1、考研数学一（向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则南基 1，1/2 2，1/3 3 到基1+2,2+3， 3+1 的过渡矩阵为2 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但小可由(
2、)线性表示3 设向量组 I： 1， 2，., r 可由向量组： 1， 2，., s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关4 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（
3、C） 1=0（D） 2=06 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关7 设向最组 1， 2， s 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21.（D） 1+22， 2+23
4、， 3+218 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 5二、填空题9 从 R2 的基 到基 的过渡矩阵为_.10 设 1=(1， 2，-1 ，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T若由 1， 2， 3生成的向量空间的维数为 2，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A
5、 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3 满足 A3=2+311 证明 1， 2， 3 线性无关；12 令 P=(1， 2， 3)，求 p-1AP.13 已知向量组 与向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a，b 的值14 已知向量组 (I)： 1， 2， 3； (II)： 1， 2， 3， 4； ()： 1， 2， 3， 5 如果各向量组的秩分别为 r(I)=r()=3，r()=4 证明向量组 1， 2， 3， 5-4 的秩为 415 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ， 3)T， 4
6、=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关?当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出16 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，2，3) T， 2=(-1，1，4，-1) T， 3=(5，-1，-8， 9)T 是齐次线性方程组 Bx=O 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个规范正交基17 设向量 1， 2，., t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 考研数学一（向量）模拟试卷 2 答案与解
7、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于( 1+2,2+3， 3+1)=(1，1/2 2，1/3 3) 按过渡矩阵定义知，应选(A) 【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11+k22+.+kmm 由于 小能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式巾必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-.-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、(D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+l22+.+lm-1m-1 则 =(k 1+k
8、ml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+km-1lm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 根据定理“若 1， 2，., s 可由 1， 2，., t 线性表出，且 st，则1， 2，., s 必线性相关 ”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应选(D)【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 曰是 ns 矩阵，且 AB=0，那么 r(A)+r(B)n 由于A，B 均非 0，故 0T。，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向量组 线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，
9、列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k 11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0. (k1+1k2)1+2k22=0，k 1k2 为 0 不同特征值的特征向量线性无关，所以 1， 2 线性无关【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A
10、 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【知识模块】 向量二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设由基 1， 2 到基 1， 2 的过渡
11、矩阵为 C，则 ( 1， 2)=(1， 2)C， 即 C=( 1， 2)-1(1， 2)【知识模块】 向量10 【正确答案】 6【试题解析】 由 1， 2， 3 所生成的向量空间的维数是 2，可知向量组的秩r(1， 2， 3)=2那么对( 1， 2， 3)作初等变换，有( 1， 2， 3)=所以 a=6【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量11 【正确答案】 由特征值特征向量定义有：A 1=-1，A 2=2 设 k11+k22+k33 用 A 乘得： k11+k22+k3(2+3) -得：2k 11-k32=0 因为 1， 2是矩阵 A 不同特征
12、值的特征向量， 1， 2 线性无关，所以 k1=0，k 3=0. 代入有k22=0因为 2 是特征向量， k20，故 k2=0从而 1， 2， 3 线性无关.【知识模块】 向量12 【正确答案】 由 A1=-1，A 2=2，A 3=2+3，有 A(1， 2， 3)=(-1， 2， 2+3)=(1， 2， 3) 所以 P-1AP=【知识模块】 向量13 【正确答案】 因 3 可由 1， 2， 3 线性表示故线性方程组有解.对增广矩阵施行初等行变换：由非齐次线性方程组有解的条件知，得 b=5又 1 和 2 线性无关， 3=31+22，所以向量组 1， 2， 3的秩为 2由题设知向量组 1， 2，
13、3 的秩也是 2，从而 解之得a=15【知识模块】 向量14 【正确答案】 r(I)=r()=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l11+l22+l33若k11+k22+k33+k4(5-4)=0，即 (k 1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k4)3+k45=0，由于 r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关，故必有 解出k4=0， k3=0， k2=0，k 1=0于是 1， 2， 3， 5-4 线性无关，即其秩为 4【知识模块】 向量15 【正确答案】 对( 1， 2， 3， 4)
14、作初等行变换，有( 1， 2， 3， 4)=若 a=0，则秩 r(1， 2， 3， 4)=1， 1， 2， 3， 4 线性相关极大线性无关组 1，且 2=21， 3=31， 4=41 若 a0，则有( 1， 2， 3， 4) 当 a=-10 时，1， 2， 3， 4 线性相关，极大线性无关组 2， 3， 4，且 1=-2-3-4.【知识模块】 向量16 【正确答案】 秩 r(B)=2，故解空间的维数 n-r(B)=2又因 1， 2 线性无关，故1， 2 是解空间的基取 1=1=(1，1，2，3) T， 2=2(2,1)/(1,1)1=(-1,1,4,-1)T-5/15(1,1,2,3)T=2/
15、3(-2,1,5,-3)T 将其单元化，有 r1= （1，1，2,3） Tr2= （-2,1,5，-3 ） T【试题解析】 要求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基，首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解【知识模块】 向量17 【正确答案】 证法一：(定义法) 若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，., t 是 Ax=0 的解，知Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左乘上式的两边，有 (k+k 1+k2+kt)A=0 由于A0，故 k+k1+k2+kt=0 重新分组为(k+k 1+k2+kt)+k11+k
16、21+ttt=0 k11+k21+ttt=0 由于 1， 2，., t 是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0， k2=0， ，k t=0 k=0 因此，向量组 ，+ 1，.,+ t 线性无关 证法二：(用秩) 经初等变换向量组的秩不变把第 1 列的一 1 倍分别加至其余各列，有 (， +1，+ 2,.,+t)(， 1， 2， t) 因此 r(，+ 1，+ 2,.,+t)=r(， 1， 2， t) 由于 1， 2， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩r(1， 2， t)=t，又 必不能由 1， 2， t 线性表出(否则 A=0)，故 r(， 1， 2， t，)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2,.,+t)=t+1 即向量组，+ 1，+ 2,.,+t 线性无关【知识模块】 向量
