1、考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年试题，一) 设 则 I，J ，K 的大小关系是( ) （A）I0，f (x)0令，则( )（A）S 123（B） S213（C） S312（D）S 2313 (2012 年试题，一) 设 ，则有( )（A）I 123（B） I321（C） I231（D）I 2134 (2008 年试题，1) 设函数 则 f(x)的零点个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 (1998 年试题，二) 设 f(x)连续，则 tf(x2 一 t2)dt=( )（A
2、）xf(x 2)（B）一 xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）一 2xf(x2)6 (1997 年试题，二) 设 则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数7 (2010 年试题，一) 设 m，n 为正整数，则反常积分 的收敛性( )（A）仅与 m 有关（B）仅于 n 有关（C）与 m，n 都有关（D）与 m，n 都无关8 (2009 年试题，3) 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形如图 1 一 33 所示，则函数 435 的图形为( ) 436（A）（B）（C）（D）9 (2007 年试题，一) 如图 1 一 34，连续函数 y=f(x)在区间一
3、3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 则下列结沦正确的是( )。（A）（B）（C）（D）二、填空题10 (2004 年试题，2) 已知 f1(ex)=xe-s，且 f(1)=0，则 f(x)=_.11 (2012 年试题，二) =_.12 (2010 年试题，10) =_.13 (2007 年试题，二) =_.14 (2000 年试题，1) =_.15 (1999 年试题，一) =_。16 (2002 年试题，一) =_.17 (2006 年试题，一) 点(2 ，1，0) 到平面 3x+4y+5z=0 的
4、距离 d=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (2001 年试题，三) 求19 (2005 年试题，17) 如图 132 所示，曲线 c 的方程为 y=f(x)，A(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分20 (2002 年试题，四) 已知两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限21 (1997 年试题，五) 设 f(x)连续 且 ，求 (x)并讨论 (x)在 x=0 处的连续性，22 (2010 年试题，17)(I
5、)比较 的大小，说明理由() 设 求极限23 (2008 年试题，18) 设函数 f(x)连续.(I) 用定义证明 F(x)可导。且F(x)=f(x)；( )设 f(x)是周期为 2 的连续函数，证明 也是周期为 2 的函数24 (2000 年试题，九) 设函数 f(x)在0，上连续，且试证：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使f(1)=f(2)=024 (1998 年试题，九) 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数25 试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等于在区间x0，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；26 又设 f(
6、x)在区间(0，1)内可导，且 证明(1) 中的 x0 是唯一的27 (2012 年试题，三) 已知曲线 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f (t)0， 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离值恒为1，求函数 f(t)的表达式，并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积27 (2003 年试题，六) 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0) ，汽锤第一次击打将桩打进地下 am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功
7、之比为常数 r(0f(b)，即综上，有 S213，故而选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意有 先比较I1，I 2，由于 I2 一 I1= 因此 I21 再比较 I2I 3。I 3 一 I2= 因此 I3I 2最后比较I1，I 3，I 3 一 I1= 令 t=x 一 2，因此 I3I 1，综上有I3I 1I 2，选 D【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 对积分上限函数 f(x)求导，可得令 f(x)=0，因 ln(2+x2)0。故得x=0，即 f(x)只有一个零点故应选 B【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析
8、】 题中所给变上限定积分的被积函数中含有参数 x，因此不能直接求导，先采用换元法消去参数 x，才能继续求导，即令 x2 一 t2=y，则因而原式 2x=xf(x2)，选A解析二对于任何连续函数 f(x)，上述结论应均成立，可取 f(x)=1 来检验，即原式= ，故而应选 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 被积函数 esint.sint 是有周期 2，则由周期函数定积分的性质，有对第一个积分施行换元，x=t+，则从而 选 A解析二由于 还可用分部积分法加以判断，即同样可得结论【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 无界函数的反常积分 有两个瑕点
