1、考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2009 年) 如图，正方形 (x，y)|x|1，|y|1被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)， （A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 42 (2007 年) 设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，已知过第象限内的点 M 和第象限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) 3 (2013 年) 设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L
2、4：2x 2+y2=2 为四条逆时针方向的平面曲线，记 则maxI1，I 2，I 3，I 4=( )（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 44 (2000 年) 设 S：x 2+y2+z2=a2(z0)，S 1 为 S 在第一卦限中的部分，则有( )二、填空题5 (2011 年) 设 L 是柱面方程 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分6 (2014 年) 设 L 是柱面 x2+y2=1 和平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正方向往 z 轴负方向看是逆时针方向，则曲线积分7 (2012 年) 设 =(x，y，z)|x+y
3、+z=1 ，x0，y0，z0，则8 (2007 年) 设曲面 ：|x|+|y|+|z|=1，则9 (2005 年) 设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则10 (2006 年) 设 是锥面 的下侧，则11 (2008 年) 设曲面 是 的上侧，则12 (2010 年) 设 =(x，y，z)|x 2+y2z1)，则 Q 的形心的竖坐标 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (1998 年) 确定常数 ，使在右半平面 x0 上的向量 A(x，y)=2xy(x 4+y2)ix2(x4+y2)j 为某二元函数 u(x，y)的梯度，并求 u(x，y)。1
4、4 (2001 年) 计算 其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面|x|+|y|=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向。15 (1999 年) 设 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z) ，为在点 P 处的切平面， (x， y，z) 为点 O(0，0，0)到平面的距离，求16 (2010 年) 设 P 为椭球面 S：x 2+y2+z2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与xOy 面垂直，求 P 点的轨迹 C 并计算曲面积分 其中是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分。17 (2017 年) 设薄片型 S 是圆锥面 被柱面 z2=2x 割下的有限部分，其上任一点
5、的密度为 记圆锥面与柱面的交线为 C。 (I)求 C 在xOy 面上的投影曲线的方程； ()求 S 的质量 m。18 (1998 年) 计算 其中为下半球面的上侧，a 为大于零的常数。19 (2000 年) 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 求 f(x)。20 (2004 年) 计算曲面积分 其中是曲面 z=1 一 x2 一 y2(z0)的上侧。21 (2007 年) 计算曲面积分 其中为曲面的上侧。22 (2009 年) 计算曲面积分 其中是曲面2x2+2y2+z2=4 的外侧。23 (2014 年) 设 为曲面
6、z=x2+y2(z1)的上侧，计算曲面积分 24 (2016 年) 设有界区域 由曲面 2x+y+2z=2 与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分25 (2000 年) 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比 (比例常数 k0) ，求球体的重心位置。26 (2001 年) 设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 09)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少小时?27 (2003 年) 设函数
7、f(x)连续且恒大于零， 其中 (t)=(x，y，z)|x2+y2+z2t2，D(t)=(x， y)|x2+y2t2。 (I)讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性； ()证明当 t 0 时，28 (2013 年)设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 。(I)求曲面的方程；()求 的形心坐标。考研数学一（多元函数积分学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 D 2，D 4 两区域关于 x 轴对称，而 f(x，
8、一 y)=一 ycosx=一 f(x，y)，即被积函数是关于 y 的奇函数，所以 I2=I4=0。 D 1，D 3 两区域关于 y 轴对称，而 f(一 x，y)=ycos(一 x)=ycosx=f(x，y)，即被积函数是关于 x 的偶函数，所以 所以正确答案为 A。【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 设 M、N 点的坐标分别为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1x 2，y 1y 2。先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： 故正确选项为 B。【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 用格林公式把曲线积分的比较转化为二重积分的比较，曲线
