1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 互不相容，且 OP(A)1，则有( )2 设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(B C)，则下列正确的是( )（A）（B） P(ACBC)=P(AC)+P(BC)（C） P(A+B)=P(AC)+P(B C)（D）P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CA)3 以下命题正确的是( ) （A）若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立（B）设 P(A)0，P(B)30，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥（C）设 P(A)0，P(B)
2、0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立（D）A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=04 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )（A）A+B 与 独立（B） A+B 与 C 不相容（C） A+B 与 不独立（D）A+B 与 对立5 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） 两两独立（C） P(A1，A 2，A 3)=P(A1)P(A2)P(A3)（D） 相互独立6 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立 （B）常数与任何随机变量独
3、立 （C）若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立（D）若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容7 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( )8 设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 BC 相互独立（B） AB 与 A+C 相互独立（C） AB 与 AC 相互独立（D）A qB 与 A+C 相互独立9 连续独立地投两次硬币，令 A1=第一次出现正面，A 2=第二次出现正面，A3=两次中一次正面一次反面 ，A 4=两次都出现正面，则( )。（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B
4、） A1，A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A 4 相互独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立10 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（A）F(a)=1 0af(x)dx（B） F(一 a)= 一 0af(x)dx（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 1二、填空题11 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则=_。12 设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， =07，则P(A+B)= _。13 设 A，B
5、是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(AB)=_14 设 P(A)=06， =_15 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY，则P(A+B)= _。16 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 ，则 P(A)=_17 随机向区域 D：0y (a0) 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为_18 一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_19 三次独立试验中 A 发生的概率不变，若
6、A 至少发生一次的概率为 ，则一次试验中 A 发生的概率为_20 设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_21 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 P=_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_22 设每次试验成功的概率为 p= ，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_23 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= (一x+)，Y=X 2 的概率密度为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号
7、与它的编号相同的概率25 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1ka+b)26 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率27 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率28 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数。求甲数大于乙数的概率29 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和
8、50(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率30 设事件 A，B 独立证明：事件 都是独立的事件组31 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 132 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表 (1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q考研数学一（概率统计）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题
9、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有 =P(B)一 P(AB)=P(B) 选(B) 【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，因为 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)=P(ABC)，所以 P(ABC)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 当 P(A)0，P(B) 0 时，事件 A， B 独立与
10、互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选 (D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容， 所以 P(AC)=P(A)P(C)， P(BC)=P(B)P(C)，且 AB= 。 而 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)， 所以独立，正确答案为(A)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A 3 两两独
11、立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1，则 ，B 独立，则 A，B 也独立，因为 P(A+B)=P(A)+P(B)，得 P(AB)=0，但 AB 不一定是不可能事件，故选(D) 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于=等价于 AB=A，所以选(D)【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 A【试题解析】 在 A，B，C 两
12、两独立的情况下，A，B，C 相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为(A) 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 P(A3A4)=0，所以 A2， A3，A 4 不两两独立，(C)、(D)不对； 因为 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，所以 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 B【试题解析】 F( a)=-af(x)dx -af(t)dt=a+f(t)dt=1 一 -af(t)dt =1(-af(t)dt+-aaf(t)dt)=
13、1F(a)一 20af(t)dt 则 F(一 a)= 一 0af(x)dx，选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题11 【正确答案】 04【试题解析】 因为 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=0 6， 所以 P(AB)=02又因为 =P(A)一P(AB)， 所以 =P(A)+P(B)一 2P(AB)=0804=0 4【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 ， 因为 P(A=B)=0 4， P(BA)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)，【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 02【试题解析】
14、因为 P(AB)=P(A 相互独立，故 P(A)1 一 P(B)3=0405=02【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 由 P(A )=P(AB)=P(A)一 P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=0 4， 再由 =一 P(BA)=P(B)一 P(AB)=03 得 P(B)=07，【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，Y=4=3 ， P(B)=PX 一 2，Y=1+PX=3，Y=1)+PX=3，Y=2+PX=4，Y=3 +PX=4 ，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5 ， Y=4+PX=
15、5，Y=3 +PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6 ， Y=4 +PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6，Y=1=【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得 ， 因为=P(B)一 P(AB)，所以 P(A)=P(B)， 再由独立得P(A)一 P2(A)= 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 半圆的面积为 S= 的区域记为 D1，所求概率为 P=【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 令 Ai=所取产品为 i 等品)(i=1，2，3)，P(A 1)=06，P(A 2)=0 3， P(A3)=01， 所求概
16、率为 P(A 1A 1+A2)=【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 P，B=三次试验中 A 至少发生一次，【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【试题解析】 令 A第一件产品合格 )，B第二件产品合格)，则所求概率为【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 ，5【试题解析】 设成功的次数为 X，则 XB(100，P)，【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y) 当 Y0 时，F Y(y)=0；【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写
17、出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 设 Ai=(第 i 本书正好在第 i 个位置 ， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A1+A2+A3，且 P(Ai)=， 故P(B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)一 P(A1A2)一 P(A1A3)一 P(A2A3)+P(A1A2A3) =【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 基本事件数 n=(a+b)!，设 Ak=第 k 次取到黑球)，则有利样本点数为 a(a+b 一 1)!， 所以 P(Ak)= 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 设甲乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)， 则两船不
18、需要等待的充分必要条件是 ， 令 D=(x，y)0x24，0y24， 则D1=(x，y) yx1 ，xy2，(x，y)D， 则两船不需要等待的概率为 p=【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 令 Ak=第 k 次拨通对方电话)(k=1，2，10)，【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 设 A1=甲数为 5)，A 2=甲数为 10，A 3=甲数为 15，B=甲数大于乙数 ， P(A1)=P(A2)=P(A3)= ，P(BA 3)=1，则 P(B)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)P(BA 3)= 。【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 (1)设 A=甲击
19、中目标 ，B= 乙击中目标 ，C=击中目标，则C=A+B， P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B) =06+051060 5=08 (2)设 A1=选中甲 ，A 2=选中乙 ，B=目标被击中，则【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)，【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB C，于是 P(C)P(AB)， 而 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)1， 所以有 P(AB)P(A)+P(B)一 1，于是P(C)P(A)+P(B)一 1【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 (1)设 Ai=所抽取的报名表为第 i 个地区的(i=1，2，3)， B i=第j 次取的报名表为男生报名表(j=1，2)，则【知识模块】 概率统计
