1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 19及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0或 P(B)=03.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面，A 2 =第二次出现正面，A
2、3 =两次中一次正面一次反面，A 4 =两次都出现正面，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立4.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (z)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=F X (2)F Y (z)C.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)5.设随机变量 XU1，
3、1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.0C.12D.16.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 P （分数：2.00）填空项 1:_8.随机向区域 D：0y （分数：2.00）填空项 1:_9.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次独立重复试验，当 p= 1时，成功次数的标准差最大，其
4、最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X与 Y的相关系数为 13，且 E(X)=0，E(Y)=1，E(X 2 )=4，E(Y 2 )=10，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单样本，其中参数 ， 未知，令 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总
5、题数：11，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_15.设事件 A，B 独立证明：事件 A， （分数：2.00）_16.设 X的密度函数为 f X (x)= (x+)，求 Y=1 （分数：2.00）_17.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，
6、试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).求 P(X2Y)；（分数：2.00）_(2).设 Z=X+Y，求 Z的概率密度函数（分数：2.00）_18.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，YN(0，12)，Z=|XY|，求 E(Z)，D(Z)（分数：2.00）_设随机变量 X的密度函数为 f(x)=12e |x| (x+)（分数：6.00）(1).求 E(X)，D(X)，（分数：2.00）_(2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关?（分数：2.00）_(3).问 X，|X|是
7、否相互独立?（分数：2.00）_19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=maxX，Y，求 E(Z)（分数：2.00）_20.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9， XY =12，用切比雪夫不等式估计P|X+Y3|10（分数：2.00）_21.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，令 T= （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 19答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
8、项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0或 P(B)=0 解析：解析：当 P(A)0，P(B)0 时，事件 A，B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定
9、相互独立，选(D)3.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面，A 2 =第二次出现正面，A 3 =两次中一次正面一次反面，A 4 =两次都出现正面，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：P(A 1 )=P(A 2 )=12，P(A 3 )=P(A， =12，P(A 4 )=14，P(A 1 A 2 )=14，P(A 1 A 3 )=P(A 1 )=14，P(A 2 A 3 )=P( 4.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的
10、分布函数为 F X (z)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=F X (2)F Y (z) C.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=P(maxX，Yz)=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X (z)F Y (z)，选(B)5.设随机变量 XU1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1 B.0C.12D.1解析：解析：当 P
11、Y=aX+b=1(a0)时， XY =1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =1因为arcsinx+arccox=2(1x1)，即 U+V=2 或 U=V+ 6.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 E(1n X i 2 )1=1n E(X i 2 )= 2 ，所以 1n 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
12、确答案：04）解析：解析：因为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06， 所以 P(AB)=02又因为 P( B)=P(B)P(AB)，P(A )=P(A)P(AB)， 所以 P(8.随机向区域 D：0y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：半圆的面积为 S=2a 2 ，落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 4 的区域记为 D 1 ，所求概率为 9.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次独立重复试验，当 p= 1时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
13、案：12）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，p)， D(X)=100p(1p)，标准差为10.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 +e 3 e 5 ）解析：解析：由 F X (x)=F(x，+)= 11.设随机变量 X与 Y的相关系数为 13，且 E(X)=0，E(Y)=1，E(X 2 )=4，E(Y 2 )=10，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：D(X)=E(X 2 )E(X) 2 =4，D(Y)=E(
14、Y 2 )E(Y) 2 =9， Cov(X，Y)= XY 12.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 2 (n1)，所以 13.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单样本，其中参数 ， 未知，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 未知的情况下，对参数 进行假设检验选用统计量三、解答题(总题数：11，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：甲、乙两人独立对同一
15、目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=击中目标，则 C=A+B， P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B) =06+050605=08)解析：(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =选中甲，A 2 =选中乙，B=目标被击中，则 P(A 1 )=P(A 2 )=12，P(B|A 1 )=06，P(B|A
16、2 )=05， P(A 1 |B) )解析：15.设事件 A，B 独立证明：事件 A， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)， 由 P(A )=P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B)=P(A)1P(B)=P(A)P( )，得 A， 独立，同理可证 ，B 独立； 由 P( )=1P(A+B)=1P(A)P(B)+P(AB) =1P(A)1P(B)=P( )解析：16.设 X的密度函数为 f X (x)= (x+)，求 Y=1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(1 y)=P(X(1y)
17、 3 ) =1P(X(1y) 3 ) f Y (y)=F Y (y) )解析：17.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 p 11 +p 21 =p 1 得 p 11 =124， 因为 X，Y 相互独立，所以 p 1 p 1 =p 11 ，于是 p 1 =14， 由 p 1 p 2 =p 12 得 p 2 =12，再由 p 12 +p 22 =p 2 得 p 22 =38， 由 p 11 +p 12 +p 13 =p 1 得 p 13 =112，
18、再由 p 1 p 3 =p 13 得 p 3 =13， 由 p 13 +p 23 =p 3 得 p 23 =14，再由 p 1 +p 2 =1得 p 2 =34)解析：设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).求 P(X2Y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX2Y= )解析：(2).设 Z=X+Y，求 Z的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy 当 z0 时，F Z (z)=0；当0z1 时，F Z (z)= 0 z dy 0 zy (2xy)dx=z 2 当
19、1z2 时，F Z (z)=1 z1 1 dy zy 1 (2xy)dx=1 当 z2 时，F Z (z)=1 )解析：18.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，YN(0，12)，Z=|XY|，求 E(Z)，D(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=XY，因为 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，YN(0，12)， 所以UN(0，1) u+ E(Z 2 )=E(U 2 )=D(U)+E(U) 2 =1 D(Z)=E(Z 2 )E(Z)2 =1 )解析：设随机变量 X的密度函数为 f(x)=12e |x| (x+)（分数：6.00）(1).求 E(X)，D(X
20、)，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)= + xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2 )E(X) 2 = + x 2 f(x)dx= 0 + x 2 e x dx=(3)=2)解析：(2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 Cov(X，|X|)=EX|X|E(X)E|X|=EX|X| = + x|x|f(x)dx=0， 所以 X，|X|不相关)解析：(3).问 X，|X|是否相互独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 a0，PXa，|X|a=P|X|a， 而 0P(Xa)1，所以PXa，|X
21、|aP|X|aP(Xa)， 故|X|，X 不相互独立)解析：19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=maxX，Y，求 E(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=maxX，Y=maxU，V+，由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 于是 E(Z)=EmaxU，V+ 而 EmaxU，V= + du + maxu，vf(u，v)dv 故 E(Z)=E(maxU，V)+= )解析：20.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4
22、，D(Y)=9， XY =12，用切比雪夫不等式估计P|X+Y3|10（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2(12)23=7， 于是 P|X+Y3|10=P|UE(U)|107100)解析：21.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的样本，令 T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以有 E(X 1 T)=E(X 2 T)=E(X n T) E(X 1 T)=1nE(X 1 +x 2 +X n )T=E( T)(n1)E( S 2 ) =(n1)E( )解析：
