1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(A)1，0P(B)1，且 P(AB) =1，则下列结论正确的是( )（A）事件 A，B 互斥（B）事件 A，B 独立（C）事件 A，B 不独立（D）事件 A，B 对立2 设 XN(，4 2)，YN(，5 2)，令 p=P(X 一 4)，q=P(Y+5)，则( )（A）pq（B） pq（C） p=q（D）p，q 的大小由 的取值确定3 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(X+Y1)等于( )（A）1 一（B） 1e（C） e（D）2e4 若
2、 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)5 总体 XN，(，5 2)，则总体参数 的置信度为 1 一 的置信区间的长度( )（A）与 无关（B）随 的增加而增加（C）随 的增大而减少（D）与 有关但与 的增减性无关二、填空题6 设事件 A，B 相互独立，P(A)=0 3，且 P(A+ )=07，则 P(B)=_7 设口袋中有 10 只红球和 15 只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为_8 设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)=
3、 ，则 P(Y1)=_9 设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X2，则 Y 的密度函数为_10 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 ，设 X 表示途中遇到红灯的次数，则E(X)=_11 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)=_， D(Y)=_12 设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY= ，则E(X 一 2Y+3)2=_13 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 P 一 2_14
4、设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)=_15 设 X 为总体，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX=2，令 S02= ，则 E(S02)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 一个盒子中 5 个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2 个红球和 2 个白球的概率。16 一次性抽取 4 个球；17 逐个抽取，取后无放回；18 逐个抽取，取后放回18 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 19 求常数 A；20 求 X 在(0 ， )内的概率；21 求 X 的分布函数 F(x
5、)22 设 XN(0，1) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数23 设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度23 设 X 在区间一 2，2 上服从均匀分布，令 Y=求：24 Y，Z 的联合分布律；25 D(Y+Z)26 设 Xf(x)= ，对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)26 设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 Xi= (i=1，2，3)27 求(
6、X 1，X 2)的联合分布；28 求 X1，X 2 的相关系数29 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 U=所服从的分布30 设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= ，其中 0为未知参数，又设(x 1，x 2，x n)是样本(X 1，X 2，X n)的观察值，求参数 的最大似然估计值考研数学一（概率统计）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(AB)+，则事件 A，B 是独立的，正确答案为(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解
7、析】 由 p=P(X4)=P(X 4)=P( 一 1)=(一 1)=1(1) ，q=P(Y5)=P(Y 一 5)= =1 一 (1)，得p=q，选(C)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由 XU(0，2)，YE(1) 得 fX(x)= ，f Y(y)=，再由 X，Y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)=【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案
8、为(D)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 总体方差已知，参数 的置信度为 1 一 的置信区间为，其中 n 为样本容量，长度为 ，因为 越小，则越大，所以置信区间的长度随 增大而减少，选 (C)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 ，因为 A，B 相互独立，所以 A， 相互独立，故，即07=0 3+ 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 设 A1=第一次取红球，A 2=第一次取白球，B=第二次取红球，则 P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)= 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】
9、 【试题解析】 由 P(X1)= =1P(X=0)=1 一(1 一 p)2 得 p= ，P(Y1)=1 一(1 一p)3= 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 f Y(y)=【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(9X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；所以随机变量 y 的密度函数为 fY(y)= 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 显然 X 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 E(Y)=5，D(Y)=32 ；【试题解析】 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=32【知识模块】 概率统计
10、12 【正确答案】 25【试题解析】 E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(Y)+3=2，D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)，由 Cov(X，Y)= 31=一2，得 D(X 一 2Y+3)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)=9+4+821，于是 E(X 一 2Y+3)2=D(X 一 2Y+3)+E(X 一 2Y+3)2=21+4=25【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立分布于 N(，2 2)，所以，从而 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 4【试题解析】 因为 2(n
11、 一 1)，所以 2(9)，故 D(S2)= 4【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 2【试题解析】 E(S 02)= 2【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 设 A1=一次性抽取 4 个球，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A1)=【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 设 A2=逐个抽取 4 个球，取后不放回，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A2)= 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 设 A3=逐个抽取 4 个球，取后放回，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A3)= 【知识模块】 概率统
12、计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 f(x)dx=1，所以 1= 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 F(x)=P Xx= xf(t)dt，当 x 时，F(x)=0；当(1sinx)；当 x 时，F(x)=1，于是 X 的分布函数为 F(x)=【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 f X(x)= ，一 x+F Y(y)=P(Yy)=P(X2y)当 y0时，F Y(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=因此 fY(y)=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，
13、由已知条件得 X，Y 的密度为 fX(x)=当 t0 时，F T(t)=0；当 t0 时，F T(t)=P(X+Yt)= fX(x)f Y(y)dxdy=250te5x dx0tx e5y dy =50te5x 1 一 e5(tx) dx=50t(e5x 一 e5t )dx=(1 一 e5t )一 5te5t T 的密度函数为 f(t)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 X 在区间2，2上从均匀分布，所以 fX(x)=(Y，Z)的可能取值为( 一 1，一 1)，(一 1，1) ，(1，一 1)，(1，1)P(Y=一 1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=
14、P(X一 1)=2 1 ；P(Y=一 l，Z=1)=P(X 一 1，X 1)=0；P(Y=1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=P(一 1X1)=1 1 ；P(Y=1，Z=1)=P(X 一 1，X1)=P(X1)= 12 ；(Y，Z)的联合分布律为【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 由 Y+Z ，得 E(Y+Z)=一 2=0，E(Y+Z) 2=(一 2)2 =2，则D(Y+Z)=2【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 YB(4，p)，其中p= ，E(Y 2)=D(Y)+E(Y)2=5【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (X 1，X 2)的可能取值为(0，
15、0) ，(0 ，1)，(1 ，0)，(1，1)P(X 1=0，X 2=0)=P(X3=1)=01，P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)=01， P(X1=1，X= 2=0)=P(X1=1)=08，P(X 1=1， X2=1)=0(X 1，X 2)的联合分布律为【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 X 1 ，X 2 ，X 1X2 ，E(X 1)=E(X12)=08，E(X 2)=E(X22)=01，E(X 1X2)=0，则 D(X1)=016，D(X 2)=009 ，Cov(X 1，X 2)=一 008，于是 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 因为 X1，X 2，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以( 1)iXi N(0，10 2)，于是 N(0，1)，又因为X11，X 12，X 20 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 N(0 ，1)(i=11，12，20)，于是 Xi2 2(10)，又【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 参数 的似然函数为 L()=当 xi(i=1，2，n)时，lnL()=nln22 (xi 一 )，因为 lnL()=2n0，所以 lnL()随 的增加而增加，因为 xi(i=1，2，n)所以参数 的最大似然估计值为 =minx1，x 2，x n【知识模块】 概率统计
