1、考研数学一（向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 现有四个向量组 (1， 2，3) T，(3，1，5) T， (0，4，2) T，(1 ，3，0) T； (a，1，b， 0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f ，0，3) T； (a，1，2，3)T， (b，1，2， 3)T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T； (1，0，3，1)T， (1，3， 0，2) T，(2，1，7，2) T，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是( )（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（B）线性相关的向量组为 ；线
2、性无关的向量组为 （C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 （D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 2 设向量组() ： 1(a11，a 12，a 13)， 2(a 21，a 22， a23)， 3(a 31，a 32，a 33)；向量组()： 1(a 11，a 12，a 13，a 14)， 2(a 21，a 22，a 23，a 24)， 3(a 31，a 32，a 33，a 34，)，则正确的命题是( )（A）() 相关 ()无关（B） ()无关 ()无关（C） ()无关 ()无关（D）() 相关 ()无关3 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )
3、（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 3 1（C） 1 2，3 15 2， 519 2（D） 1 2，2 13 24 3， 1 22 34 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 ABE，则( )（A）A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关（B） A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关（C） A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关（D）A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关5 设向量组 1， 2， 3，线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则必有( )（A） 1， 2，
4、 1 线性无关（B） 1， 2， 2 线性无关（C） 2， 3， 1， 2 线性相关（D） 1， 2， 3， 1 2 线性相关6 设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（A）若 BAQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（B）若 B PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价（C）若 B PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价（D）若 A 的行(列) 向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价7 向量组 1(1 ，3，5， 1)T， 2(2，1，3，4) T， 3(6，4，4，6)T， 4(7，
5、7，9，1) T， 5(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（A） 1， 2， 5（B） 1， 3， 5（C） 2， 3， 4（D） 3， 4， 58 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为( )（A）1（B）（C） 1（D）9 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当Aa(a0)时，Ba（B）当 Aa(a0) 时，B a （C）当 A0 时，B0（D）当A0 时，B010 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成最
6、大线性无关向量组（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示11 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关二、填空题12 已知向量组 的秩为 2，则 t_13 从 R2 的基 1 ， 2 到基 1 ， 2 的过渡矩阵为_14 任意一个 3 维向量都可以用 1(1，0，1) T， 2(1，2，3) T， 3(a ，1，2) T线性表示，则 a 的取值为 _15 已知向量组 1(1 ，2 ，1，1) T， 2(
7、2，0，t ，0) T， 3(0，4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为_16 若 1(1 ， 0，5，2) T， 2(3，2，3，4) T， 3(1，1，t，3) T 线性相关，则未知数 t_17 向量组 1(1 ，2， 0，3) T， 2(2，5，3，6) T， 3(0，1，3，0)T， 4(2，1，4，7) T 的一个极大线性无关组是_18 若向量组 1(1 ，1 ，2，4) T， 2(0，3，1，2) T， 3(3，0，7，0)T， 4(1，2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是_19 设 1(1 ， 2，1，0) T， 2(1，1，0，2) T， 3(2，1，1
8、，0) T，若由1， 2， 3 形成的向量空间的维数是 2，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Ak0 有解向量 ，且 Ak-10证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的21 设 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1，e 2，e n 能由它们线性表示，证明 a1， a2，a n 线性无关22 设 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n维向量都可由它们线性表示23 设向量组 a1，a 2， am 线性相关，且 a10，证明存在某个
