1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )（A）A+B 与 独立（B） A+B 与 C 不相容（C） A+B 与 不独立（D）A+B 与 对立2 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） maxX，Y（D）minX，Y3 对于随机变量 X1，X 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1+X2+Xn)
2、= D(Xi)（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则 N(0， 2)（D）若 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)，则 X1，X 2，X n 两两不相关4 在假设检验中，显著性水平 的含义是( )（A）原假设 H0 成立，经过检验 H0 被拒绝的概率（B）原假设 H0 成立，经过检验 H0 被接受的概率（C）原假设 H0 不成立，经过检验 H0 被拒绝的概率（D）原假设 H0 不成立，经过检验 H0 被接受的概率二、填空题5 设 A，B
3、 是两个随机事件，P(A|B)=04，P(B|A)=04，P( )=07，则P(A+B)=_6 一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_7 设每次试验成功的概率为 p=34，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_8 设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX，Y，则P(0Z1)=_。9 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 P|XE(X)|2D(X)=_10 设 XN(1， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总体，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 分
4、别为来自两个总体的简单样本，S 12=则 S12S 22 服从_分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率12 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)112 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表13 求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；14 设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q15 设随机变量
5、X 的概率密度为 fX(x)= ，求 Y=eX 的概率密度 fY(y)16 设随机变量 XN(， 2)，YU ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求fZ(z)16 设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，Y U(0 ，x)17 求 X，Y 的联合密度函数；18 求 Y 的边缘密度函数19 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望19 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且X，Y 的相关系数为12，又设 Z=20 求 E(Z)，
6、D(Z)；21 求 XZ；22 X，Z 是否相互独立? 为什么 ?23 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立且在0， a上服从均匀分布，令U=maxX1， X2，X n，求 U 的数学期望与方差24 一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413 ，(2)=09772)25 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 Y=1n |Xi
7、|，求 Y 的数学期望与方差26 设总体 X 的概率分布为 (012)是未知参数用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值考研数学一（概率统计）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，所以 P(AC)=P(A)P(C)， P(BC)=P(B)P(C)，且 AB= 而 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)，所以 P(A+B) =P(A)+P(B)P( )=P(A+B)P( )，即 A+B 与 独立，正
8、确答案为(A)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 XE()，所以密度函数为 f(x)E(X)=1，D(X)=1 2，因为 E(X+Y)=2 ，E(XY)=0，而 maxX，Y的分布函数是 F2(x)所以(A)，(B)，(C) 项都不对，选(D)事实上，rainX，Y的分布函数为 P(minX，Yx)=1P(rainX，Yx)1P(Xx，Yx)=1P(Xx)P(Yx)=1 1F(x) 2【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则(B)，(C) 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关，则 (A)是正确的，选 (D)
9、【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 815【试题解析】 因为 P(A|B)=04，P(B|A)=0 4，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A) ，解得 P(A)=P(B)=13，P(AB)=215，于是 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)= =815【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 23【试题解析】 令 Ai=所取产品为 i 等品)(i=1，2，3)，P(A 1)=06，P(A 2)=0 3， P(A3)=01，所求概率为 P(A1|A1+A2)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 15【试题解析】 由 PX
10、=k=(1p) k1 p(k=1，2，)(其中 p=34)，得【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 34【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y 相互独立，所以FZ(z)=P(Zz)=1P(Z z)=1P(minX，Y z)=1P(Xz，Y z)=1P(X z)P(Yz)=11P(Xz)1P(Yz)=1=1 F X(z)1F Y(z)于是 P(0Z 1)=FZ(1)F Z(0)=34【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 37125【试题解析】 E(X)= 01xf(x)dx=016x2(1x)dx=2 =12，E(X 2)=01x2f(x)dx=016x3(1x)
11、dx= =310，则 D(X)= =120，于是 P|XE(X)|2D(X)=P|X |110=P(2 5X35)= 25 35 6x(1x)dx=37125【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 Ai=第 i 本书正好在第 i 个位置 ， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同)，则 B=A1+A2+A3，且 P(Ai)=2!3!=13(i=1，2，3)，P(AiAj)=1!3!=16(i，j=1，2，3，ij)，P(A 1A2A3)=1!3!=16， 故 P(B)=P(
12、A1)+P(A2)+P(A3)P(A 1A2)P(A 1A3)P(A 2A3)+P(A1A2A3)=23【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB C，于是 P(C)P(AB)，而 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)1，所以有 P(AB)P(A)+P(B)1，于是P(C)P(A)+P(B)1【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 设 Ai=所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i=1，2，3)，B j=第 j 次取的报名表为男生报名表)(j=1，2)，则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=13【知识模块】 概率统计
13、14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(eXy)，当 y1 时，X0 ，F Y(y)=0；当 y1 时，X0，F Y(y)=P(eXy)=P(Xlny)= lnyfX(x)dx=0lnyex dx，f Y(y)=1y 2，所以 fY(y)【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU ，所以 X，Y 的密度函数为又 X，Y相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 f(x，y)=f X(x)fY(y)FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)=f(x，y)dxdy【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】
14、因为 XU(0，1)，所以 fX(x) 又在 X=x(0x1)下，YU(0 ，x) ，所以 fY|X(y|x) f(x，y)=f X(x)fY|X(y|x)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 f Y(y)= +f(x，y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y(y)=0；当 0y1 时，fY(y)=y11xdx=ln1y，故 fY(y)【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 利用随机变量分解法设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 Xi则 X=X2+X3+X11，E(X)= E(Xi)P(X i=0)P(Xi=1)=1(910) 20，因为 E(Xi)1(910) 20，所以 E(X)=
15、 E(Xi)=101(910) 20【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 E(Z)=13E(X)+ E(Y)=13，【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 Cov(X，Z)=13D(x)+ Cov(X，Y)=3+ (112)12=0 XZ=0【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=P(maxX1，X 2，X nu)=P(X1u，X 2u，X nu) E(U)= +ufU(u)d
16、uE(U2)= +u2fU(u)du【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 设第 i 只电阻使用寿命为 Xi，则 XiE(001)，E(X i)=100，D(X i)=1002(i=1，2，36) P(X4200)=1P(X4200)1(1)=01587【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 E(Y)=1n EXi|=E|X|，D(Y)=1n 2 D|Xi|=1 nD|X|，而 E|X|【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1)+2 2+3(12)=34， =18(3+1+3+0+3+1+2+3)=2 ，令 E(X)= 得参数 的矩估计值为=1 4L()= 22(1) 22(12) 4=46(1) 2(12) 4，lnL()=ln4+6ln+2ln(1)+4ln(12) ， 得参数 的最大似然估计值为【知识模块】 概率统计
