1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 6 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设总体 X 的概率密度为 又设 X1，X 2，X n 是来自 X 的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 2 设总体 X 的概率密度为 试用样本 X1，X 2，X n求参数 a 的矩估计和最大似然估计3 设 X1，X 2，X n 是来自对数级数分布的一个样本，求 p 的矩估计4 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，X 1，X 2，X n 为取自 X 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计5 设总体的分布列为截尾几何分布 PX=k)=k-1(1 一 )，k=1，2，r，PX
2、=r+1)=r，从中抽得样本 X1，X 2，X n 其中有 m 个取值为 r+1，求 的极大似然估计6 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn 是其样本(1)求 C 使得是 2 的无偏估计量；(2)求 k 使得 为 的无偏估计量7 设 X1，X 2，X n 是来自总体 F(x；)的一个样本， (X1，X n)是 的一个估计量，若 试证： 是 的相合(一致)估计量8 设 X1，X 2，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：Tn=maxX1，X 2，X n是 的相合估计9 已知 X 具有概率密度(1)求未知参数 的矩估计和最大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否
3、为 的无偏估计10 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自 X 的样本，试证：估计量都是 的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效11 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 DX=，DX= 2，试确定常数 C，使 为 2 的无偏估计12 设总体服从 U0， ，X 1，X 2，X n 为总体的样本证明： 为 的一致估计13 设从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1 的常数是 的无偏估计量，并确定常数 a，b，使得方差 DT 达到最小14 设 X1，X 2，X n 独立同分布，X
4、 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1=1 一 ，p 2= 一 2，p 3=2 一 3，p 4=3，记 Ni 为 X1，X 2，X n 中出现各种可能的结15 设总体 XN( 1， 2)， YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为m，n 的样本 X1，X m 和 Y1，Y n记样本均值分别为是 2 的无偏估计求：(1)C；(2)Z 的方差DZ16 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i， i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X k，设仪器都没有系统误差，即 E(Xi)=，i=1，2，k，试求：1,
5、2 k 应取何值，使用 估计 时， 是无偏的，并且 最小?17 某种零件的尺寸方差为 2=121，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数据(毫米)：3256，2966，3164，3000，2187，3103设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(=005)18 某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 X()：325，327，324，326，324，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(=001)?19 从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2=0000 4 有无显著差别?(=005，椭圆
6、度服从正态分布)20 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26 的样本，计算平均值 1 580，问在显著性水平 =005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低于 1 60021 设X n是一随机变量序列，X n 的密度函数为：试证：22 设 X1，X 2，X n，是独立同分布的随机变量序列，E(X i)=，D(X i)=2，i=1 ，2，令 证明：随机变量序列Y n依概率收敛于 23 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，
7、才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)24 用概率论方法证明25 截至 2010 年 10 月 25 日，上海世博会参观人数超过了 7 000 万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3 个小时可到达；沿第二条路径走 5 个小时又回到原处；沿第三条路径走 7 个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆26 设 X1，X 2，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N 只取正整数且N 与K)独立，求证：27 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条
8、直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 且相互独立，若 Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求 EZ28 对于任意二事件 A1，A 2，考虑二随机变量 试证明：随机变量 X1 和 X2 独立的充分必要条件是事件 A1 和 A2 相互独立29 假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有 a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有 1,2,3现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak)。证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立29 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为假设各
9、周的需求量相互独立，以 Uk 表示 k 周的总需求量，试求：30 U2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2，3)；31 接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(8)(x)32 设 X 和 Y 相互独立都服从 01 分布：PX=1)=PY=1)=06试证明：U=X+Y，V=XY 不相关，但是不独立33 假设 G=(x，y) x 2+y2r2是以原点为圆心，半径为 r 的圆形区域，而随机变量X 和 y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 Y 的独立性和相关性34 假设某季节性商品，适时地售出 1 千克可以获利 s 元，季后销售每千克净亏损t 元假设一家商店在季节内该商品
