1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (0 1)，数 F(3，4)满足PXF (3，4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（A）（B）（C） F(4， 3)（D）F 1-(4，3) 2 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，记 Y=a(X12X2)2+b(3X34X4)2，其中 a，b 为常数已知 Y 2(n)，则（A）n 必为 2（B） n 必为 4（C） n 为 1 或 2（D）n 为 2 或 43 设 X1，X
2、 2，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2 为样本均值和样本方差，则4 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=1 一(01)若已知 P|X|x=b(b0)，则 x 等于（A）t 1-b（B）（C） tb（D） 5 假设总体 X 的方差 DX 存在，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2 的矩估计量是6 设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 2 已知， 未知现从中随机抽取 n 个零件，测得样本均值 ，则当置信度为 090 时，判断 是否大于 0 的接受条件为7 已知正态总体 X
3、一 N(a， x2)和 YN(b， y2)相互独立，其中 4 个分布参数都未知设 X1，X 2，X m 和 Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，样本均值分别为 ，样本方差相应为 Sx2 和 Sy2，则检验假设 H0：ab 使用 t 检验的前提条件是（A） x2y2（B） Sx2Sy2（C） x2=y2（D）S x2=Sy2二、填空题8 设总体 XE()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n 的联合概率密度 f(x1，x 2， ，x n)=_9 设总体 XP()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n 的样本均值的概率分布为_10 已知 2
4、 2(n)，则 E(2)=_11 已知 X1，X 2，X 3 相互独立且服从 N(0， 2)，则 服从的分布及参数为_.12 设总体 X 的密度函数 f(x)= 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 ES2=_13 假设 X1，X 2，X 16 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本 为其均值，S为其标准差，如果 =095，则参数 a=_(t 0.05(15)=17531)14 设 X1，X 2，X 9 是来自总体 XN( ，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足 =095 的常数 =_(196)=0975)15 设 XN(， 2)，其中 和 2(0)均为未知参数从总
5、体 X 中抽取样本X1，X 2，X n，样本均值为 则未知参数 和 2 的矩估计量分别为16 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为则 的最大似然估计量 =_17 已知总体 X 的概率密度只有两种可能，设对 X 进行一次观测，得样本 X1，规定当 时拒绝 H0，否则就接受 H0，则此检验犯第一、二类错误的概率 和 分别为_18 已知总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1,，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 是 的无偏估计，则a=_19 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的简单
6、随机样本，当 2 未知时 为 2 无偏估计，则C=_， DY=_20 已知总体 X 服从参数为 p(0p1)的几何分布： PX=x=(1 一 p)x-1p(x=1，2，)，X 1,，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的矩估计量为_；最大似然估计量为_21 设总体 X 的概率密度为 其中 0 1 是未知参数，c 是常数 X1，X 2， ，X N 为来自总体 X 的简单随机样本，则 c=_；的矩估计量 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为 2，标准差是 13，计算在
7、 100 次轰炸中有 180 颗到 220 颗炸弹命中目标的概率23 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50 克，标准差为 5 克求：(I)100 个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；()每箱螺丝钉装有 500 袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率24 设 X1，X 2，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 和 S2，记 试求：E(T) 与 E(T2)的值25 已知总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX=2，X 1，X 2，X 2n 是来自总体 X容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 求 EY26 (I)设 X
8、与 Y 相互独立，且 XN(5，15)，Y 2(5)，求概率 PX 一 5 ；()设总体 XN(25，6 2)，X 1，X 2，X 3，X 4，X 5 是来自 X 的简单随机样本，求概率 P(13 35)(63S 296) 27 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=4,试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n：28 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 服从参数为(0) 的指数分布 (I)试求总体 X 的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量；()检验所得估计是否为无偏估计29 设 X1，X 2，X n 是来自总体
9、 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为试求 的矩估计量和最大似然估计量30 设总体 XN(0， 2)，参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n 1) ，令估计量31 已知 x1，x 2，x 10 是取自正态总体 N(，1)的 10 个观测值，统计假设为 H0：= 0=0；H 1：0 (I) 如果检验的显著性水平 =005，且拒绝域 R=，求 k 的值；()若已知 ，是否可以据此样本推断 =0(=005)?()若 H0：=0 的拒绝域为 R= ，求检验的显著性水平 考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
