1、考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1988 年) 设有空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0；及2：x 2+y2+z2R2，x0，y0 ，z0 ，则 2 (199l 年)设 D 是 xOy 平面上以 (1，1) ，(一 1，1)和(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 等于 3 (2004 年) 设 f(x)为连续函数， 则 F(2)等于（A）2f(2)（B） f(2)（C） f(2)（D）04 (2000 年) 设 S：x 2+y2+z2=a2 (z0)，S
2、 1 为 S 在第一卦限中的部分，则有 二、填空题5 (1987 年) 设 L 为取正向的圆周 x2+y2=9，则曲线积分的值是_.6 (1989 年) 向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度divu=_7 (1989 年) 设平面曲线 L 为下半圆周 则曲线积分8 (1993 年) 设数量场 则 div(gradu)=_9 (1994 年) 设区域 D 为 x2+y2R2，则10 (1998 年) 设 l 是椭圆 其周长记为 a，则11 (2001 年) 设 则12 (2001 年) 交换二次积分的积分次序：13 (2004 年)
3、 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分的值为_14 (2005 年) 设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则15 (2007 年) 设曲面 ：|x|+|y|+|z|=1，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (1987 年) 计算曲面积分 其中 S 是由曲线绕 y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 y轴正向的火角恒大于17 (1988 年) 设 S 为曲面 x2+y2+z2=1 的外侧，计算曲面积分 18 (1988 年) 设位于点 (0，1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (k0 为常数，r 为质点 A
4、与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线 自 B(2，0) 运动到O(0，0)，求在此运动过程中质点 A 对质点 M 的引力所作的功19 (1989 年) 设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0计算 的值20 (1989 年) 计算三重积分 其中 是由曲面所围成的区域21 (1989 年) 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问当 R 取何值时球面在定球面内部的哪部分面积最大?22 (1990 年) 积分 的值等于_23 (1990 年) 求曲面积分 其中 S 是球面 x2+y2+z2=4 外侧在 z0 的部分24 (1990 年) 质
5、点 p 沿着以 AB 为直径的圆周，从点 A(1，2)运动到点 B(3，4)的过程中受变力 F 作用( 见图 27)，F 的大小等于点 p 到原点 O 之间的距离，其方向垂直于线段 Op 且与 y 轴正向的夹角小于 求变力 F 对质点 p 所作的功25 (199l 年)求 其中 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平而 z=4 所围成的立体26 (1991 年) 在过点 O(0， 0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 的值最小27 (1992 年) 计算曲面积分 其中为上半球面 的上侧28 (1992 年) 在变力 F=yz
6、i+xzj+xyk 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限点 M(，)，问当 ， ， 取何值时，力 F 所作的功 W 最大 ?并求出 W 的最大值29 (1993 年) 计算 其中是由曲面所围立体表面的外侧30 (1994 年) 计算曲面积分 其中 S 是由曲面 x2+y2=R2 及两平面 z=Rz=一 R(R0)所围成立体表面的外侧31 (1995 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上连续，并设 求32 (1995 年) 计算曲面积分 其中为锥面 在柱体 x2+y22x内的部分33 (1995 年) 设函数 Q(x， y)在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，
7、并且对任意 t 恒有 求 Q(x，y).34 (1996 年) 计算曲面积分 其中 S 为有向曲面 z=x2+y2 (0z1)，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角35 (1997 年) 计算 其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=8 所围成的区域36 (1997 年) 计算曲线积分 其中 c 是曲线 从 z 轴正向往 z 轴负向看 c 的方向是顺时针方向37 (1998 年) 确定常数 ，使在右半平面 x0 上的向量 A(x，y)=2xy(x 1+y2)i 一x2(x1+y2!)j 为某二元函数 u(x，y)的梯度，求 u(x，y)38 (1998 年) 计算 其中为下半球
