1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( )2 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( )3 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)=aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )（A）a=1 2 ，b=12（B） a=12，b=32（C） a=12，b=12（D）a= 1 2，b=324 设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B）
2、 (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立（D）X+Y 服从一维正态分布5 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S2 分别为样本均值与样本方差，则( )二、填空题6 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY，则P(A+B)=_7 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)=3 7，P(X0)=P(Y0)=47，则P(maxX，Y0)=_8 设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)=1，则 =_9 (1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计P(14X28)
3、=_(2) 设随机变量 X1，X 2，X 10 相互独立且 Xi(i)(i=1，2，10)，Y=110 Xi，根据切比雪夫不等式，P4 Y 7)_10 设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1，X 9)与(Y 1，Y 9)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本，则 U= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率12 设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的
4、指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数13 设随机变量 XE()，令 Y= 求 P(X+Y=0)及 FY(y)13 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)=14 求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；15 判断随机变量 X，Y 是否相互独立；16 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数17 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，YE(4)，令 U=X+2Y，求 U的概率密度18 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利
5、润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?18 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= 求：19 (U， V)的分布；20 U，V 的相关系数20 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令 Y=Xm+k求：21 D(Y)，D(Z) ；22 YZ23 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记服从的分布24 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 0 为未知参数，a0 为已知参数，求 的极大似然估计量25 设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X
6、 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性考研数学一（概率统计）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有 P(B|B)=P(B)P(AB)=P(B)选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于 A=AAB，则 A 等价于 AB=A，所以选(D)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 (D)【知识
7、模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 A【试题解析】 应选(A)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 1736【试题解析】 P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，Y=4=3 =112
8、，P(B)=PX=2，Y=1+PX=3，Y=1+PX=3，Y=2+PX=4 ，Y=3+PX=4，Y=2+PX=4 ， Y=1+PX=5，Y=4+PX=5，Y=3+P(X=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6 ， Y=5+PX=6，Y=4+PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6，Y=1=1536=512P(AB)=P(X=6，Y=4=136，则 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 57【试题解析】 令X0=A，Y0=B ，则有 P(AB)=37，P(A)=P(B)=4 ，故P(maxX，Y0)=1P(maxX，Y0)=1P(X 0，Y0)=1
9、P( )=P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)=57【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X2)=D(X)+E(X)2=2+ 由 E(X1)(X2)=E(X 23X+2)=E(X 2)3E(X)+2= 22+2=1 得 =1【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 (1)9 14(2)3445【试题解析】 (1)设 Xi 为第 i 次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则 X= Xi，其中D(Xi)=3512 ，i=1，2，3，4， 5，6则 E(X)=6 =21，D(X)=6 =352，由切比雪夫不等式，有 P(
10、14X28)=P(|XE(X)| 7)1 =914(2)由 Xi(i) 得E(Xi)=i，E(D i)=i(i=1，2，10)， 则P(4Y7)=P(32YE(Y)32)=P(|YE(Y)|32)【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 t(9)【试题解析】 由 X1+X2+X9N(0，81)，得 1 9(X1+X2+X9)N(0，1)因为 Y1，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 13) 2+(Y13) 2+(Y93)2 2(9)，即 19(Y 12+Y92) 2(9)因此【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 令 Ak=第
11、 k 次拨通对方电话(k=1，2，10)，【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 设三个元件正常工作的时间为 Ti(i=1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t 0 时，令 A=T1t，B=T 2t，C=T3t，且 A，B，C 独立，则 FT(t)=P(Tt)=P(A+B+C)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) ，P(A)=P(B)=P(C)=1e t ，F T(t)=3(1e t )3(1 e t )2+(1e t )3，于是 FT(t)【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 P(X+Y=0)=P(Y=
12、 X)=P(|X|1)=P(X1)+P(X1)=P(X 1)=1P(X1)=1F X(1)=e FY(y)=P(Yy)=P(Yy，|X|1)+P(Yy，|X|1)=P(Xy，|X|1)+P(Xy，X1)+P(Xy，X1)=P(Xy，0X1)+P(Xy，X 1) 当 y1 时，F Y(y)=P(Xy)=e y；当1y0 时，F Y(y)=P(X1)=e ；当 0y1 时，F Y(y)=P(Xy)+P(X1)=1e y +e ；当 y1 时，FY(y)=P(0X1)+P(X1)=1 ，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 f X(x)= +f(x，y)dy当 x0 时，f
13、 X(x)=0；当 x0 时，f X(x)= +f(x，y)dy= 0+2e(x+2y) dy=ex e2y d(2y)=ex ，则 fX(x) fY(y)= +f(x，y)dx，当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时， fY(x)=0+2e(x+2y)dx=2e2y 0+ex dx=2e2y ，则 fY(y)【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以随机变量 X，Y 相互独立【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= f(x，y)dxdy，当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时， =0ze
14、x dx0(zx) 2 e2y d(2y)=0zex (1e xz )dx=1e zze z ，【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=P(X+2Yu)=P(X=1)P(X+2Yu|X=1)+P(X=2)P(X+2Yu|X=2) 当 u1 时，F U(u)=0；当 1u2时，F U(u)=05 0(u1) 2 4e4x dx=12(1e 22u )；当 u2 时，F U(u)=05 0(u1)2 4e4x dx+05 0(u1)2 4e4x dx=12(1e 22u )+ (1e 42u )故 fU(u)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 E(T)=1P(X1
15、0)+20P(10X12) 5P(X12)=(10)+20(12)(10 )51(12)=25(12)21(10) 5109，所以当 109 时，销售一个零件的平均利润最大【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1e 2 ；P(U=0，V=1)=P(X1，X 2)=0；P(U=1，V=1)=P(X 1，X2)=P(X2)=1F(2)=e4 ；P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e
16、 2 e 2 (U，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 E(U)=e2 ，E(V)=e4 ，E(UV)=e 4 ，E(U 2)=e2 ，E(V 2)=e4 ，则 D(U)=E(U2)E(U)2=e2 e 4 ，D(V)=E(V 2)E(V) 2=e4 e 8 Cov(U ，V)=E(UV) E(U)E(V)=e4 e 6 ，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以 D(Y)= D(Xi)=n2，D(Z)= D(Xm+k)=n2【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 Cov(Y，Z)=Cov(X 1+
17、Xm)+(Xm+1+Xn)，X m1 +Xm+n=Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(nm) 2，【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 Xn+1N( ， 2)， N( ， 2n)，且它们相互独立，相互独立，所以由 t 分布的定义，有【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 ()=f(x 1)f(x2)f(xn)lnL()=nln+nlna+(a1)xia=0，得参数 的极大似然估计量为【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为FU(u)=P(Uu)=P(maXX1，X 2，X 3u)=P(X1u，X 2u，X 3u)=P(X1u)P(X2u)P(X3u)FV(u)=P(Vv)=P(minX1，X 2，X 3v)=1P(minX 1，X 2，X 3v)=1P(X 1v，X 2v，X 3v)=1P(X 1v)P(X 2v)P(X3v)=11P(X 1v)1P(X 2v)1P(X 3v)则 U，V 的密度函数分别为 fU(x)因为 E(43U)=4 3E(U)都是参数 的无偏估计量D(U)=E(U2)E(U) 2 D(V)=E(V2)E(V) 2【知识模块】 概率统计
