1、考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(x，Y) 的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布如有 F(a，b)= ，则（A）a=0 ，b=0（B） a=0，b0（C） a=0，b0（D）min(a，b)=02 已知 X，Y 的概率分布分别为 PX=1=PX=0= ，PY=0=，则 PX=Y=（A） （B） （C） （D）13 已知(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=g(x)h(y)，其中 g(x)0，h(y)0，a=h(y)dy 存在且不为零，则 X 与 Y 独立，其密
2、度函数 fX(x)，fY(y)分别为（A）f X(x)=g(x)，f Y(y)=h(y)（B） fX(x)=ag(x)，f Y(y)=bh(y)（C） fX(x)=bg(x)，f Y(y)=ah(y)（D）f X(x)=g(x)，f Y(y)=abh(y)4 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，且 X 与 Y相互独立，则随机变量 X+Y 的分布函数（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点5 设随机变量 X 与 Y 独立，且 XB(1， )，YN(0，1)，则概率 PXY0的值为（A）0（B）（C）（D）二、填空题6 设 G=(x，
3、 y)0x3 ，0y1是一矩形，向矩形 G 上均匀地掷二随机点(X ，Y)，则点(X，Y) 落到圆 x2+y24 上的概率为_ 7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y) ，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数 f1(x，y)=_8 已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为 又PX+Y=1=04，则 =_；=_ ；PX+Y1=_；PX 2Y2=1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设(X，Y) 的联合分布函数为 其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数10 设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1 ，1
4、)四个值，其相应概率分别为 ()求(X，Y) 的联合概率分布； ()求关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布；()求在 Y=1 条件下关于 X 的条件分布与在 X=1 条件下关于 Y 的条件分布11 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 其中 0 为常数，求：()PX，Y2；()PX+Y12 设随机变量 X 在区间(1，3)上服从均匀分布，而 Y 在区间(X，3)上服从均匀分布试求： () 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 f(x，y)； () 随机变量 Y 的概率密度 fY(y)13 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：()X 与 Y的边缘分布律，并判断 X 与 Y
5、是否相互独立；()PX=Y14 设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，已知条件概率密度fX Y(xy)= 试求：()常数 A 和 B；()fX(x)和 fY(y)；()f(x，y)15 设随机变量 X ，且 PXY=1()求 X 与 Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；() 令U=X+Y，V=XY，讨论 U 与 V 的独立性16 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 ()求常数a；() 求两个边缘分布律；()说明 X 与 Y 是否独立；()求 3X+4Y 的分布律；()求 PX+Y117 设随机变量 XB(1， )，YE(1) ，且 X 与 Y 相互独立记 Z=(
6、2X 一 1)Y，(Y，Z)的分布函数为 F(y，z) 试求：()Z 的概率密度 fZ(z)；()F(2，一 1)的值18 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：()(X，Y) 的联合概率分布； (II)Y 的边缘分布； ()在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布19 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数为 P 的 0-1 分布令求随机变量(X 1，X 2)的联合概率分布20 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=1= ，PX=1= ，并且 PX+Y=1=1，求：()(X， Y)的联合分布；
7、 ()X 与 Y 是否独立?为什么?21 在时刻 t=0 时开始计时，设事件 A1，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，且 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为求 A1 先于 A2 发生的概率22 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布( )求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()计算概率 PX0，Y0 ，PX23 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 fX(x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度24 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布
8、，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值试求：()(X，Y) 的联合概率密度；()关于 Y 的边缘概率密度函数；()PX+Y125 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，在 X=x(一x+) 的条件下，随机变量 Y 服从正态分布 N(x，1)求在 Y=y 条件下关于 X 的条件概率密度26 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0-1 分布，即 PX=0=PX=1= 求z 的分布；(X，Z) 的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