9、 x=0 和 x=1，因x0 +时，ln 2(1 一 x)一 x2，设 g 为一个常数，则又因为 m，n 是正整数，所以则必然存在 q(0，1)，使得极限存在同理，因 x1 -时，对于任意小的 (0，1)，有 所以，根据无界函数的反常积分的审敛法可知，该反常积分始终是收敛的，即它的敛散性与 m，n 均无关，故正确答案为 D【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由定积分的性质可知，y=f(x)的图像与 x 轴及 y 轴、x=x 0 所围的图形面积的代数和为所求函数 F(x)，观察图形可得出如下结论： 当 x一 l，0时，F(x)0 且为线性函数，单调递增，排除 A，C 选
10、项； 当 x0，1时，F(x)0 且单调递减；当 x1，2时，F(x)单调递增； 当 x2，3时，F(x) 为常函数，且连续，排除 B 选项综上可知，正确选项为 D应掌握以下基本定理：若 f(x)在a，b上可积，x 0a，b，则 在a ，b上连续；若 f(x)在a，b 上连续，x 0a，b，则 在a，b上可导且 f(x)=F(x)，x a，b 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 C【试题解析】 与曲线 y=f(x)和 x 轴所围面积有关则 故应选 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 由已知 f(ex)=xe-x，令 t=ex，则 x=lnt，从而 ，又由已知
11、f(1)=0，代入上式得 C=0，所以解析二本题也可由 f(ex)=xe-x 两边同乘 ex，即 f(ex)ex=x，将此式两边积分得 由已知厂(1)=0，则在上式中令x=0，则 f(1)=C=0，因此 ，令 ex=t，则 x=lnt,即得【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 令 t=x 一 1，则本题用到奇函数在对称区间上积分值为零的结沦【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 令 则 x=t2，dx=2tdt 故【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 原式= 则解析二根据定积分的几何意义 表示以 为边的曲边梯形的面积，
12、即圆(x 一 1)2+y2=1 面积的 故而【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 由于被积函数中含有参数 x，因此应先通过换元将被积函数变成不含参数 x 的表达式，再进行求导，所以令 x 一 t=y，则有从而【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 根据点到平面的距离公式可得【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 对最后一项求不定积分令 ex=u，则 代回原式，则原式【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 根据题意可知 f(0)=0，f(3)=2，f (3)=0 从
13、图中可知：y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线分别为 y=2x，y=一 2x+8，有 f(0)=2,f(3)=一 2，所以【试题解析】 本题综合考查了导数的几何意义和定积分的计算此外，遇到被积函数中含有抽象函数的导数时，可优先考虑采用分部积分法【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 根据题设，先求切线方程，曲线 y=f(x)在点(0，0) 处有 f(0)=0，切线斜率为，f (0)，而曲线 显然满足 y(0)=0，同时因此 f(0)=l 且切线方程为 y=x，又由导数的定义知极限【试题解析】 求极限 时，若直接采用洛必达法则是不对的，因为 n 是离散变量，不能求导，此外即使是
14、求 也要求 f(x)在 x=0 处的导数连续，所以只能由导数的定义求极限【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 题目要求的是 (x)在 x=0 处的连续性，因此要先得出 (x)，根据已知， 且 f(x)连续，可知 f(0)=0，同时由导数的定义，即 f(x)在 x=0 处导数存在且 f(0)=A 又由令 xt=u，则 求导得 按导数定义， 因此 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (I)因为当 0nn，进而 Ilnt1n(1+t) nn 根据定积分的性质可知()因为所以由(I)知, 根据夹逼准则可得由此可知【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案
15、】 (I)给 x 一个小的增量 x，则 F(x+x) 函数 F(x)的增量为 因函数 f(x)连续，则由积分中值定理得,F=f()Ax ，其中 (x，x+ x)，等式两边同除以x，有因函数 f(x)连续，当 x0 时，x ，从而 在 的两边取极限，可知 存在，即函数 F(x)可导，且有 F(x)=f(x)(II)因为 f(x)是周期为 2 的连续函数，所以，(x)=f(x 一 2)又【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 根据题设， 则由积分中值定理，存在 1(0，)，使即 f(11)=0， 1(0，) ，假设(0，)内仅有一个 f(x)的零点，则 f(x)在(0， 1)与( 1，)
