1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B) 0，则下列结论正确的是( )（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B) （D）P(A 一 B)=P(A)2 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= (a0，A 为常数)，则PaXa+b的值( )（A）与 b 无关，且随 a 的增加而增加（B）与 b 无关，且随 a 的增加而减少（C）与 a 关，且随 b 的增加而增加（D）与 a 无关，且随 b 的增加而减少3 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2+y29a
2、2(a0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y29a2)，则( )（A）p 的值与 a 无关，且 p=（B） p 的值与 a 无关，且 p=（C） p 的值随 a 值的增大而增大（D）p 的值随 a 值的增大而减少4 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aXbY)，下列结论正确的是( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立5 设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（A）X+Y 服从正态分布（B） X2+Y2 服从 2 分布（C） X2，Y 2 都服从 2 分布（D）X 2Y 2 服从 F
3、分布二、填空题6 设 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(A+B)=_7 设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C) ，且 P(A+B+C)= ，则 P(A)=_8 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 c=_9 一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 (k=1，2，3)，以随机变量 X 表示三个零件中不合格的零件个数，则 P(X=2)=_10 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，Y一 2)= ，则P(X1，Y一 2)=_11 设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= ，则D(Y)=_12
4、设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为_13 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体的简单随机样本，则 _， =_14 设(X 1，X 2，X n，X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2)的简单样本，则统计量 U= 服从 _分布15 设总体 X 的分布律为 X ( 为正参数)，一 1，2，一1，1，2 为样本观察值，则 的极大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 X 的密度函数为 F(x)= ，求 k 的取值范围16 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)=17 求常数 A，
5、B；18 求 X 的密度函数 f(x)；19 求 P(x )19 设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 求：20 (X， Y)的边缘密度函数；21 Z=2XY 的密度函数21 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X2+Y2求：22 fU()；23 PUD(U)UE(U) 24 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度25 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止求试验次数的数学期望26 设 XU(一 1，1) ，Y=X 2，判断 X，Y 的独立性与相关性27 设总体 X 的密度函数
6、为 f(x)= ，X 1，X 2，X n 为来自总体X 的简单随机样本，求参数 的最大似然估计量28 某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取 20 根，测得平均直径为=325cm，样本标准差为 15，问在显著性水平为 005 下，是否可以认为这批木材的直径为 30cm?考研数学一（概率统计）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 不相容，所以 P(AB)=0，又 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(AB)=P(A)，选(D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f
7、(x)dx=1，所以 0 Aex dx=1，解得 A=ea，由P(aXa b)=aab f(x)dx=aab eaex dx=一 eaex aab =1 一 eb ，得P(aXa b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为(C)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2 上服从均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= p=PX 2+9Y29a2=，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 D(aX+bY)=a 2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X，Y) ，D(aX 一 bY)=a2
8、D(X)+b2D(Y)一 2abCov(X，Y)，因为 D(aX+bY)=D(aXbY)，所以 Cov(X，Y)=0，即X，Y 不相关，选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X，Y 不一定相互独立，所以 X+Y 不一定服从正态分布，同理(B)， (D)也不对，选(C)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 08【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(A+B)=P(AB)P(B)=0 8【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 P(ABC)=P(A)+P(B) P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)P
9、(ABC)且 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)，得 3P(A)一 3P2(A)=，因为 A A+BC ，所以 P(A)P(A+BC)= 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 由 cc2+c+ 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 令 Ak=第 k 个零件不合格(k=1，2，3)，【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 令X1=A，Y一 2=B ，P(A)=，且 P(AB)= ，则【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 随机变量 Y 的可能取值为一 1，0，1，P(Y=一 1)=P(X
10、0)= 1 0 ，P(Y00)=P(X=0)=0， P(Y=1)=P(X0)= ，Y 的分布律为 Y=1，则 D(Y)=E(Y2)一E(Y)2= 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)=4D(X)=36，Cov(X ，Y)=Cov(X ，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X ，3) ，因为 Cov(X，3)=E(3X)E(3)E(X)=3E(X)一3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是 =1【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 ， 2【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】
11、因为 2(m)相互独立，所以 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 L()= 2(12)2=4(12)，lnL()=4ln+ln(12)，令=0，得参数 的极大似然估计值为 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 显然 k6，当 3k6 时，P(Xk)= k6 ；当 1k3 时，P(Xk)= 36 ；当 0k1 时， P(Xk)=；当 k0 时，P(Xk)=1，所以 1k3【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为连续型随机变量的分布函数是连续的，所以有【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 f(
12、x)=【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 当 0x1 时，f X(x)= f(x， y)dy=02xdy=2x当 x0 或 x1时，f X(x)=0，所以 fX(x)= ，同理 fY(y)= 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z 2 时【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (一x，y+)F U()=P(U)，当 0 时，F U()=0；当
13、 0 时， FU()=P(U)=P(X2+Y2)= =，所以 fU()= 即 U 服从参数为= 的指数分布【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 E(U)=2，D(U)=4 ，PUD(U) U E(U) =P(U4 U 2)=，因为 P(U4)=1 一 P(U4)=l(1 一 e2 )=e2 P(U2)=1 一(1 一 e1 )=e1 ，所以 PU D(U)U F(U)=e 1 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 XU(01)，YE(1)因为 X，Y 相互独立，所以 f(x，y)=f X(x)fY(y)= 于是 FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)=当 z0 时，F Z(z)=0；当
14、 0 z1 时，F Z(z)= f(x，y)dxdy=0zdx0zx ey dy=ze z 1；当 z1 时，F Z(z)=f(x，y)dxdy=0zdx0zx ey dy=ez e 1z 1所以 FZ(z)= 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0 ，E(XY)=E(X 3)=1 1 dx=0，因此 Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 令 H0：=30，H 1：30 已知总体 XN(， 2)， =325，因为 2 未知，所以取统计量 t(n 一 1)，查表得 t0025 (19)=2093，则 H0 的接受域为(一 2093，2093)，而 (一 2093，2093)，所以H0 被接受，即可以认为这批木材的平均直径为 30cm【知识模块】 概率统计
