1、考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2009 年) 如图，正方形 (x，y)|x|1，|y|1)被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4) 则 （A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 42 (2013 年) 设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2L 4：2x 2+y2=2 为四条逆时针方向的平面曲线记则 maxI1，I 2，I 3，I 4=（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 43 (2014 年) 设 f(x，y)是连续函数，则 4 (
2、2015 年) 设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 二、填空题5 (2008 年) 设曲面 是 的上侧，则6 (2009 年) 已知曲线 L： 则7 (2010 年) 已知曲线 L 的方程为 y=1 一|x|(x 一 1，1) ，起点是(一 1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分8 (2010 年) 设 =(x，y，z)|x 2+y2z1，则 的形心的竖坐标 =_.9 (2011 年) 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分10
3、(2012 年) 设 =(x，y，z)|x+y+z 一 1，x0，y0，z0)，则11 (2014 年) 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 y+2=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分12 (2015 年) 设 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则13 (2016 年)向量场 A(x， y，z)=(x+y+z)i 一 xyj+zk 的旋度 rotA=_14 (2017 年) 若曲线积分 在区域 D=(x，y)|x 2+y215 (2018 年)设 F(x，y，z)=xyi 一 yzj+zxk，则 rotF(1，1，0)=_16 (2
4、018 年) 设 L 为球面 x2+y2+z2=1 与平面 x+y+z=0 的交线，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (2002 年) 设函数 f(x)在 (一，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b) ，终点为(c ，d) 记17 证明曲线积分 I 与路径 L 无关；18 当 ab=cd 时，求 I 的值18 (2003 年) 设函数 f(x)连续且恒大于零， 其中 (t)=(x， y，z)|x 2+y2+z2t2， D(t)=(x，y)|x 2+y2t2，19 讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性20 证明当 t0
5、时，21 (2004 年) 计算曲面积分 其中是曲面 z=1 一 x2 一y2(z0)的上侧22 (2005 年) 设 1+x2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算二重积分22 (2005 年) 没函数 (y)具有连续导数在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 的值恒为同一常数23 证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有24 求函数 (y)的表达式25 (2007 年) 计算曲面积分 其中为曲面 的上侧26 (2008 年) 计算曲线积分 其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0 ，0) 到点 (，0)的一段27 (2009 年) 设 =(x，y，
6、z)|x 2+y2+z21，则28 (2009 年) 计算曲面积分 其中是曲面2x2+2y2+z2=4 的外侧29 (2010 年) 设 P 为椭球面 S：x 2+y2+z2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲面积分其中是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分30 (2011 年) 已知函数 f(x， y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分31 (2012 年) 已知 L 是第一象限中从点 (0，0)沿圆周 x2+y2=2x，到点(2，0)再沿圆周 x2+y2=4 到点
7、(0，2)的曲线段计算曲线积分31 (2013 年)设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 32 求曲面的方程；33 求 的形心坐标34 (2014 年) 设 为曲面 z=x2+y2(z1)的上侧，计算曲面积分 35 (2015 年) 已知曲线 L 的方程为 起点为 终点为 计算曲线积分36 (2016 年) 已知平面区域 D=(r，)|2r2(1+cos)， 计算二重积分37 (2016 年) 设函数 f(x，y)满足 且 f(0，y)=y+1，L t是从点(0 ，0)到点(1，t)的光滑曲线计算曲线
8、积分并求 I(t)的最小值38 (2016 年) 设有界区域 由平面 2x+y+2z=2 与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分 38 (2017 年) 设薄片型物体 S 是圆锥面 被柱面 z2=2x 割下的有限部分，其上任一点的密度为 记圆锥面与柱面的交线为 C39 求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程；40 求 S 的质量 M41 (2018 年) 设三是曲面 的前侧，计算曲面积分 考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D2，D 1 关于 x 轴对
9、称，而被积函数 ycosx 是关于 y 的奇函数，所以，I 2=I4=0在 D1 内 ycosx0，而在 D3 内 ycosx0，则 I10，I 30，故应选(A)【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由格林公式得 其中 Di 为 Li 围成的平面域(i=1，2，3，4) 显然，在 D1 和 D4 上 则 0I 1I 4 又 I2I 4，I 3I 4，则 maxI1，I 2，I 3，I 4)=I4【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分 所对应的二重积分的积分域如图，故应选(D)【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】
10、由题设知积分域 D 如右图所示， 曲线 2xy=1，4xy=1 在极坐标下方程分别为 2r 2cossin=1，4r 2cossin=1 即 直线y=x， 在极坐标下的方程为 则 故应选(B)【知识模块】 多元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 4【试题解析】 令 S为 xOy 面上圆 x2+y24 的下侧，则 【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 0【试题解析】 解 1 直接法 解 2 补线用格林公式补 x 轴上的线段 则 【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答
11、案】 【试题解析】 解 1 记平面 z=x+y 包含在柱面 x2+y2=1 内的部分上侧为 S，其法线向量为 n= 一 1，一 1，1 其方向余弦为由斯托克斯公式得 解 2 柱面x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线的参数方程为 x=cost，y=sint，z=cost+sint，则 解 3 化空间线积分为平面线积分，然后用格林公式，将 z=x+y 代入原式得 其中 C 为圆x2+y2=1 沿逆时针方向，则 【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 其中 D=(x，y)|x0，y0 ，x+y1 ， 故 【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 解 1
