1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 ，且满足 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( )（A）0（B）（C）（D）12 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(X+Y1)等于( )（A）（B） 1 一 e（C） e（D）2e3 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa ，Yy)，则下列结论正确的是( ) （A）1 一 F(一 a，y)（B） 1 一 F(一 a，y 一 0)（C） F(+，y0) 一 F(一 a，y 一 0)（D）
2、F(+， y)一 F(一 a，y)4 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(1 ，1)，则( ) 5 设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( )6 设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(Y1)= ，则P(min(X，Y)1)=( )7 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2(a0)上服从均匀分布，P=P(X 2+9Y2 9a2)，则( ) （A）p 的值与 a 无关，且（B） p 的值与 a 无关，且（C） p 的值随 a 值的增大而增大（D）p 的值随 a 值的增大而减少8 设(X，Y) 服从二维正态分布，则下列说
3、法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）=0 时 X，Y 相互独立二、填空题9 设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)=_10 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=_11 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 ，则a=_，P(XY)=_12 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，Y-2)= ，则P(X1，Y一 2)=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设一汽车
4、沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布14 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X 的分布律与分布函数15 16 17 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X 表示红球个数(1)写出 X 的分布律；(2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率18 19 设某个系统由六个相同的元件先
5、经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布20 21 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系22 设 XN(0，1) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数23 设 XU(0，2) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数24 设 X，Y 的概率分布为 ，且 P(XY=0)=1(1)求(X ， Y)的联合分布； (2)X，Y 是否独立?25 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1) ，且中途下车与否相
6、互独立，以 Y 表示中途下车人数(1)求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；(2)求(X，Y) 的概率分布26 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下： 就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：(1) 第一次抽取后放回； (2)第一次抽取后不放回27 设(X，Y)在区域 D：0 x1，y=x 内服从均匀分布(1)求随机变量 X 的边缘密度函数；(2)设 Z=2X+1，求 D(Z)28 设(X，Y)的联合概率密度为 .求：(1)(X，Y)的边缘密度函数；(2)Z=2XY 的密度函数29 30 设
7、两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度31 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0 ，1)，求 Z=2X-Y+3 的密度32 设 X 在区间一 2，2 上服从均匀分布，令 求：(1)Y，Z 的联合分布律；(2)D(Y+Z) 33 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在 Y=1 的条件下求随机变量 X 的条件概率分布34 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 (1)求c；(2)求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?(3)求 Z=max(X，Y)的密度
8、35 36 设(X，Y)的联合密度函数为 (1)求 a；(2)求=X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；(3)求 fXY (xy)37 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布38 39 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X2+Y2求： (1)f U(u)；(2)PUD(U)UE(U)40 41 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度考研数学一（概率统计）模拟试卷
9、 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1)=P(X1=1，X 2=一1)=P(X1=1，X 2=1)=0P(X1=一 1，X 2=0)=P(X1=一 1)= ，P(X 1，X 2=0)=P(X1=1)= ，P(X 1=0，X 2=一 1)=P(X2=一 1)= ，P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)= ，故P(X1=0，X 2=0)一 0，于是 P(X1=X2)=P(X1=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X
10、 2=1)=0，选(A)【知识模块】 概率统计部分2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分3 【正确答案】 C【试题解析】 P( 一 Xa，Yy)=P(X 一 a，Yy)因为 P(yy)=P(X一 a，Yy)+P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy)=F(+，y=0) 一 F(一 a 一0，y0) ，选(C) 【知识模块】 概率统计部分4 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1 ，1)，X+Y N(1 ，2)P(X+Y1)= ，所以选(B)【知识模块】 概率统计部分5 【正确答案】 B【试题解析】 【
11、知识模块】 概率统计部分6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分7 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2 上服从均匀分布，【知识模块】 概率统计部分8 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时， X，Y 才相互独立，选 (A)【知识模块】 概率统计部分二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1， Y=1)+P(X=2，Y=0)， 由 X，Y相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y
12、=1)+P(X=2)P(Y=0)=【知识模块】 概率统计部分10 【正确答案】 2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【试题解析】 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B) 一P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【知识模块】 概率统计部分11 【正确答案】 6；【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分14 【正确答案
13、】 X 的可能取值为 1，2，3，【知识模块】 概率统计部分15 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分16 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分17 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分18 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分19 【正确答案】 设 Ti=第 i 个元件的正常工作时间，T iE() ，i=1，2，6 F(t)=PTt)，注意Tt 表示系统在 0，t内一定正常工作 则Tt)=(T 1t)+T2t)(T3t)+T4t)(T6t)+T6t)， 又 T1，T 2， T6 相互独立同分布，所以有 F(t)一 PTt=P(T1t+T2t)3 而 P(T1t)+T2t)=1
14、 一 PT1t，T 2t)=1 一PT1tPT 2t= 所以 T 的分布函数为【知识模块】 概率统计部分20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分24 【正确答案】 (1)因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0 ，【知识模块】 概率统计部分25 【正确答案】 (1)设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则【知识模块】 概率统计部分26 【正确答案】 (1)(X， Y)的可能取值为(0，
15、0)， (1，0)，(0，1)，(1，1)【知识模块】 概率统计部分27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分29 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分30 【正确答案】 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，【知识模块】 概率统计部分31 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9，则 Z 的密度函数为【知识模块】 概率统计部分32 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分33 【正确答案】 因为 P(Y=1)=06，【知识模块】 概率统计部分34 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分35 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分36 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分37 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分38 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分39 【正确答案】 (1)因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计部分40 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分41 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分