16、内反号，不失一般性，假设在 (0， 1)内，(x)0，则(1，)内 f(x) 及 ，有由于 cosx 在0，上单调递减，因此 cosx 一 cos10，x(0， 1)；cosx cos11，) 从而(*) 式0，矛盾，因此(0 ，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0证毕解析二构造辅助函数： 显然 F(0)=F()=0，由题设，有即有，由积分中值定理，知存在 (0，)使 F()sin=0 即 F()=0综上可知 F(0)=F()=F()=0，(0，) 在区间0，和，上分别应用罗尔定理，知存在 1(0，)及 2(， )，使 F(1)=0 及 F(2)=0，即 f(1)=f
17、(2)=0 证毕【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (1)根据题意，假如存在满足条件的 x0(0，1)，即有显然此式等价于要求函数 在(0，1)区间内有零点，循此思路，构造辅助函数 及 F2(x)=F1(x)则可验证可取 又 F2(0)=F2(1)=0，则由罗尔定理知，存在 x0(0，1)，使F2(x0)=F1(x0)=0，则结论(1)证毕【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 (2)由于 F1(x)=f(x)+xf(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)由(2)中已知即 2f(x)+xf(x)0，知 F1(x)0，由此 F1(x)在(0，1)区
18、间严格单调递增，所以 x0 是唯一的得证【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则 L 的切线方程为： yy0=k(x 一 x0)，斜率 而切点与 x 轴交点为 由已知 L 的切线与 x 轴交点到切点的距离值为 l，则有 f(t)=Insect+tantsint+C 由已知 f(0)=0，得 C=0，则 f(t)=Insect+rantsint所求面积为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 (1)根据题设，阻力为 kx 时，桩从地下 am 打到 bm 时需作功为设第 n 次打击后，桩被打进地下 xn，第 n 次打击时
19、，汽锤所作的功为Wn(n=1，2，3，)，由已知，桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以 由于 W2=rW1，因此即 ra2=x22 一 a2，从而 同理则 x32 一(1+r)a2=r2a2，因此 所以汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 (2)由数学归纳法，设 则同样由Wa+1=rWa=r2Wn-1=rnW1 可得 xn+12(1+r+r n-1)a2=rna2 即即打击无限次，汽锤可将桩打进地下【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 (1)根据题设，先求切线方程，设切点为(x 0，l
20、nx 0)，则切线方程可表示为 由于该切线过原点(0，0)，则一 lnx0=一 1，x 0=e，从而该切线方程为 ，所围成图形 D 如图 1 一 35 中阴影所示，则面积为【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 (2)为求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体体积 V，可先求切线与 x 轴及 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体的体积，记为V1，则 其次曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 综上，所求旋转体的体积为【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 根据题设可建立相应的数学模型，坐标轴如图中所示，
21、设抓起污泥的抓斗提升至井口所需作功为 W，抓斗移动到 x 处时，作用力 F 包括以下几部分：抓斗的自重 400N，缆绳重力 50.(30 一 x)，污泥的重力 ，则现将抓斗提升 dx 距离所做功为 F(x)dx，从而 解析二在时间段t，t+ t内的作功为wdw=400+(200020t)+50(303t).3dt=30(39017t)dt 抓起污泥的抓斗提升至井口所需时间为 303=10S，因而克服重力需做功 第四章向量代数与空间解析几何【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 由题设，本题分两个大部分，一是求 l 在 的投影 l0，二是求由l0 生成的旋转曲面，其中第一部分是第二部分的
22、基础因为投影直线 l0 是经过直线l 且与平面 垂直的平面与平面 的交线，因此只需求得此平面即可，设其为 1，下面先求平面 1 的法向量 n1，同时设平面 的法向量为 n，由已知 n=1，一1，2，由于，n 1n，且 n1 垂直直线 l 的方向向量1，1，一 1，因此 n1=1，一1，21 ，1，一 1=一 1，3，2又因为直线 f 在平面 1 内，因而直线 l 上的点(1，0， 1)也是平面 1 内的点，综上可得出平面 1 的方程为一(x1)+3(y 一 0)+2(z1)=0 化简得 x 一 3y 一 2x+l=0由此，直线 l 在平面 上的投影直线 l0 的方程为 以下再求 l0 绕 y
23、轴旋转所生成的旋转曲面 S设点A(x，y ，z) 在 S 上过 A 作平面 2 平行于 Oxz 平面，即垂直于 y 轴，则霄 2 与 y轴交点为 B(0，y，0)，并设 2 与 l2 交点为 C(x1，y，z 1)，由 L0 的方程不难确定出x1=2y 及 又由几何关系AB= CB，即距离相等，有x2+z2=x12+z12=4y2+ (1 一 y)2 化简为 4x2 一 17y2+4z2+2y=1，由点 A(x，y，z)的任意性，知上式就是所求旋转曲面 S 的方程解析二本题第一部分求投影直线 l0 的方程的过程中，在求平面 1 的方程时，也可采用平面束的方法，将直线 l 的方程化为一般形式： 则经过 l 的平面束方程为 x 一 y 一 1+(y+z 一 1)=0，其法向量 n1=1，1，要求的 1 的法向量与 的法向量垂直，即 n1.n=0，从而可求出 ，于是就得到了平面 1 的方程，以下其余步骤同解析一【知识模块】 一元函数积分学