9、向量 ak(2km)，使ak 能由 a1，a 2，a k1 线性表示24 设向量组 B：b 1，b r 能由向量组 A：a 1，a s 线性表示为 (b 1br)(a 1，a s)K， 其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)r 25 设 证明：向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 等价26 已知 n 元齐次线性方程组 A10 的解全是 A20 的解，证明 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表示27 设 3 阶矩阵 A 的特征值 11， 22， 33 对应的特征向量依次为1 (1，1，1) T， 2(1 ，
10、2，4) T， 3(1，3，9) T (1)将向量 (1，1，3) T 用1， 2， 3，线性表示；(2)求 An考研数学一（向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个 3 维向量，从而线性相关，可排除 B 由于(1，0， 0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C 向量组 中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组 必线性相关应排除 A 由排除法，所以应选 D【知识模块】 向量2
11、 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A、C 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题同真同假，而本题要求有且仅有一个命题是正确的，所以 A、C 均错误如设有向量组：1 (1，0，0)， 2(0，1，0)， 3(0，0，0)与 1(1，0，0，0)，2 (0，1，0，0)， 3(0，0，0，1)显然 r(1， 2， 3)2，r( 1， 2， 3)3 即当 1， 2， 3 线性相关时，其延伸组 1， 2， 3 可以线性无关，因此，A 、C 错误 如果 1， 2， 3 线性相关，即有不全为 0 的 1， 2， 3，使11 22 330，即方程组 有非零解，那么齐次方程组 必有非零解，即 1，
12、2， 3 线性相关所以D 错误故选 B【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知 ( 1 2)( 2 3)( 3 1)0， ( 1 2)( 2 3)( 3 1)0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C，可设 1 1 2， 23 15 2， 35 19 2，即 1， 2， 3 三个向量可由1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即1 2，3 15 2，5 19 2 必线性相关 因而用排除法可知应选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ABE 是 m 阶方阵，所以 r(AB)m 且有 r(A)r(AB)m，又
13、因 r(A)m，故 r(A)m于是根据矩阵的性质，A 的行秩r(A)m，所以 A 的行向量组线性无关同理，B 的列秩r(B)m，所以 B 的列向量组线性无关所以应选 C【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 1， 2， 3 线性无关， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示知，1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关，故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性 取 1(1 ，0，0，0) T， 2(0，1，0，0)T， 3(0，0，1，0) T， 2(0，0，0，1) T， 1 1 知选项 A 与 C 错误 对于选项 D，由于 1， 2， 3 线性
14、无关，若 1， 2， 3， 1 2 线性相关，则 1 2 可由 1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，从而 2 可由 1， 2， 3线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误 所以应选 B【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 BAQ 中的 A、B 按列分块，设 A( 1， 2， n)，B( 1， 2， n)，则有 (1， 2， n)( 1， 2， n)表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆，从而有 ABQ -1，即( 1， 2， n)( 1， 2， n)
15、Q-1，表明向量组1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确 类似地，对于 PAB，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确 下例可表明选项 C 的命题不正确 设， 则 P、Q 均为可逆矩阵，且 BPAQ 但 B 的行(列)向量组与 A 的行(列)向量组不等价 对于选项D，若 A 的行(列) 向量组与 B 的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵 A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)所以应选 C【知识模块】 向量7 【正确答案】
16、C【试题解析】 对向量组的列向量作初等行变换，有可见秩r(1， 2， 3， 4， 5)3 又因为 3 阶子式 所以 2， 3， 4 是极大线性无关组，所以应选 C【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 的行列式作初等列变换，即把行列式 A的第2，3，n 列加到第 1 列上，提取公因式(n1)a1，得令A 0，得a1 或 a 而当 a1 时，r(A)1，这与 r(A)n12 矛盾，所以应选B【知识模块】 向量9 【正确答案】 D【试题解析】 因为当A0 时，r(A)n ，又由题设，矩阵 A 与 B 等价，故r(B)n，从而B0，所以应选 D【知识模块】 向量10 【正确答
17、案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A【知识模块】 向量11 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r( )s 又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D【知识模块】 向量二、填空题12 【正确答案】 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2，故得 t2【知识模块】 向量13 【正确答案】 【试题解析】 根据定义，从 R2 的基 1 ， 2 到基 1 ，