9、Li 所围成的区域记为 Di(i=1，2，3，4) ，由格林公式得 由 L 1：x 2+y2=1,L2：x 2+y2=2,可知 D1，D 2 为圆域，D 3，D 4 为椭圆域，而被积函数 为连续函数，在 D4 上 f(x，y)0，但不恒等于 0，而在 D4 之外，f(x， y)0，但不恒等于 0。 因为 D4 和 D2的公共部分是 D4，D 2 的剩余部分 f(x，y)0，但不恒等于 0。因此 I4I 2。 D 4 和D3 的公共部分是 D4 的子集，D 4 的剩余部分 f(x，y)0 ，但不恒等于 0，而 D3 的剩余部分 但是不恒等于 0，所以 I4I 3。因此最大值为 I4，所以选 D。
10、【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 方法一：直接法。 本题中 S 在 xOy 平面上方，关于 yOz 平面和xOz 平面均对称，而 f(x， y，z)=z 对 x，y 均为偶函数，则 又因为在 S1 上将 x 换为 y，y 换为z，z 换为 x，S 1 不变(称积分区域 S1 关于 x，y，z 轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有 选项 C 正确。方法二：间接法(排除法)。 曲面 S 关于 yOx 平面对称，x 为 x 的奇函数，所以中 x0 且仅在 yOz 面上 x=0，从而 A 不成立。 曲面 S 关于 zOx 平面对称，y 为 y 的
11、奇函数，所以 所以 B不成立。 曲面 S 关于 zOx 平面对称，xyz 为 y 的奇函数，所以所以 D 不成立。【知识模块】 多元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 取 S：x+yz=0，x 2+y21，取上侧，则由斯托克斯公式得， 由于有向面积元(dydz，dzdx ，dxdy)和曲面 z=x+y 的法向量(z x，z y，一 1)是共线的，所以即 dydz=dzdx=一 dxdy，则 【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 方法一：由斯托克斯公式，得 其中曲面：取上侧，其在 xOy 平面的投影为 Dxy=(x，y)|x 2+y21。 注意到曲面的法向量
12、实际上就等于平面 y+z=0 的法向量(0 ， 1，1)，而有向面积元(dydz，dzdx ，dxdy)和曲面 的法向量(0，1，1)是共线的，所以dydz=0，dzdx=dxdy，则 方法二：令则 【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由曲面积分的计算公式可知 其中 D=(x，y)|x0，y0 ，x+y1 。故 【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由于曲面关于平面 x=0 对称，因此 又曲面 ：|x|+|y|+|z|=1 具有轮换对称性，于是 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式得 利用球面坐标得 【知识模块】
13、多元函数积分学10 【正确答案】 2【试题解析】 设 1：z=1(x 2+y21)，取上侧，则 而 所以 【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 4【试题解析】 作辅助面 1： 方向取下侧。记与 1 所围成的空间区域为 ，则 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 P(x，y)=2xy(x 4+y2)，Q(x，y)=一 x2(x4+y2)，则 A(x，y)=(P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域右半平面 x0 上为某二元函数 u(x，y)的梯度Pdx+Qdy 在
14、 x0 上存在原函数 其中， 由 即满足 一2x(x4+y2)一 x2(x4+y2)-14x3=2x(x4+y2)+2xy(x4+y2)-12y 4x(x4+y2)(+1)=0 =一 1。 可见，当 =一 1 时，所给向量场为某二元函数的梯度场。 为求u(x，y)，采用折线法，在 x0 半平面内任取一点，比如点(1，0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 其中 C 为任意常数。【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 用斯托克斯公式，取平面 x+y+z=2 被 L 所围成的部分为 S，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S 在 xOy
15、平面上的投影域记为 D=(x ，y)|x|+|y|1。 由斯托克斯公式得 由于有向面积元(dydz，dzdx ，dxdy)和曲面 x+y+z=2 的法向量(1，1，1)是共线的，所以即 dydz=dzdx=dxdy，则 由 D 关于 x 轴，y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得 D 为|x|+|y|1，D 的面积= 所以 I=-1 22=一 24。【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 点 P(x，y，z) ， 在点 P 处的法向量为 n=x，y，2z，设(X， Y，Z)为上任意一点，则 的方程为 x(X 一 x)+y(Yy)+2z(Zz)=0，化简得由点到平面的距离公式，O(0，0，0