10、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 PXx=1 一 可知，PX x=，即 x=F(3，4)又由 F1-(n1，n 2)= 故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 依题意 XiN(0 ，2 2)且相互独立，所以 X1 一 2X2N(0，20)，3X 34X4N(0 ，100)， 且它们相互独立由2 分布的典型模式及性质知 由上可知，n=1 或 2，即应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 显然，(n 一 1)S2 服从自由度为 n 一 1 的 2 分布，故应选(D)其余选项不成立是明显的：对于服从
11、标准正态分布的总体，由于 X1，X 2，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 服从自由度为 n 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布的对称性及 b0，可知 x0从而 PXx=1 一PXx= 根据题设定义 PXt=1 一 ，可知应选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 本题假设检验的假设应为 H0： 0； H 1： 0因此选(C)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 应该选(C) 因为 t 检验使用统计量 其中 Sxy2 是两
12、个总体的联合样本方差： 只有当选项(C)即 x2=y2 成立时才能导出统计量 t 的抽样分布t 分布，并且根据 t 分布来构造 t 检验【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率密度 f(x)= 由于 X1，X 2，X n 相互独立，且与总体 X 服从同一指数分布，因此【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由泊松分布的可加性可知，当 X1， X2 独立时，X 1+X2 一 P(2)，继而有 X1，X 2，X n 独立同为 P()分布时， 于是，对任意n2， 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 n【试
13、题解析】 由 2 分布的典型模式 2=X12+X22+Xn2=而 XiN(0 ，1)，且 Xi 相互独立，由于 E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2=1+0=1，所以【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 记 Y1=X2+X3，Y 2=X2 一 X3，则 Y1N(0 ，2 2)，Y 2N(0，2 2)由于 Cov(Y 1，Y 2)=E(Y1Y2)一 E(Y1)E(Y2)=E(X2+X3)(X2 一 X3) =E(X22)一 E(X32)=2一 2=0，所以 Y1 与 Y2 相互独立，且与 X1 独立又由 X1+X2+X3=X1+Y1N(0，3 2)，且 X1+X2+X
14、3 与 X2 一 X3 相互独立，于是按 t 分布定义有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 a=一 04383【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 13067【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 ,B2【试题解析】 由于待估计参数有 2 个：， 2，故考虑一阶、二阶矩由于 E(X)=， E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2，【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 由检验的两类错误概率 和 的意义，知【知识模
15、块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 通过 EY=2 求得 C，为此需先求得 X2iX2i-1 分布由于XiN(， 2)，且相互独立，故 X2iX2i-1 一 1N(0，2 2)，E(X 2iX2i-1)2=D(X2iX2i-1)+E(X2iX2i-1)2=22【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 由几何分布的期望公式即得 则由上式解得 p 的矩估计量 又样本 X1，X n 的似然函数【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
16、或演算步骤。22 【正确答案】 设第 i 次轰炸中命中目标的炸弹数为 Xi，100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为 X，则 X=X1+X100，且 X1，X 100 相互独立同分布EX i=2，DX i=13 2，EX=200，DX=169 应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(200，169)，则有2(154)一1=0876 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (I)假设 Xi 表示袋中第 i 颗螺丝钉的重量，i=1，100，则X1，X 100 相互独立同分布，EX i=50，DX i=52记一袋螺丝钉的重量为 S100，则应用列维一林德伯格中心极限定理可知 S1
17、00 近似服从正态分布 N(5000，50 2)，且=1 一 (2)=002275 ()设 500 袋中重量超过 51 千克的袋数为 Y，则 Y 服从参数n=500， p=0 02275 的二项分布 EY=11375，DY=11116应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知 Y 近似服从参数 =11375， 2=11116 的正态分布，于是【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由正态总体的性质知， 与 S2 相互独立；由样本数字特征的性质知， =E(X)=0， ，E(S 2)=D(X)=1；由正态总体的样本方差的分布知，(n 一 1)S2 2(n 一 1)；由 2 分布的性质知，D
18、2(n 一 1)=2(n 一 1)，从而 D(n1)S2=(n 一 1)2D(S2)=2(n 一 1)，即 于是【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于总体分布未知，我们只好将 Y 化简，应用数字特征性质计算EY由于【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 于是所求概率为 p=03 179005=00159【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 (I)由题设知，总体 X 的概率密度为而 进行矩估计和最大似然估计首先求矩估计量 只有一个参数，用总体矩等于样本矩来解总体一阶矩为 E(X)，样本一阶矩 再求最大似然估计
19、量 ;似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (I)由于 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2(n)，则 DY=2n【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (I)对于 H0：= 0=0；H 1：0 ，当 H0 成立时，检验统计量N(0，1)根据 =005，所以 =196，即 P|U|196=005 该检验的拒绝域为()由(I)知拒绝域 ，因此应拒绝 H0，即不能据此样本推断 =0 ()显著性水平 是在 H0 成立时，拒绝 H0 的概率，即 =P(x1，x 2，x 10)R|H0 成立=P(x 1，x 2，x 10)R|=0【知识模块】 概率论与数理统计