10、的销售量 X 千克是一随机变量，并且在区间(a， b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?35 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前5 次试验每次的试验费用为 10 元，从第 6 次起每次的试验费用为 5 元试求这项试验的总费用的期望值 a36 利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗一拉普拉斯定理36 某保险公司接受了 10 000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 000 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：37 亏损的概率 ；38 一年获利润不少于 40 00
11、0 元的概率 ；39 一年获利润不少于 60 000 元的概率 39 将 n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：40 试当 n=1500 时求舍位误差之和的绝对值大于 15 的概率；41 估计数据个数 n 满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10 的数据个数 n.42 设 X 是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而 0 是任意实数，证明：不等式43 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次
12、之间的概率 43 设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，总体 X 的概率分布为其中0 1分别以 v1，v 2 表示 X1，X 2，X n 中 1，2 出现的次数，试求44 未知参数 的最大似然估计量；45 未知参数 的矩估计量；46 当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值47 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现 k 件不合格品试求 R 的最大似然估计值48 假设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1， X2，X n 是来自 X 的简单随机样本，试求： (1)端点 的最大似然估计量； (
13、2)端点 的 095 置信区间考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 6 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 X 的数学期望为【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 先求矩估计：【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 T n=X(n)的分布函数为【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 (1)先求矩估计【知识模块
14、】 概率与数理统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 由于 NiB(n，p i)，i=1，2，3， 4，所以 E(Ni)=npi，从而有：若使 T 是 的无偏估计，即要求【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 下的最小值作拉格朗日函数：G(a 1，a 2，a k，)=g(a 1，a 2，a k)+(a1+a2+ak 一 1)【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答
15、案】 问题是在 2 已知的条件下检验假设 H0：=3250H 0 的拒绝域为Zz 1/2，其中 z0.025=196，故因Z =677196，所以否定 H0，即不能认为平均尺寸是 325 毫米【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 问题是在 2 未知的条件下检验假设 H0：=325H 0 的拒绝域为tt a/2(4)故 因为t=0 3440.005(4)，所以接受 H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为 325【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 S=0025 ，S 2=0000 625，n=15，问题是检验假设H0： 2=0000 4(1)Ho ： 2=02=0000 4；(2
16、)选统计量 2 并计算其值(3)对于给定的 =005，查 2 分布表得临界值 2 2(14)=0.0252(14)=26119，1 2 2(14)=0.9752(14)=5629；(4)因为0.9752=5629 2=21875 0.0252=26119，所以接受 H0，即总体方差与规定的2=0000 4 无显著差异【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 问题是在 2 已知的条件下检验假设 H0：1 600；H 1：1600H 0 的否定域为 Z-z 2 其中因为 Z=一 102一 196=-z 0.025，所以接受 H0，即可以认为这批产品的指标的期望值 不低于 1 600【知识模块
17、】 概率与数理统计21 【正确答案】 对任意给定的 0，由于【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 设 Xi 是装运的第 i 箱的重量，n 表示装运箱数，则 E(Xi)=50，D(X i)=52=25，且装运的总重量 Y=X1+X2+Xn，X n独立同分布，E(Y)=50n， D(Y)=25n由列维一林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)于是【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列，每个 Xi 服从参数为 1 的泊松分布，则 由列维一林德伯格中心极限定理知：【知识模块】 概率与数理统计25
18、 【正确答案】 设游客需要 X 小时到达中国馆，则 X 的可能取值为3，5+3 ，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，要写出 X 的分布律很困难，所以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径 ，即Y=i表示“ 选择第 i 条路径”则因为 E(XY=1)=3，E(XY=2)=5+E(X)，E(XY=3)=7+E(X) ，所以 故 E(X)=15，即该游客平均要 15 个小时才能到达中国馆【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为已经握手的女嘉宾的编号，Y 表示将要去握手的女嘉宾的编
19、号，则【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 记 pi=P(Ai)(i=1，2)，p 12=P(A1A2)，而 是 X1 和 X2 的相关系数易见，随机变量 X1 和 X2 都服从 0 一 1 分布，并且 PXi=1=P(Ai)，PX i=0=P(Ai)，PX 1=1，X 2=1)=P(A1A2)(1)必要性设随机变量 X1 和 X2 独立，则P(A1A2)=PX1=1，X 2=1)=PX1=1)PX2=1)=P(A1)P(A2)从而，事件 A1 和 A2 相互独立(2)充分性设事件 A1 和 A2 相互独立，则 也都独立，故 从而，随机变量 X1和 X2 相互独立【知识模块】 概率与
