1、考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 设 f(x)为连续函数， 则 F(2)等于( )（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）02 (2006 年) 设 f(x，y)为连续函数，则 等于( ) 3 (2014 年) 设 f(x，y)是连续函数，则 4 (2015 年) 设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 二、填空题5 (2001 年) 交换二次积分的积分次序：6 (2009 年) 设
2、=(x，y，z)|x 2+y2+z21，则7 (2015 年) 设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则8 (1998 年) 设 L 为椭圆 其周长记为 a，9 (2009 年) 已知曲线 L：y=x 2(0x )，则10 (2004 年) 设 L 为正向圆周 x2+y=2 在第一象限中的部分，则曲线积分的值为_。11 (2010 年) 已知曲线 L 的方程为 y=1 一|x|(x 一 1，1) ，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分12 (2017 年) 若曲线积分 在区域 D=(x，y)|x 2+y21内与路径无关，则 a=_。三、解答题解答应写出文字
3、说明、证明过程或演算步骤。13 (2002 年) 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0x1，0y1。14 (2011 年) 已知函数 f(x， y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中 D=(x，y)|0x1，0y1)，计算二重积分15 (2005 年) 设 D=(x，y)|x 2+y2 x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数。计算二重积分16 (2016 年) 已知平面区域 D=(r，)|2r2(1+cos， 计算二重积分17 (2006 年) 设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0)，计算二重积分 I=18 (2015 年)
4、 已知曲线 L 的方程为 起点为 终点为计算曲线积分19 (1999 年) 求 其中 a，b 为正常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 到点 O(0，0) 的弧。20 (2000 年) 计算曲线积分 其中 L 是以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向。21 (2003 年) 已知平面区域 D=(x，y)|0x，0y)，L 为 D 的正向边界。试证： 22 (2008 年) 计算曲线积分 其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0)的一段。23 (2012 年) 已知 L 是第一象限中从点 (0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周x2+
5、y2=4 到点 (0，2)的曲线段，计算曲线积分 24 (2002 年) 设函数 f(x)在 (一，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b) ，终点为(c ，d) 。记 (I)证明曲线积分 I 与路径 L无关； () 当 ab=cd 时，求 I 的值。25 (2005 年) 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 的值恒为同一常数。 (I)证明：对右半平面 x0内的任意分段光滑简单闭曲线 C 有 ()求函数 (y)的表达式。26 (2006 年) 设在上半平面 D=(x，y)|y0)内，函数 f(x，y)具有
6、连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(x，y) 。证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有27 (2016 年) 设函数 f(x，y)满足 且 f(0，y)=y+1，L t 是从点(0， 0)到点 (1，t)的光滑曲线，计算曲线积分并求 I(t)的最小值。考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将 F(t)看成二次积分的累次积分，交换积分次序，得 于是 F(t)=f(t)(t 一 1)，从而有 F(2)=f(2)。故应选 B。【知识模块
7、】 多元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 先还原出积分区域，由于 r 的取值范围为 0 到 1，可知积分区域在圆x2+y2=1 的内部；又由于 的取值范围为 0 到 可知积分区域为 x 的正半轴和射线 之间的部分。如图所示： 由积分区域的形状可知，应该先对 x 积分，可得 【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域如图所示，如果换成直角坐标则应该是 则选项 A，B 都不正确。 如果换成极坐标则为 应该选 D。【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 先作出积分区域的图像， 的取值范围为 r 的取值范围为 另外需要注意极坐标和直角坐标之间
8、的变换公式为dxdy=rddr。答案是 B。 【知识模块】 多元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分。但在一 1y0 内，21 一 y，题设的二次积分并不是 f(x，y)在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为： 其中 D=(x，y)|一 1y0，1 一yx2)，再由图所示， 又可将 D 改写为 D=(x ，y)|1x2，1 一 xy0，于是 【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 方法一：利用球面坐标。 方法二：由轮换对称性可知， 所以 方法三：“先二后一”法 其中Dz=(x，y)|x 2