16、)到的距离 从而 用投影法计算此第一类曲面积分，将投影到 xOy 平面，其投影域为 D=(x，y)|x 2+y22。 由曲面方程知(x,y)D,于是 因此 故有 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 曲面 F(x，y，z)=0 在点(x，y，z)处的切平面的法向量(Fx，F y，F z)=(2x，2y z，2zy)。由切平面与 xOy 面垂直，可得 所以点 P 的轨迹 C 为 由(F x，F y，F z)=(2z，2y 一 z，2z y)可知，则 将其代入原积分中，可得 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 (I)圆锥面与柱面的交线 C 的方程为 从中消去 z可得 x2+y
17、2=2x，则 C 在 xOy 面上的投影为 ()S 的质量其中D 为平面区域(x，y)|x 2+y22x。利用极坐标计算该二重积分，即 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 方法一：本题属于求第二类区面积分，且不属于封闭曲面，则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算，但由于被积函数分母中包含，因此不能立即加、减辅助面 1： 宜先将曲面方程代入被积表达式先化简： 添加辅助面 1：取下侧，由高斯公式，有 方法二：逐项计算， 其中，第一个负号是由于在 x 轴的正半空间区域的上侧方向与 x 轴反向；第二个负号是由于被积函数在 x 取负数。 D yz 为在 yOz 平面上的投影域 D
18、yz=(y，z)|y 2+x2a2，z0，用极坐标，得 其中Dxy 为在 xOy 平面上的投影域 Dxy=(x，y)|x 2+y2a2。 故【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 由题设条件，可以用高斯公式： 其中， 为 S 所围成的有界闭区域，当 S 的法向量指向 外时，“”中取“+”；当 S 的法向量指向 内时，“” 中取“一”。由 S 的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数，即 xf(x)+f(x) 一 xf(x)一e2x=0(x0)，变形后得 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 由于 故必有 (否则不能满足极限值为 1)，即 C+1=0，从而 C=一 1。因此， 【知识模块】
19、 多元函数积分学20 【正确答案】 取 1 为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围成部分的下侧，记 为由与 1 围成的空间闭区域，则 由高斯公式 所以 I=2 一 3=一 。【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 补充曲面： 1： z=0，取下侧。则 其中 为与 1 所围成的空间区域，D 为平面区域 由于区域 D 关于 x轴对称，因此 【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 取 1：x 2+y2+z2=2 的外侧，其中 为足够小的正数，记 为与1 之间的部分，则 对于第一个积分，积分曲面一 1 为闭合曲面，被积函数在 内具有一阶连续偏导数，且曲面一 1 的方向关于 取外侧
20、，由高斯公式可得 对于第二个积分， 所以I=4。【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 设 1： 取下侧，记由， 1 所围立体为 ，则由高斯公式可得 所以 原曲面积分=【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 由 Gauss 公式可得 上式中等于有界区域 所围成的锥体的体积。【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 方法一：记所考虑的球体为 ，以 的球心为坐标原点 O，射线OP0 为正 x 轴建立直角坐标系，则球面方程为：x 2+y2+z2=R2，点 P0 的坐标为(R，0，0) ，设 的重心位置为 由对称性，得 设 为 上点(x， y，2) 处的密度，按题设 =k(xR)
21、2+y2+z2，则 其中， 其中第一个积分的被积函数为 z 的奇函数， 关于 xOy 平面对称，所以该积分值为零，又由于 关于 x，y，z 轮换对称，所以 方法二：用 表示所考虑的球体， 表示球心，以点 P0 选为原点，射线 为正z 轴建立直角坐标系，则球面的方程为 x2+y2+z2=2Rz，设 的重心位置为由对称性，得 设 为 上点(x，y，z) 处的密度，按题设=k(x2+y2+z2)。所以 因为 故因此，球体 的重心位置为【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 所以侧面在xOy 面上的投影为： 记 V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式 化为极坐标，令x=rcos，y=
22、rsin， 再由侧面积公式： 化为极坐标，令x=rcos，y=rsin， 由题意知 将上述 V(t)和 S(t)代入，得积分解得 由 h(0)=130，得 C=130。所以令 h(t)=0，得 t=100。 因此高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需要时间为 100 小时。【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 (I)由于 因此在(0，+)上 F(t)0，所以 F(t)在(0，+)内单调增加。 ()因为 所以要证明 t0 时 只需证明 t0 时， 即 因此g(t)在(0，+)内单调增加。 由于 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t0 时，有 g(t)g(0)。又 g(0)=0，所以当 t0 时，g(t)0。因此，当 t0 时，【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 任意点 M(x，y，z)，对应于 L 上的点 M0(z0，y 0，z) ，x 2+y2=x02+y02，且 z=z。 由 得：x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即 ：x 2+y2=2z2 一 2z+1。 ()显然其中Dxy：x 2+y22z2 一 2z+1。 所以 因此形心坐标【知识模块】 多元函数积分学
