则 ，所以 x一 4=6，y=2，z 一 5=一 4，即知 x=10，y=2 ，z=1【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 A【试题解析】 xOz 面上曲线 C：f(x ，z)=0 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 a.b=ab cos(ab)，而a=1
10、，b=1 ，类似地可得， ，所以应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何6 【正确答案】 C【试题解析】 所求平面 的法向量 n 可取为已知直线的方向向量 s=(1，一 2，4)(3，5，一 2)=(一 16，14，11)故 的方程为一 16(x 一 2)+14(y0)+11(z 一 3)=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何7 【正确答案】 A【试题解析】 由向量加法运算的几何意义，以 a、b 为邻边的平行四边形对应的对角线向量为 a+b，故它的单位向量为 应选 A【知识模块】 向量代数与空间解析几何8 【正确答案】 D【试题解析】 应选D【知识模块】 向量代数与空间解析几何9 【正确
11、答案】 C【试题解析】 x 2+y2+z2=a2 表示球心在原点、半径为 a 的球面，而 x2+y2=2az 表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交线是圆应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何10 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为 n=(4，一 2，1) ，因此 s 与 n 平行，从而直线 L 与平面 垂直故选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何11 【正确答案】 B【试题解析】 曲面 上任一点 P(x，y，z) 处的法向量为在点 P(x，y，z) 处的切平面方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 D【试题解析
12、】 因 对于 A，a(a.c)b 一(a.b)c=0 ；对于 B，a.对于 C，a.(ab)=0；对于 D，a.a+(ab)a=a 20，所以答案选择 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 B【试题解析】 设 L1 的方向向量为 s1，L 2 的方向向量为 s2，平面 的法向量为 n，则 ns1， 又因平面过原点，故答案选择 B【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知直线 L 的方向向量为 s=(2，1，1)，平面 的法向量为n=(1，一 1， 2)设直线 L 与平面丌的夹角为 ，则 ，选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何15
13、【正确答案】 A【试题解析】 投影柱面方程是一个关于 x，y 的二元方程，仅 A 入选事实上，B 中方程中含 z 不可能是 L 在平面 xOy 上的投影的柱面方程，而 C，D 中方程表示曲线【知识模块】 向量代数与空间解析几何16 【正确答案】 A【试题解析】 曲面上任意一点 P0(x0，y 0，z 0)处的切平面方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何二、填空题17 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于 AB，故有(2a+b).(ka+b)=0，又因 ab，所以即可得2ka 2+b 2=0，2k+4=0k= 一 2【知识模块】 向量代数与空间解析几何18 【正确答案】 【试题解析】 过点
14、(-1，2，0)且与平面 x+2yz+1=0 垂直的直线为它和平面的交点应满足方程组【知识模块】 向量代数与空间解析几何19 【正确答案】 2【试题解析】 点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-13=0 的距离【知识模块】 向量代数与空间解析几何20 【正确答案】 【试题解析】 u 2=u.u=(2a3b)=4 a26b.a6a.b+9b 2=4a 212a.b+9b 2=4412ab +94=161222 +36=28,所以【知识模块】 向量代数与空间解析几何21 【正确答案】 x 一 3y-2z=0【试题解析】 所求平面法向量可取为(0，一 2，3)=(-3，9，6)，或取n=(1，一
15、3，一 2)又平面过点(1，1，一 1)，从而所求平面方程为(x 一 1)-3(y 一1)-2(z-4-1)=0即 x-3y-2z=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 (1，一 1，3)【试题解析】 只需求解三元一次方程组 容易解得：x=1，y= 一1，z=3【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 y 2+z2=x 一 2【试题解析】 xOz 面上曲线 f(x，z)=0 绕 z 轴旋转而得的旋转曲面方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确答案】 1【试题解析】 由a+b=a一 b知，20+(8+z) 2=52+(8-z)2，得 z=1或者由
16、a+b= a 一 b知 ab(其几何意义是，a+b 表示以 a，b 为邻边的平行四边形的一条对角线向量，而 a 一 b 则表示另一条对角线向量两对角线长度相等的平行四边形必是矩形，故可知 ab)，a.b=0，由此可得一 3-5+8z=0，亦得 z=1.【知识模块】 向量代数与空间解析几何25 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何26 【正确答案】 一 4【试题解析】 要使(a,b)达到最小，则应即 2(2+z2)+(1-2z)z=0，即得 z=一 4【知识模块】 向量代数与空间解析几何27 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何28 【
