1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对任意两个事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（A）AB=（B）（C） P(A)P(B)=0 （D）P(AB)=P(A)2 设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f1(x)，f 2(x)，它们的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数（B） f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数（C） F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)为某一随机变量
2、的分布函数3 设 X，Y 相互独立且都服从分布 N(0，4)，则( )4 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(XC) 2=E(X 一 )2（B） E(XC)2E(X 一 )2（C） E(XC)2=E(X2)一 C2（D）E(XC) 2E(X 一 )25 设 Xt(2)，则 服从的分布为( ) （A） 2(2)（B） F(1，2)（C） F(2，1)（D） 2(4)6 在假设检验中，H 0 为原假设，下列选项中犯第一类错误 (弃真)的是( )（A）H 0 为假，接受 H0（B） H0 为真，拒绝 H0（C） H0 为假，拒绝 H0（D）H 0 为真
3、，接受 H0二、填空题7 设 A，B 为两个随机事件，则=_8 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则=_9 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=_10 设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X2)=_11 设常数 a0，1 ，随机变量 XU0，1，Y= Xa，则 E(XY)=_12 若总体 XN(0，3 2)，X 1，X 2，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= Xi2 服从_分布，其自由度为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤。13 甲乙丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为3，5，8，求任取一件产品是次品的概率14 设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布14 设 Xf(x)= 15 求 F(x)；16 求 P(一 2X )16 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y) 的联合分布律：17 第一次抽取后放回；18 第一次抽取后不放回18 设(X，Y)的联合密度函
5、数为 f(x，y)=19 求 a；20 求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；21 求 fXY (x y)22 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布23 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，对 x 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)24 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差25 设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1 ，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随
6、机样本，令 ，问 n 多大时才能使 ？26 设总体 XN(，25)，X 1，X 2，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率27 设总体 X 的密度函数为 f(x，)= (一 x+)，求参数 的矩估计量和最大似然估计量27 设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中未知参数 0，设X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单样本28 求 的最大似然估计量；29 该估计量是否是无偏估计量?说明理由考研数学一（概率统计）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因
7、为 P(AB)=P(A)一 P(AB)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足： (1)0F(x)1； (2)F(x)单调不减； (3)F(x)右连续； (4)F(一)=0，F( )=1，显然选择(D)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0， 4)分布，所以 XYN(0 ，8)，从而 P(X+Y0)= ，P(X Y0)= ，故(C)
8、 、(D)都不对；Pmax(X，Y)0=1 Pmax(X ，Y)0=1 一 P(X0，Y0)=1P(X0)P(Y0)，因为 XN(0，4)，YN(0 ，4) ，所以 P(X0)=P(Y0)= ，从而有 Pmax(X，Y) 0= ，(A) 不对；Pmin(X，Y)0=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)= ，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 E(XC) 2E(X 一 )2=E(X2)一 2CE(X)+C2一E(X 2)一 2E(X)+2=C2+2E(X)E(X)一 C一E(X) 2=CE(X)20，选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 因
9、为 Xt(2)，所以存在 UN(0 ，1)，V 2(2)，且 U，V 相互独立，使得 X= ，因为 V 2(2)，U 2 2(1)且 ，U 2 相互独立，所以F(2， 1)，选(C) 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得，于是 E(X2)=D(X)+E(X)2= ，而 E(X 一 1)(X+2)=E(X2)+E(X)一 2= 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【
10、试题解析】 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X ，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 39【试题解析】 XB(12，05)，E(X)=6，D(X)=3，E(X 2)=D(X)+E(X)2=3+36=39【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 E(XY)=EXX 一 a= 01xx 一 af(x)dx= 01xxadx=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 Y= 2(9)，自由度为 9；【试题解析】 因为
11、 XiN(0，3 2)(i=1，2，9)，所以 N(0，1)(i=1，2，9)且相互独立故 Y= 2(9)，自由度为 9【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 A1=抽取到甲厂产品 ，A 2=抽取到乙厂产品，A 3=抽取到丙厂产品 ， B=抽取到次品，P(A 1)=06，P(A 2)=025，P(A 3)=015 ，P(BA 1)=003 ，P(B A 2)=005，P(BA 3)=008，由全概率公式得P(B)= P(Ai)P(BA i)=060 03+0250 05+015008=425【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 X i
12、= (i=1，2，3)，则 X 的可能取值为0，1，2，3P(X=0)=P(X 1=1)= ，P(X=1)=P(X 1=0，X 2=1)= ，P(X=2)=P(X1=0，X 2=0，X 3=1)= ，P(X=3)=P(X 1=0，X 2=0，X 3=0)= ，所以 X 的分布律为 X 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 F(x)=P Xx= xf(t)dt当 x一 1 时，F(x)=0；当一 1x0时，F(x)= 1 x(1t)dt= ；当 0x1 时，F(x)= 1 0(1+t)dt+0x(1 一 t)dt=；当 x1 时，F(x)=1 【知识模块】 概率统计16
13、 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 (X，Y) 的可能取值为(00) ，(1，0)，(0 1)，(1，1)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 由 dx f(x，y)dy=a 0 xdxx ey dy=a0 xex dx=1，得a=1【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时， fX(X)= f(x，y)dy=x xey dy=xex 于是 fX(x)= 当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，fY(y)= f(x，y)dx= 0yx
14、ey dx= y2ey 于是 fY(y)= 因为f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 f XY (x y)=【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 XE()，所以 E(X)= =5，从而 = ，根据题意有Y=minX，2当 y0 时F(y)=0 ；当 y2 时，F(y)=1；当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=P(minX，2y)=P(Xy)=1 一 ，故 Y 服从的分布为 F(y)=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 P=P(X3)=1 一 P(X3)，因为 X，从而 p=1F X(3)=
15、e1 ，由 E(Y)=4e1 ，D(Y)=4e 1 (1 一 e1 )，得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e1 一4e2 +16e2 =4e1 +12e2 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=XY，X，Y 的边缘密度为因为 X，Y 独立，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 于是 E(U)=EX Y= dx xyf(x ，y)dy=E(U 2)=EXY2= dx xy 2f(x，y)dy= ，则 D(U)=E(U2)一E(U) 2= 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 ，由切比雪夫
16、不等式得，即 n16【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 ，总体均值为 E(X)=，则=(3)一 (一 3)=2(3)1=09973【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 显然 E(X)=0，E(X 2)= x2f(x， )dx=22，由 E(X2)=A2= ，得 的矩估计量为 ，L(x 1，x 2，x n，)=，则 lnL(x1，x 2，x n，)=nln(2)一 x i，由lnL(x1，x 2，x n，)= x i=0，得 的最大似然估计值为x i，则参数 的最大似然估计量为 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本值，似然函数为 L()=，当 xi0(i=1，2，n) 时，lnL()= 一nln =0，得 的最大似然估计值为，因此 的最大似然估计量为 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 由于 E(Xi)=E(X)，而 E(X)=，所以为参数 的无偏估计量【知识模块】 概率统计