8、面的上侧，a 为大于零的常数39 (1999 年) 求 其中 a，b 为正的常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 到点 O(0，0) 的弧40 (1999 年) 设 S 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z) S，为 S 在点 P 处的切平面， (x，y，z)为点 O(0，0， 0)到平面 的距离，求41 (2000 年) 计算曲线积分 其中 L 是以点(1，0)为中心、R 为半径的圆周(R1)取逆时针方向42 (2000 年) 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比 (比例常数 k0) ，求球体的重心位置考研数学一（
9、多元函数积分学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 解 1 由于(C)选项中的被积函数 f(x，y，z)=z 既是 x 的偶函数，也是y 的偶函数，而积分域 1 既关于 yOz 坐标面前后对称，又关于 xOz 坐标面左右对称，则 解 2 用排除法由于 f(x，y，z)=x 是 x 的奇函数，1 关于 yOz 坐标面前后对称。则 而在 2 内 x0，有则(A) 不正确；同理 (B)和(D) 均不正确，所以应选(C)【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 如图 28，OAB 所围区域记
10、为 D2，OBC 所围区域记为 D3 由于 xy 关于 x 是奇函数，积分域 D2 关于 y轴对称，则 同理 从而 又 cosxsiny 是 y 的奇函数，D 3 关于x 轴对称，则 又 cosxsiny 是 x 的偶函数，D 2 关于 y 轴对称，则 从而有 故 【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 交换累次积分次序得 f(t)=(t 一 1)f(t)， F(2)=f(2)，故应选(B) 解 2 排除法 令 f(x)1，则 则(A)，(C) ，(D)均不正确，故应选(B) 解 3 利用分部积分法 则 故应选(B)【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C
11、【试题解析】 解 1 由于(C)选项中等式左端积分的被积函数 z 既是 z 的偶函数，也是 y 的偶函数，而积分域 S 既关于 yOz 平面对称，又关于 xOz 平面对称，则又在 S1 上，x 和 z 具有轮换对称性，则 故应选(C) 解 2 由于 x 是 x 的奇函数，曲面 S 关于 yOz 平面对称 则 同理 而 故(A)，(B)，(D)均不正确，应选(C) 【知识模块】 多元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 一 18【试题解析】 由格林公式可知 【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 2【试题解析】 由散度计算公式 得 【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】
12、 解 1 下半圆周 的参数方程为 t2 则 解 2 由于下半圆周上的点(x，y) 也满足 x2+y2=1，则 【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由于 知 由对称性可知 故 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 解 1 利用极坐标进行计算 解 2 由对称性可知 则 【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 12a【试题解析】 椭圆 l 的方程可改写为 3x 2+4y2=12 将上式代入积分得 由于 xy 是 x 的奇函数，曲线 l 关于 y 轴对称，则 而 则 【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 则 【知识模块】 多
13、元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 先画积分域草图(见图 29)， 由此可知 【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 解 1 圆周 x1+y1=2 的参数方程为 则 解 2 补线用格林公式，如图补线段 则 【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式得 【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由于 x 关于变量 x 是奇函数，而积分曲面：|x|+|y|+|z|=1 关于 yOz面对称，则 由于|y|关于变量 x，y，z 都是偶函数，而曲面：|x|+|y|+|z|关于三个坐标面 xOy 面，yOz 面，zOx 面都
14、对称，则 其中 1 为 在第一卦限内的部分，即：x+y+z=1，(x0，y0 ，z0) 计算 有以下三种方法： 方法一 化为二重积分 方法二 利用对称性 方法三 利用形心计算公式 故 【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 补平面 S1： 其法线方向与 y 轴正向相同 设 S1和 S 所围成的区域为 ，由高斯公式得 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 由高斯公式知 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 引力方向与向量 方向一致，而 则 于是 【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 由线积分 与路径无关可知
15、即 2xy=y(x) (x)=2x， (x)=x 2+C 由 (0)=0 知 C=0，代回原积分得 【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 解 1 利用球坐标进行计算 解 2 由于积分域 关于 yOz 坐标面前后对称，而被积函数 x 是 x 的奇函数，则 对积分 采用先二后一的方法，则 【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 设的方程为 x2+y2+(za)2=R2 则两球面交线在 xOy 平面上的投影曲线方程为 令 从而，球面在定球面内的部分面积为 令 S(R)=0 得 且 故 是极大值点，又极值点唯一，故当 时，球面在定球面内的部分面积最大【知识模块】 多元函数积分学22