9、+y21 一 z2。【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由轮换对称性，得 其中 Dz 为平面 z=z 截空间区域 所得的截面，其面积为 所以 【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 12a【试题解析】 L 关于 x 轴(y 轴)对称，2xy 关于 y(关于 x)为奇函数，故又在 L 上， 因此， 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知，x=x，y=x 2，0x 则所以【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为 于是 【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案
10、】 0【试题解析】 将曲线 L 拆分成图中所示的直线段 L1，L 2，则 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 一 1【试题解析】 令 则 由曲线积分与路径无关可得则 2a=一 2，即 a=一 1。【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 应先将 emaxx2,y2写成分块表达式。记 D 1=(x，y)|0x1，0yx，D2=(x，y)|0x1，xy1 ，于是 从而 【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 将二重积分 转化为累次积分可得 首先考虑 注意这是把变量 y 看作常数，故有 由 f(1，y)=f(x ，1)=。易
11、知 fy(1，y)=f x(x，1)=0。故 对该积分交换积分次序可得： 再考虑积分 注意这里是把变量 x 看做常数的，故有 因此 【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 被积函数分块表示，令 D 1=(x，y)|0x 2+y21，x0，y0 ， D2=(x，y)|1x 2+y2 x0，y0 ，利用极坐标变换， 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 积分区域关于 x 轴对称， 为 y 的奇函数，从而知 所以 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 由题意假设参数方程 【知识模块】 多
12、元函数积分学19 【正确答案】 方法一：凑成闭合曲线，应用格林公式。 添加从点 O(0，0)沿y=0 到点 A(2a，0)的有向直线段 L1，如图所示，则 利用格林公式，前一积分 其中 D 为 L1+L 所围成的半圆域，后一积分选择 z 为参数，得 L1： 可直接积分 故 方法二：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算。 前一积分与路径无关，所以 对后一积分，取 L 的参数方程 得 从而 【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 记 则 (x，y)(0，0)。在 L 内加 L1：椭圆 4x2+y2=2 的顺时针方向，则 【知识模块】 多元函数积分学2
13、1 【正确答案】 方法一：(I)将边界 L 的表达式直接代入积分可得， 因此 ()因为 esinx+e-sinx2，所以由(I)可得 方法二：(I)由格林公式，得 又因为 D 具有轮换对称性，因此 ()由(I) 知 【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 方法一：按曲线积分的计算公式直接计算。 方法二：添加辅助线，按照格林公式进行计算。 设 L1 为 x 轴上从点( ，0)到(0 ，0) 的直线段，D 是 L1 与 L 围成的区域， 因为 故 【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 设圆 x2+y2=2x 为圆 C1，圆 x2+y2=4 为圆 C2，下面补线利用格林公式即可。
14、设所补直线段 L1 为 x=0，y：20，应用格林公式得： 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 (I)记所以，故在上半平面(y0)，该曲线积分与路径无关。 ()方法一：因该曲线积分与路径无关而只与端点有关，所以用折线把两个端点连接起来。先从点(a ，b)到点(c，b)，再到点(c ，d)。有 经积分变量替换后，当 ab=cd 时，推得 方法二：原函数法。 其中F(u)为 f(u)的一个原函数，即设 F(u)=f(u)。由此有 方法三：由于与路径无关，又由 ab=cd 的启发，取路径 xy=k，其中 k=ab。点(a，b)与点(c，d)都在此路径上。于是将 代入之后， 【知识模块】
15、多元函数积分学25 【正确答案】 (I)如图，将 C 分解为：C=l 1+l2，另作一条曲线 l3 围绕原点且与 C相接，则 ()设 P,Q 在单连通区域 x0 内具有一阶连续偏导数，由(I) 知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有 比较(1)、(2)两式的右端，得 由(3)得 (y)=一 y2+c，将 (y)代入(4)得 2y5 一 4cy3=2y5，所以 c=0，从而 (y)=一 y2。【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 f(tx ，ty)=t -2f(x，y)两边对 t 求导得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)= 一 2t-3f(x，y)。 令
16、t=1，则 xf x(x，y)+yf y(x，y)= 一 2f(x，y)。 (*) 设 P(x，y)=yf(x ，y)，Q(x，y)= 一 xf(x，y)，则 则由(*)可得 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 在等式 两边对 x 积分可得 由 f(0，y)=y+1 可得 g(y)=y+1，所以 f(x，y)=ze 2x-y+y+1。 又因为 且所以该曲线积分与积分路径无关，则 令 I(t)=1-e2-t0，则 t2，即当 t2 时，I(t) 单调递增；当 t2 时，I(t)单调递减。所以当 t=2 时， I(t)取最小值，且最小值为 I(2)=3。【知识模块】 多元函数积分学