12、 柱面 x2+y2=1 与平面 y+2=0 的交线的参数方程为 则 解 2 由斯托克斯公式得 其中为平面 y+z=0 包含在柱面 x2+y2=1 之内部分的上侧， 解 3 将空间线积分化为平面线积分用格林公式，由 y+z=0 得，z= 一 y，代入积分得 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 解 1 由变量的对称性知 解 2 由变量的对称性知 【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 j+(y 一 1)k【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 一 1【试题解析】 由线积分 在区域 D=(x，y)|x 2+y2即 则 a=一 1【知识模块】 多
13、元函数积分学15 【正确答案】 ik【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 由变量对称性知 【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 因为 在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 解 1 由于 J 与路径无关，故可取积分路径 L 为由点(a，b)到点(c， b)再到(c，d)的折线段，所以 当 ab=cd 时，由此得 解 2 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 所以当 ab=cd时，F(cd)一 F(
14、ab)=0，由此得 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 由于 则 由上式可知，当 t(0，+)时，F(t)0，故 F(t)在(0，+) 上单调增【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 由于 要证明 t0 时，只需证明 t0 时， 即 令 则 故 (t)在(0，+)上单调增加又 (t)在 t=0 处连续， (0)=0，则当 t0 时，(t) 0，故，当 t0 时，【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 取 1 为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 为由 与1 围成的空间闭区域，则 由高斯公式知 而 因此 I=2 一 3
15、=一 【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 解 1解 2 记D1=(x，y)|x 2+y22=(x，y)|1x 2+y2 ，x0，y0则有 1+x 2+y2=1，(x，y)D 1 1+x2+y2=2， (x，y)D 2 于是 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 如图，设 C 是半平面 x0 内的任一分段光滑简单闭曲线，在 C上任意取定两点 M，N，作围绕原点的闭曲线 同时得到另一围绕原点的闭曲线 根据题设可知 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 设 P，Q 在单连通区域 x0 内具有一阶连续偏
16、导数由上题知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有 比较、两式的右端，得 由得 (y)=一 y2+c，将 (y)代入得 2y5 一 4cy3=2y5，所以 c=0，从而 (y)=一 y2【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 补 xOy 面上的平面 S1： 其法线方向与 z 轴负方向相同，与 S1 围成的区域记为 ，则 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 解法 1 解法 2 取 L1 为 x 轴上从点( ，0)到点(0，0)的一段，D 是由 L 与 L1 围成的区域 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 【试题解析】 利用直角坐标系下的“先二后一”
17、 解 2 由对称性知 【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 设 1 为单位球面 x2+y2+z2=1 的外侧，则 根据高斯公式 所以I=4【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 椭球面 S 上点 P(x，y，z)处的法向量是 n=2x，2yz ，2zy点P 处的切平面与 xOy 面垂直的充要条件是 nk=0(k=0 ，0，1) 即 2zy=0所以点P 的轨迹 C 的方程为 即 取记的方程为 z=z(x，y)，(x，y)D，由于 所以 【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 解 1 因为 f(1，y)= ，f(x，1)=0，所以 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0
18、 从而 解2 这里用到了条件 f(1，y)=0，f(x，1)=0，并由此有 fy(1，y)=0 ，f x(x，1)=0【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 取 L1 为有向线段 x=0，y 从 2 到 0；由 L 与 L1 围成的平面区域记为 D根据格林公式，得 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 直线 L 的方程为 写成参数式为 设(x，y，z) 为曲面上的任一点，则 所以曲面的方程为 x2+y2 一 2z2+2z=1【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 设 的形心坐标为 根据对称性，得 其中 Dz=(x，y)|x2+y22z2 一
19、 2z+1 所以 所以 故 的形心坐标为【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 设 S 为平面 z=1 包含在曲面 z=x2+y2 之内部分的下侧，则 注意到 关于 yOz 面和 zOx 面都对称，则 则 I=一4【知识模块】 多元函数积分学35 【正确答案】 解 1 曲线 L： 的参数方程为 则 解 2 化空间线积分为平面线积分，曲线 L： 在 xOy 面上的投影曲线为半椭圆 C： 且沿顺时针方向设连接点 的线段为 半椭圆 C 与线段为 所围区域记为 D则 解 3 设 L1 为从点 B 到点 A 的直线段，为平面 z=x 上由 L 与 L1 围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为 由
20、 Stokes 公式 由于曲面关于 xOz 平面对称，所以 故 因此 【知识模块】 多元函数积分学36 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学37 【正确答案】 因为 所以 将 f(0，y)=y+1 代入上式，得 C(y)=y+1。所以 f(x，y)=xe 2x-y+y+1从而 I(t)=一 e2-t+1令 I(t)=0 得 t=2 由于当 t2 时，I(t)0，I(t)单调减少；当 t2 时，I(t)0，I(t)单调增加，所以 I(2)=3 是 I(t)在(一，+)上的最小值【知识模块】 多元函数积分学38 【正确答案】 根据高斯公式得 因为 所以 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学39 【正确答案】 圆锥面与柱面的交线 C 的方程为 消去 z 得 C到 xOy 平面的投影柱面为 x2+y2=2x，故所求投影曲线的方程为【知识模块】 多元函数积分学40 【正确答案】 因为 S 的密度为 所以 S 的质量为 又 S 在 xOy 面上的投影区域为 D=(x，y)|x2+y22x，所以 【知识模块】 多元函数积分学41 【正确答案】 设 1 为平面 x=0 被 所围部分的后侧， 为与1 所围的立体根据高斯公式， 设y=rcos，z=rsin，则 设则 又 【知识模块】 多元函数积分学