16、【正确答案】 【试题解析】 交换累次积分次序得 【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 补 xOy 面上的平面 S1： 其法线方向与 z 轴负向相同，S 与 S1 围成的区域记为 则 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 由原题设可知 F=yi+xj，网弧 的参数方程是 【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 利用柱坐标变换 x=rcos，y=rsin，z=z，dv=rdrddz，则 【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 令 I(a)=一 4+4a2=0，得 a=1(a=一 1 舍去)；又 I“(1)=80，则 I(a)在 a=1 处取极小值，且 a=1 是
17、 I(a)在(0，+)内的唯一极值点，故 a=1 时 I(a)取最小值，则所求曲线为y=sinx(0x)【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 记 1 为平面 的下侧， 为 1 和所围成的区域，则由高斯公式可知 事实上本题中出现的二重积分 还有一种简便算法：由于 则 【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 解 1 由原点到 M 点的直线方程为 则 以下求 W= 在条件下的最大值 令 从而 即得于是得 由问题的实际意义知 解 2 由不等式可知，当 x+y+z 一定时，x=y=z 时的乘积 xyz 达到最大 本题中 而 达到最大与 达到最大点是一致的，从而可知 时，W= 达到最大，
18、即 时W达到最大且 【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 由高斯公式得 其中 为曲面 所围成的区域.【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 设 S1，S 2，S 3 依次为 S 的上、下底和圆柱面部分，则 记 S1，S 2 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy，则 在 S3 上 记 S3 在 yOz 平面上的投影区域为 Dyz 则 所以，【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 解 1 交换积分次序可得 从而 所以 解 2 由于 f(x)f(y)关于 y=x 对称，因此 即 解 3 由知 解 4 设 F(x)=f(x)，则 【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】
19、 曲面在 xOy 平面上的投影区域记为 D：x 2+y22x，则 【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 由于曲线积分 与路径无关，则即 于是 Q(x，y)=x 2+(y)又 则 两边对 t 求导得 2t=1+(t)， (t)=2t 一 1 从而 (y)=2y 一 1， Q(x，y)=x 2+2y1【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 解 1 补平面 S1： 的下侧，则 解 2 本题也可直接计算设 Dyz，D xy 分别表示 S 在 yOz 平面和 xOy 平面上的投影区域，则 其中 所以 【知识模块】 多元函数积分学35 【正确答案】 解 1 利用柱坐标进行计算 解 2 【
20、知识模块】 多元函数积分学36 【正确答案】 解 1 曲线 C 的参数方程为 则 解 2 设 S 为平面 xy+z=2 上以 C 为边界的有限部分，其法向量与 z 轴正向的夹角为钝角，D xy 为 S 在 xOy 面上的投影区域 令 F=(zy)i+(x z)j+(xy)k 则 由斯托克斯公式知 【知识模块】 多元函数积分学37 【正确答案】 P(x，y)=2xy(x 4+y2)， Q=一 x2(x4+y2)由 有 4x(x 4+y2)(+1)0 从而可知 =一 1 在 x0 处取点(1，0) ，则 【知识模块】 多元函数积分学38 【正确答案】 解 1 采用补面法，根据前面分析不能直接补 z
21、=0由于下半球面上的点(x，y，z) 应满足 x2+y2+z2=a2，则 补平面 S：其法线与 z 轴正向相反，则 其中 为和 S 围成的区域，D 为 xOy 面上的圆域 x2+y2a2于是 解 2 直接分块计算 若用 Dxy 表示下半球面在 xOy 平面的投影域 x2+y2a2，用 Dyz 表示下半球面在 yOz 平面的投影域 则 则 【知识模块】 多元函数积分学39 【正确答案】 解 1 补线段 则 其中 D 为 L 和线段围成的半圆域，则 解 2 将原线积分分为两部分 而 L 的参数方程为 则 从而 【知识模块】 多元函数积分学40 【正确答案】 设(X，Y，Z)为 上任一点，则 的方程
22、为 从而可知 由 所以 【知识模块】 多元函数积分学41 【正确答案】 作椭圆C：4x 2+y2=2 (C 取逆时针方向， 是足够小的正数，使 4x2+y2)=2 全含在 L 内)由格林公式知 即得 其中 S 为椭圆域 4x2+y22 的面积【知识模块】 多元函数积分学42 【正确答案】 解 1 取球心为原点，球面与 x 轴正向的交点为 P0 则 P0 坐标为(R，0，0) 记所考虑球体为 ，则球面方程为 x2+y2+z2=R2 设 的重心位置为由对称性知 而 故 解 2 设所考虑的球体 的球心为 O，坐标为(0 ，0，R)，P 0 点为原点，则球面方程为 x 2+y2+z2=2Rz 设 的重心位置为 由对称性知则 故 【知识模块】 多元函数积分学