20、数理统计29 【正确答案】 由于对任意k，j=1 ，2， 3 且 kj，有 可见事件 A1，A 2，A 3两两独立但是，由于 可见事件A1，A 2，A 3 不相互独立【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 以 Xi(i=1，2，3)表示第 i 周的需求量，则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2，U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX1，X 2，X 3)当 x0 时，显然 f2(x)=f3(x)=0；对于 x0，有于是，两周和三周的总需求量 U2 和 U3 的概率密度【知识模块】 概率与数理统计31 【正确答案】 设 F(x)是随机变
21、量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)，的分布函数为 G(x)=F(x)3于是，有【知识模块】 概率与数理统计32 【正确答案】 (1)由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UV)一 EUEV=E(X2 一 Y2)一 E(X+Y)E(XY)=E(X2)一 E(Y2)=0于是，U=X+Y， V=XY 不相关 (2)现在证明 U=X+Y，V=XY 不独立事实上，由 PU=0=PX=0，Y=0)=PX=0)PY=0)=016， PV=0=PX=0，Y=0)+PX=1，Y=1 =PX=0)P(Y=0)+PX=1)PY=1)=052， PU=
22、0，V=0)=PX=0，Y=0)=PX=0)PY=0) =0 16016052=PU=0)PV=0)，可见 U 和V 不独立【知识模块】 概率与数理统计33 【正确答案】 (1)X 和 Y 的联合密度为 那么，X 的密度函数 f1(x)和 Y 的密度函数 f2(y)相应为由于 f(x，y)f1(x)f2(y)，可见随机变量 X 和 Y 不独立(2)证明 X 和 Y 不相关，即 X 和 Y 的相关系数 =0 因此，有于是，X 和 Y 的相关系数 =0这样，X 和 Y 虽然不相关，但是不独立【知识模块】 概率与数理统计34 【正确答案】 根据条件随机变量 X 的概率密度为 以Y=P(h)表示销售利
23、润，它与季初应安排商品的数量 h 有关由条件知为求使期望利润最大的 h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望为此，首先注意到：a hb，销售利润 Y=P(h)的数学期望为于是，季初安排 h0 千克商品，可以使期望销售利润最大【知识模块】 概率与数理统计35 【正确答案】 以 X 表示试验的总次数，首先求 X 的概率分布设 Ak=第 k 次试验成功(k=1，2，) ，则 P(Ak)=p，X 的概率分布为其中 q=1 一 p于是试验的总次数 X服从参数为 p 的几何分布现在求试验的总费用的期望值 a由条件知，试验的总费用为 例如，设p=08 ，q=02，得 a=12498 元；设 p=q=05
24、，得 a=19687 5 元；设p=02 ，q=08，得 a=41808 元；设 p=01，q=0 9，得 a=70475 5 元【知识模块】 概率与数理统计36 【正确答案】 设随机变量 X1，X 2，K m 相互独立，同服从 01 分布；EXi=p，DX i=pq(i=1，2，n)，S n=X1+X2+Xn，ES n=np，DS n=npq，其中 q=1一 p，X 1，X 2，X n 满足列维一林德伯格定理的条件：X 1，X 2，X n 独立同分布且数学期望和方差存在，当 n 充分大时近似地S=X1+X2+XnN(np， npq)【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计37
25、 【正确答案】 设 X 为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为 Y=01X(万元)；保费总收入 C=12 万元易见，随机变量 X 服从参数为 (n，p)的二项分布，其中 n=10 000， p=0006； EX=np=60，DX=np(1 一 p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量 Y 近似服从正态分布 N(6，0596 4)保险公司亏损的概率【知识模块】 概率与数理统计38 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率【知识模块】 概率与数理统计39 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 6 万元的概率【知识模块】
26、 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计40 【正确答案】 设 Xi 是第 i 个数据的舍位误差，由条件可以认为 Xi 独立且都在区间一 05，05 上服从均匀分布，从而 EXi=0，DX i=112记Sn=X1+X2+Xn 为 n 个数据的舍位误差之和，则 ESn=0，DS n=n12根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从 N(0，n12)记 (x)为N(0，1)的分布函数由于 近似服从标准正态分布，且 n=1500，可见【知识模块】 概率与数理统计41 【正确答案】 数据个数 n 应满足条件：由于 近似服从 N(0，1)，可见于是，当 n721 时，才能使误差
27、之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率与数理统计42 【正确答案】 (1)设 X 是离散型随机变量，其一切可能值为 xi，则(2)设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则【知识模块】 概率与数理统计43 【正确答案】 设 un 是 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数，则 vnB(1 000，05) ，EX=1 00005=500，DX=1 00005 2=250利用切比雪夫不等式，知【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计44 【正确答案】 求参数 的最大似然估计量样本 X1，X 2，X n 中 1，2 和 3出现的次数分别为 v
28、1，v 2 和 n 一 v1 一 v2，则似然函数和似然方程为【知识模块】 概率与数理统计45 【正确答案】 求参数 的矩估计量总体 X 的数学期望为 EX=24(1 )+3(1) 2.在上式中用样本均值【知识模块】 概率与数理统计46 【正确答案】 对于样本值 1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值【知识模块】 概率与数理统计47 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数，b 是合格品的件数从而，a=Rb，合格品率为 设 X 是随意抽取的一件产品中不合格品的件数，则 X 服从参数为 p 的 01 分布对于来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，记
29、vn=X1，X 2，X n，则似然函数和似然方程为由条件知vn=X1，X 2，X n=k，于是似然方程的唯一解 即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率与数理统计48 【正确答案】 记 X(n)=max(X1，X 2，X n)由总体 X 的分布函数知，X (n)的分布函数为 (1)总体 X 的概率密度函数为 未知参数 的似然函数由于似然函数 L()无驻点，需要直接求 L()的最大值点，记 X(n)=maxX1，X 2，X n；由于当 X(n) 时，L()=0 ；当 X(n) 时，L()随 减小而增大，所以当 时 L()达到最大值，故就是未知参数 的最大似然估计量现在讨论估计量 的无偏性为此，首先求 的概率分布总体 X 的分布函数为 由于X1，X 2，X n 独立同分布，则 的分布函数为 F(n)(x)=PX(n)x)=PX1x，X nx)(2)求端点 的095 置信区间选统计量 利用 X(n)的分布函数 F(n)(x)，确定两个常数 1和 2，使之满足下列关系式：其中 =005从而，端点 的 1 一 置信区间为【知识模块】 概率与数理统计