9、符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，X 与 Y 的分布函数为 (x)，据二维随机变量分布函数的定义及已知条件有 F(x， y)=PXx，Yy=PXx ，Xy=PXmin(x，y)=(min(x，y) ，又 F(a，b)=(min(a，b)= 则有 min(a，b)=0 故选(D)【知识模块】 多维随机变量及其分布2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查联合分布与边缘分布的关系由题设知 PXY=1=PX=1，Y=1= ，又已知 X，Y 的分布，从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X ， Y)的概率分布 所以，PX=Y=PX=0，Y=0+PX=1 ， Y=1= ，故选(C
10、)【知识模块】 多维随机变量及其分布3 【正确答案】 C【试题解析】 显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项由于 所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=f X(x)fY(y)，X 与 Y 独立，故选(C) 【知识模块】 多维随机变量及其分布4 【正确答案】 A【试题解析】 设 X 的概率分布为 PX=a=p，PX=b=1 一 p=q(ab)，而 Y 的分布函数为 F(y)，U=X+Y因为 X 与 Y 相互独立，故由全概率公式有F(u)=PX+Yu=pPX+YuX=a+qPX+Yu X=b=pPYu一 a+qPYa一 b=pF(u 一
11、 a)+qF(u 一 b)由此可见 X+Y 的分布函数 F(u)是连续函数故选 (A)【知识模块】 多维随机变量及其分布5 【正确答案】 D【试题解析】 xB(1， )，即 PX=0=PX=1= 可以将事件“X=0”和事件“X=1”看成一完备事件组，由全概率公式有 PXY0=PXY0，X=0+PXY0，X=1=PX=0+PY0，X=1其中 (x)是标准正态分布 N(0，1)的分布函数，(0)= 选(D)【知识模块】 多维随机变量及其分布二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 依题设，二维随机变量(X，Y)在矩形 G 上服从均匀分布，且SG=3，于是(X，Y) 的联合概率密度为又矩形 G 上的
12、点(X，Y)落到圆 X2+Y24上的区域如图 31所示，分成三角形和扇形两部分，则有【知识模块】 多维随机变量及其分布7 【正确答案】 【试题解析】 设随机变量(2x，Y+1)的分布函数为 F1(x，y)，则 F1(x，y)=P2Xx，Y+1y=PX ，Yy1 于是 f 1(x，y)=，y 一 1)【知识模块】 多维随机变量及其分布8 【正确答案】 03 01 04 03【试题解析】 由 01+02+01+02=1 及 PX+Y=1=pX=0，Y=1+PX=1，Y=0=+0 1=04 解得 =03，=0 1于是 PX+y1= Px=i，y=j=PX=0，Y=1+PX=0，Y=0+PX=1，Y=
13、1=0 1+02+01=04； PX2Y2=1=PX=1，Y= 1+PX=1，Y=1=0 1+02=03【知识模块】 多维随机变量及其分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 当 x0 时，F X(x)=PXx=F(x，+)=1 一 ex ；当 x0 时，F X(x)=0，因此关于 X 的边缘分布函数为 类似地，关于 Y 的边缘分布函数为【知识模块】 多维随机变量及其分布10 【正确答案】 () 依题意，(X，Y) 的联合概率分布如下表所示()关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布分别为表中最右一列与最下一行()由于 PX=1= ，且在 Y=1 条件下，X 只取 1
14、，因此关于 X 的条件概率分布为 PX=1Y=1=1；在 X=1 条件下，Y 取一 1 和 1 两个值，其条件概率分布为 PY= 1X=1= ，PY=1X=1= 【知识模块】 多维随机变量及其分布11 【正确答案】 () 利用(X，Y) 的概率密度，可得【知识模块】 多维随机变量及其分布12 【正确答案】 随机变量 X 的概率密度为 fX(x)=12(1x3)；对于 1x3，随机变量 Y 在X=x 的条件下的条件概率密度为()由密度乘法公式(39)，得 X 和 Y 的联合概率密度 f(x，y)为 ()当 y1 和 y3 时，显然 fY(y)=0；对于 1y3，由 (37)，有于是，随机变量 Y
15、 的概率密度为【知识模块】 多维随机变量及其分布13 【正确答案】 () 由于边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j，都有 Pij=Pi.P.j，而本题中p14=0，但是 P1.与 p.4 均不为零，所以 P14P1.P.4，故 X 与 Y 不是相互独立的()PX=Y=【知识模块】 多维随机变量及其分布14 【正确答案】 () 令解得 = =由对称性得 B=A= ()由于故 fX(x)=()f(x，y)=f XY (xy).f Y(y)=【试题解析】 () 由性质 fXY (xy)dx=1 可以定出常数 A，也可以更简
16、单地把看成形式()由于 fXY (xy)= ，从而将x，y 的函数分离() 由 f(x，y)=f XY (xy).f Y(y)即可求得 f(x，y)【知识模块】 多维随机变量及其分布15 【正确答案】 () 由 PXY=1 知，PX=Y =0由此可得X 与 Y 的联合分布律为 因为PX=1，Y=1PX=1PY=1，所以 X 与 Y 不独立()由(X，Y) 的联合分布律知 U，V 的取值均为一 1，1，且 PU=V=1=PX= 1，Y=0= PU=1 ，V=1=PX=0 ，Y=1= PU=1， V=1=PX=0，Y=1= PU=V=1=PX=1，Y=0= 故 U 与 V 的联合分布律与边缘分布律
17、为可验证 U 与 V 独立【知识模块】 多维随机变量及其分布16 【正确答案】 () 由 1=()由(X，Y) 的分布律，得 所以，两个边缘分布律分别为()因为 PX=1，Y=3= ，故 X 与 Y 不独立()由(X，Y)的分布律，得所以3X+4Y 的分布律为()由()可得 X+Y 的分布律为 所以 PX+Y1=PX+Y=2+PX+Y=3=【试题解析】 先由联合概率分布的性质求出 a，再由式(32)与(33)求 X，Y 的边缘分布律，然后由列表法求出 3X+4Y，X+Y 的分布律，从而可解()与()，而由式(3 11) 可判断 X 与 Y 是否独立【知识模块】 多维随机变量及其分布17 【正确