17、正确答案】 一 6【试题解析】 (a+b+c).(a+b+c)= a 2+b 2+c 2+2a.b+2b.c+2a.c，因为a+b+c=0，故有a 2+ b 2+c 2+2(a.b+b.c+a)=0，【知识模块】 向量代数与空间解析几何29 【正确答案】 5xyz 一 3=0 或 x+yz 一 1=0【试题解析】 已知直线 ，的一般式方程为显然平面 3x-z 一 2=0 不符合题意，可设过该直线的平面束方程为 ：(2+3A)x 一 yz(1+2)=0 ，由点 (2，2，2)到 的距离为化简得 2=1，=1当 =1 时，对应一个平面1： 5xy z3=0；当 =1 时，对应另一个平面 2：x+y
18、 z 1=0 【知识模块】 向量代数与空间解析几何30 【正确答案】 2x+y-4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=ze z+2xy3，则所以，切平面的法向量为(4，2， 0)，由点法式得出切平面的方程为 2x+y-4=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 【正确答案】 先求出一平面 1，使它过直线 L 垂直于平面 设直线 L 的方向向量为 s，平面 1 的法向量为 n1，平面 的法向量为 n，则 n1s，n 1n，而下面再求出 L 上的某点坐标，为此，在方程 中令 x=0，得 y=4，z=一 1，则平面 1 过点(0，4，一 1
19、)于是其方程 1 为 x0 一 2(y 一 4)一(z+1)=0，即 x 一 2yz+7=0因直线 L 在平面 上的投影既在平面 上，又在平面 1 上，因而其方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何32 【正确答案】 设点 M0(x0，y 0，z 0)为直线 L 上一点，当直线 L 绕 L1 旋转时，点M0 旋转到点 M(x，y，z)，此时有将式代入式，得到(x 一 2)2+(y 一 3)2=(2z+3)2+(3z+1)2，即 x2+y2 一 13z2 一 4x 一 6y一 18z+3=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何【知识模块】 向量代数与空间解析几何33 【正确答案】 因抛物柱面
20、x=2y2 的母线平行于 z 轴，故 x=2y2 就是该交线 L 关于 xOy 坐标平面的投影柱面，因此，交线 L 在 xOy 平面上的投影是一条抛物线平面 x+z=1 可以看成母线平行于 y 轴的柱面，故 x+z=1 就是该交线 L 关于xOz 坐标平面的投影柱面，因此，交线 L 在 xOz 平面上的投影是一条射线.从方程 x=2y2 与 x+z=1 中消去变量 x，得 2y2+z=1，它就是该交线L 关于 yOz 平面的投影柱面，因此，交线 L 在 yOz 平面上的投影是一条抛物线【知识模块】 向量代数与空间解析几何34 【正确答案】 因曲线 的以 x 为参数的参数方程为则曲线 L 绕 x
21、 轴旋转一周的旋转曲面方程为因曲线 L 的以 y 为参数的参数方程为 *3，则曲线 L 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 x2+z2=4y4+(12y2)2因曲线 L 的以 z 为参数的参数方程为 则曲线 L 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何【知识模块】 向量代数与空间解析几何35 【正确答案】 在曲面 S 上任取一点 P(，)，记 F(x，y，z)=2x 2+4y2+z2 一4，则 于是，曲面 S 在点 P 处的切平面为 4(x一 )+8(y一 )+2(z)=0，即 2x+4y+z 一 4=0,因该切平面与平面 平行，即其法向量n=2l+4+k 与 n
22、=2i+2j+k 平行， 把它们代入曲面S 的方程得 2=1，=1 ，于是，所求的点为 且它们所对应的切平面方程分别为 2x+2y+z 一 4=0 与 2x+2y+z+4=0，它们所对应的法线方程分别为【知识模块】 向量代数与空间解析几何36 【正确答案】 曲面 S 上点 (x，y，z)到平面 的距离 现欲求曲面 S 与平面 的最短距离，它等价于求函数 f(x，y，z)=(2x+2y+z+5) 2 在条件2x2+4y2+z2=4 约束下的最小值的条件极值问题构造辅助函数 F(x，y，z ，)=(2x+2y+z+5)2+(2x2+4y2+z2 一 4)，令 解得其最小值点为 ，最大值点为 故所求
23、的最短距离为 .【知识模块】 向量代数与空间解析几何37 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1Ak1a k2Ak2a knAkna k12a k22a kn20【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分39 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分40 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分41 【正确答案】 直线 L 的方向向量为而平面 的法向量 n=(1，1，0)，故s=2n，所以 sn，即直线 L 与平面 垂直【知识模块】 向量代数与空间解析几何42 【正确答案】 直线 L 的方向向量
24、 s=(1，2，一 3)(一 2，6，0)=(18，6，10)，平面 的法向 n=(2，一 1，一 3)，所以 s.n=182+6(一 1)+10(一 3)=0，故 sn，即直线 L平面 ,取直线上一点，令 z=0，则 代入平面方程中，得到：因此直线 L 与平面 平行，但不在平面上【知识模块】 向量代数与空间解析几何43 【正确答案】 直线 L 的方向向量为 s=(一 1，0，2)，而平面 的法向量 n=(2，一 1，1) ，所以 s.n=一 12+0(一 1)+21=0，所以 sn，所以直线 L 与平面 平行，而直线上一点(1，1，一 2)代入平面方程 2xy+z+1=0 中，有：211+(一 2)+1=0，所以直线与平面不仅平行，而且重合，即直线在平面内【知识模块】 向量代数与空间解析几何
