1、考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2002年试题，二)考虑二元函数 f(x，y)的下面 4条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.B.C.D.3
2、.(1997年试题，二)二元函数 （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在4.(2012年试题，一)如果函数 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若极限B.若极限C.若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限D.若 f(x，y)在(0，0)处可微，则极限5.(2005年试题，二)设函数 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(2010年试题，一)设函数 z=z(x，y)由 方程确定，其中 F为可微函数，且 F 2 “ 0，则 （分数：2.00）A.xB.zC.一 xD.-z7.(200
3、5年试题，二)设有三元方程 xyxlny+e xy =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )（分数：2.00）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z)8.(2008年试题，一)函数 （分数：2.00）A.iB.一 iC.jD.一 j9.(2001年试题，二)设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 f x “ (
4、0，0)=3,f y “ (0，0)=1，则( )（分数：2.00）A.出 dz (0,0) =3dx+dyB.曲面 z=f(x，y)在点(0，0,f(0，0)的法向量为3，1，1C.曲线D.曲线10.(2011年试题，一)设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f “ (0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f(0)1，f “ (0)0B.f(0)1，f “ (0)0D.f(0)“ (0)0，f “ (0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（分数：2.00）
5、A.f(0)1，f “ (0)0 B.f(0)1，f “ (0)0D.f(0)“ (0)0令 F(x，y)=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 一(x 2 +y 2 一 4)由 得 )解析：31.(2004年试题，三)设 z=z(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yzz 2 +18=0确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设所给方程 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yzz 2 +18=0，两边分别对 x，y 求偏导得 推出 令 解出 再由方程(1)两边分别对 x，y 求偏导，得 方程(2)两边对 y求偏导，得 因
6、此 所以 即知(9，3)是 z(x，y)之极小值点，z(9，3)=3同理 所以 则(一 9，一 3)是 z(x，y)之极大值点，且 z(一 9，一 3)=一 3解析二令 F(xy，z)=x 2 一 6xy+10y 2 2yz一 z 2 +18，则由隐函数求偏导数法则知 )解析：解析：本题求解时易出现的错误是：当求出两组解32.(2002年试题。八)设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy(1)设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D上一点，问 h(x，y
7、)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x 0 ，y 0 )，试写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式；(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D的边界线 x 2 +y 2 一 xy=75上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设，结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质， 则 因此 h(x，y)沿方向(y 0 2x 0 )i+(x 0 一 2y 0 )j方向导数为最大值，且此最大值为 (2)令 f(x，y)=g 2 (x，
8、y)=(y 一 2x) 2 +(x一 2y) 2 ，由题意只需求 f(x，y)在约束条件 (x，y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy=0下的条件最大值点，由拉格朗日乘数法，记 F(x，y，)=f(x，y)+A(x，y)=(y 一 2x) 2 +(x一 2y) 2 +(75 一 x 2 一 y 2 +xy)则由 可解得 =2 或 x+y=0当 =2 时，可解出可能条件极值点为 当 x+y=0时，可解出可能条件极值点为(5，一 5)，(一 5，5)由于 )解析：解析：许多求极值和最值的问题中，需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件，然后再求极，最值本题中因gradh为方向导数的最大值，故而将代为求gradh在条件 x 2 +y 2 一 xy=75F的条件极值，用拉格朗日乘数法求该条件极值