18、答案】 ()于是 fZ(z)=FZ(z)= ，一 z+()F(2 ，一 1)=PY2，Z1=PY2，(2X 一 1)Y1=PX=0PY2，(2X 一 1)Y一1X=0+PX=1PY2，(2x 一 1)Y一 1X=1【试题解析】 XB(1 一 )即 ，2X 一 1 也为离散分布：；YE(1)，记 Y 的分布函数为 FY(y)，密度函数为 fY(y)，则由于 Z=(2X1)Y 是离散型与连续型的结合，故有分布函数FZ(z)=PZz =P(2X 一 1)Yz=P(2X一 1)Yz， X=0+P(2X 一 1)Yz，X=1=P一 YzPX=0+PYz，X=1=P一 YzPX=0+PYzPX=1= P一
19、 Yz+PYz或者用全概率公式：F Z(z)=PZz=P(2X一 1)Yz=PX=0P(2X一1)Yz X=0+PX=1P(2X 一 1)YzX=1【知识模块】 多维随机变量及其分布18 【正确答案】 ()(X ， Y)的全部可能取值为(0，1)，(0 ，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1) ，再分别计算相应概率事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内”依古典概型公式，样本空间所含样本点数为43=64，有利于事件X=0，Y=1 的样本点数为 =3，于是 PX=0，Y=1=另一种计算事件X=0，Y=1 的概率的方法是用乘法公式：PX=0，Y=
20、1=PX=0PY=1X=0= 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：()从表中看出 Y 只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 Pij 的各列求和于是 Y 的边缘分布为表中最下行的值()PX=0=(j=1，2，3)在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 多维随机变量及其分布19 【正确答案】 易见随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) 现在要计算出取各相应值的概率注意到事件Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 P 的 0-1 分布，因此它们的和 Y1+Y2+Y
21、3 Y 服从二项分布 B(3，P)于是 PX1=0，X 2=0=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=q3+P3， (q 一 P)PX1=0，X 2=1=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2=PY=2=3p2q，PX 1=1，X 2=0=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=PY=1 =3pq2，PX 1=1，X 2=1=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y3=2=P =0 由上计算可知(X 1，X 2)的联合概率分布为【知识模块】 多维随机变量及其分布20 【正确答案】 首先由边缘分布及条件求得联合分布，进而判断是否独立()由题设 PX+Y=1=
22、1，即 PX=1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=1，Y=0=PX=1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为()因为 PX=1，Y=0=0PX=1PY=0= ，故 X 与 Y 不独立【知识模块】 多维随机变量及其分布21 【正确答案】 由 X 和 Y 的独立性，知 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需求概率PXY 如图 32，则有【知识模块】 多维随机变量及其分布22 【正确答案】 直接应用公式计算，但要注意非零的定义域()由于以(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形
23、面积为 12=1(如图 33)，故()【知识模块】 多维随机变量及其分布23 【正确答案】 如图 34 所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形，其面积 SD= (1+3)1=2，因此 (X，Y)的联合概率密度为当 x0 或 x3 时，由于 fX(x)=0，因此条件密度 fYX (yx)不存在注意在 x0 或x3 时，f YX (yx) 不是零，而是不存在【试题解析】 如果已知(X，Y)的联合密度，求其中一个随机变量的边缘密度及条件概率密度，可直接根据公式(37)与(38) 计算，为此我们应先计算(X，Y) 的联合概率密度【知识模块】 多维随机变量及其分布24 【正确答案】 () 根
24、据题设 X 在(0，1) 上服从均匀分布，其概率密度函数为而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度()利用求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度()由图 35 可以看出【试题解析】 欲求密度函数，通常是先求分布函数，这对一维和二维随机变量都是一样的但是本题所给的是 X 在(0，1)区间上服从均匀分布，而且条件 “当 X 取到 x(0 x1)时，Y 等可能地在 (x，1) 上取值”意味着，在 X=x 的条件下，Y 在(x，1)上服从均匀分布，这相当于给出的是条件概率密度，所以可以直接写出联合概
25、率密度【知识模块】 多维随机变量及其分布25 【正确答案】 依题意，X 的概率密度为 在 X=x 的条件下，关于 Y 的条件概率密度为 根据条件概率密度的定义可得 X与 Y 的联合概率密度为根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，Y)的边缘分布是一维正态分布，于是 Y 的概率密度为 根据条件密度的定义可得进一步分析，可将fX Y(xy)改写为如下形式： 从上面式子可以看出，在 Y=y 条件下关于 X 的条件分布是正态分布 N【试题解析】 依题意已知 X 的分布及关于 Y 的条件分布，因此我们很容易求出 X与 Y 的联合分布然后直接应用条件密度公式求 fXY (xy)【知识模块】 多维随机变量及其分布26 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知(X，Y) ，则 Z、(X ，Z)的分布为 由此可知 Z 服从参数 P=的 0-1 分布；(X ，Z) 的联合概率分布为 因PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j(i，j=0， 1)，故 X 与 Z 独立【知识模块】 多维随机变量及其分布