18、2 的过渡矩阵为【知识模块】 向量14 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个 3 维向量都可以用 1(1 ，0，1) T， 2(1，2，3)T， 3(a，1，2) T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 11 22 33 有解，也就是对于任意的 ，r( 1， 2， 3)r( 1， 2， 3，)3，因此 1， 2， 3 2(a3)0， 而当 a3 时满足题意【知识模块】 向量15 【正确答案】 (，)【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析 令 A 1， 2， 3而对任意的 t，r(A)3 是恒成立的，即向量组满
19、足线性无关【知识模块】 向量16 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是齐次方程组11 22 330 有非零解将系数矩阵通过初等变换化为阶梯形矩阵，则有由于方程组有三个未知数，如果该方程组有非零解，则系数矩阵的秩必定小于等于 2，因此可知 t10，即t1【知识模块】 向量17 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有因为矩阵中有 3 个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在 1，2，4 列，所以 1， 2， 4 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组【知识模块】 向量
20、18 【正确答案】 a14【试题解析】 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以这 n 个向量组成的矩阵对应的行列式不为 0，由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为 ，计算该行列式可得因此可知 a14【知识模块】 向量19 【正确答案】 6【试题解析】 由题意知向量组 1， 2， 3 线性相关，而其中两个向量线性无关，所以 r(1， 2， 3)2，故由初等变换所以 a60 即a6【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设有常数 0， 1， k-1，使得 01 1A k-1Ak-10， 则有 Ak-1(0 1A k-1Ak-1)0， 从而得到 0
21、Ak-10由题设 Ak-10，所以 00 类似地可以证明 1 2 k-10，因此向量组 ，A，A k-1 是线性无关的【知识模块】 向量21 【正确答案】 n 维单位向量 e1，e 2，e n 线性无关，有 r(e1，e 2，e n)n 又因为 n 维单位坐标向量 e1，e 2，e n 能由 a1，a 2，a n 线性表示，则可得 nr(e 1，e 2，e n)r(a1，a 2，a n) 又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，因此 r(a1，a 2，a n)n 综上所述 r(1， 2， n)n故 a1，a 2，a n 线性无关【知识模块】 向量22 【正确答案】 必要性： a 1，a
22、2，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此r(a1，a 2，a n)n对任一 n 唯向量 b，因为 a1，a 2，a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n1，故 a1，a 2， ，a n，b 线性相关 综上所述 r(a1，a 2，a n，b)n 又因为 a1，a 2， an 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a1，a 2，a n 线性表示，则单位向量组： 1， 2， 3 可由 a1，a 2，a n 线性表示，即 r( 1， 2， n)nr(a 1，a 2， ，a n)， 又 a1，a 2，a n 是一组 n
23、维向量，有 r(a1，a 2，a n)n 综上，r(a 1，a 2， an)n所以 a1，a 2， ，a n 线性无关【知识模块】 向量23 【正确答案】 因为向量组 a1，a 2，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a1 2a2 mam0 设 k0，当 k1 时，代入上式有 1a10又因为 a10，所以 10，与假设矛盾，故 k1 当 k0 且 k2 时，有 a k ，k1， 因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示【知识模块】 向量24 【正确答案】 必要性： 令 B(b 1，b r)，A(a 1，a s)，则有 BAK，由定理 r(B) r
24、(AK)minr(A)，r(K)， 结合向量组 B：b 1，b 2，b r 线性无关知r(B)r，故 r(K)r 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)rainr，s 且由向量组B：b 1， b2，b r 能由向量组 A：a 1，a 2，a s 线性表示，则有 rs，即minr，sr 综上所述 rr(K)r，即 r(K)r 充分性：已知 r(K)r，向量组 A线性无关，r(A)s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 PA ， 于是有 PBPAK 由矩阵秩的性质 r(B)r(PB)rr(K)， 即 r(B)r(K)r，因此向量组 B 线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案
25、】 设向量组 1， 2， n 和 1， 2， n 依次构成矩阵 A 和B，由条件知 BAK ，则 r(B)r(A)且 r(A)r(A，B)其中系数矩阵 K 为行列式K(n1)(1) n-10(n2)，故 K 可逆，则ABK -1，因此有 r(A)r(B)且 r(B)(B，A)， 又 r(A，B)r(B，A)，综上所述r(A)r(B) r(A，B) 因此 1， 2， n 与 1， 2， n 能相互线性表示从而 1， 2， ， n 与 1， 2， n 等价【知识模块】 向量26 【正确答案】 因为 A10 的解全是 A20 的解，所以 A10 与 同解那么 nr(A 1)nr ，即 r(A1)r ，所以 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表示【知识模块】 向量27 【正确答案】 (1)设 11 22 33 ，即故 2 12 2 3 (2)A2A 12A 2A 3，则由题设条件 AnB2A n12A n2A n32 122 n23 n3【知识模块】 向量
