1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y 则（A）Y 2(n)（B） Y 2(n1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)2 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(01) 的简单随机样本，X 为样本均值，S2 为样本方差，则（A）n N(0，1)（B） nS2 2(n)（C） t(n1)（D） F(1，n1)3 设随机变量 Xt(n) ，Y F(1n)，给定 (0 05)常数 c 满足 PXc则 PYc 2（A）（B） 1（C） 2（D）124 设 X1
2、，X 2，X n(n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是（A） (Xi) 2 服从 2 分布（B） 2(XnX 1)2 服从 2 分布（C） 服从 2 分布（D）n( ) 2 服从 2 分布5 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)， 1， 2， n 是来自总体 X 的简单随机样本，据此样本检验假设：H 0： 0，H 1： 0，则（A）如果在检验水平 005 下拒绝 H0，那么在检验水平 001 下必拒绝H0（B）如果在检验水平 005 下拒绝 H0，那么在检验水平 001 下必接受H0（C）如果在检验水平 005 下接受 H0，那么在检验水平 001 下必拒
3、绝H0（D）如果在检验水平 005 下接受 H0，那么在检验水平 001 下必接受H0二、填空题6 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2_7 已知一批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是_(注：标准正态分布函数值 (196) 0975，(1 645) 095)8 设 X1，X 2，X m 为来自二项分布总体 B(n，p) 的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差若 kS 2 为 np2 的无偏估计量，则 k_9 设总体 X 的概率密度
4、为 其中 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本若 c Xi2 是 2 的无偏估计，则c_10 设 1， 2， n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本，样本均值 95，参数 的置信度为 095 的双侧置信区间的置信上限为 108，则 的置信度为095 的双侧置信区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 从正态总体 N(34，6 2)中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14， 54)内的概率不小于 095，问样本容量 n 至少应取多大? 附表：12 设总体 XN(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n
5、(n2)，其样本均值 求统计量 Y (Xi+iX 2)2 的数学期望 E(Y)13 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本，X 为样本均值，记 YiX i ，i1，2，n 求：()Y i 的方差 DYi，i 1，2，n； ()Y1 与 Yn 的协方差 Coy(Y1，Y 2)14 设总体 X 的概率密度为 其中 1 是未知参数X 1，X 2，X n，是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量15 设总体 X 的概率密度为 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本 (1)求 的矩估计量 ； (2)求 D(
6、 )16 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 其中 0 为未知参数又设 1， 2， n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值17 设总体 X 的概率分别为 其中(0 )是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值18 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记min(X 1，X 2，X n) (1) 求总体 X 的分布函数 F()； (2) 求统计量 的分布函数 ()； (3)如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性19 设总体 X 的分布函数为： 其中未
7、知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： () 的矩估计量； () 的最大似然估计量20 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) X 1，X 2， Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值1， 2， n 中小于 1 的个数求 的最大似然估计21 设总体 X 的概率密度为 其中参数0(00 1) 未知， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值 ( )求参数 的矩估汁量 ； ( )判断 4 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由22 设总体 X 的概率密度为 其中参数 A(A0)未知，X1，X 2，X n 是来自总体
8、 X 的简单随机样本 ()求参数 A 的矩估计量； ()求参数 的最大似然估计量23 设总体 X 的概率分布为 其中参数(0，1) 未知以 Ni 表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i1，2，3) 试求常数 a1，a 2，a 3，使 T aiNi，为 的无偏估计量，并求丁的方差24 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中是未知参数凡 0记 ZXY ( )求 Z 的概率密度 f(z， 2)； ()设Z1，Z 2，Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 ； ()证明 为 2 的无偏估计量2
9、5 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()求 的矩估汁量； ()求 的最大似然估计量26 设总体 X 的分布函数为 其中 是未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()求 EX 与 EX2； ()求 的最大似然估计量 ； ( )是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 a0?27 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本 ()求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量28 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，)为未知参数，X 1，X 2，X
10、 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令 TmaxX 1，X 2，X 3 ()求 T 的概率密度； ()确定 a，使得 aT 为 的无偏估计29 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程 附表：t 分布表Pt(n)tp(n)p考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 Xt(n)，得 X2F(1，n)，故 Y
11、 F(n，1)，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，X 2 与 Y 同分布，即X与 同分布，且由 0 05，可见 c0，故 P(Yc 2)P( c) P(Xc) P(Xc)P(Xc)2【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，X nX 1N(0 ，2)，所以 N(0 ，1) 得 (XnX 1)2(1)，可见选项 B 结论“不正确”，就选 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 切比雪夫不等
12、式为：PXE(X) 2 故PXE(X)2 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 (3951，4049)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【试题解析】 设总体为 X，则知 XB(n，p)，EXnp，DXnp(1p) E np，ES 2np(1 p) 由题意得 np2E( kS 2)E kES2npknp(1p) 故得 k1【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由题意得： 2 ncE(X 12) nc 2f(；)d 故 c 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 (82，108)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、
13、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设总体为 X，样本均值为 由题意 XN(3436)，由题意，应有：P1 4 54095 (*)由(*)得：2( )1005 ( )0975，查表得 196，n(3196)2345744 可见，n 至少应取 35【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 若记 YiX iX n+i，i1，2，n 则知 Y1，Y n 独立同分布有 EYiEX iEX n+i2 DY iDX iDX n+i 2 22 2， Y iN(2，2 2)，i1，2，n 而均值 由正态总体(这里看成 YN(2，2 2)为总体，Y 1，Y n 为样本)的结论可知故 EY2(n1)
14、2【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 ()Cov(Y 1， Yn)Cov(X 1 ，X n )Cov(X 1，X n)Cov(X 1， )Cov( ，X n)十 D( )【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 矩估计： EX f()d 01(1) 1 d令 ，解得 再求最大似然估计，似然函数 L(1， n；)为当 0 1， n1 时，inLnln( 1)ln( 1 n) ln( 1 n) 令 0，解得 01由于 0，lnL 在 0 处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知 lnL(或 L)在 0 处取得最大值 故知 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计15
15、【正确答案】 (1) EX f()d ，故 为 的矩估计 (2)又 EX2 2f()d 02 ()d DXEX 2(EX) 2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 似然函数 L(1， n；)为当 i0 时，lnLnln22 i2n 2n0，可见 lnL(或 L)关于 单调增欲使 lnL(L)达最大，则应在 i 限制下让 取得最大值，这里应为 i 故 的最大似然估计值为 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 先求矩估计 E(X)0 212(1) 2 23(12)34 由题目所给的样本值算得 (31303123)2 代入得 又求最大似然估计，本题中 n8，样本值 1， 8
16、由题目所给，故似然函数为 L() PX iPX 0P(X1) 2P(X2)P(X 3)4 2.2(1) 2.2.(12)44 6(1) 2(12) 4 lnL()ln46ln2ln(1 0)4ln(1 2)令 lnL()0，得24228060， 解得 ，而 不合题意，舍去， 故得 的最大似然估计值为 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)F() f(t)dt 当 0 时，F()0； 当 时，F() 2e2(t) dt1e 2() 故 F() (2) ()P Pmin(X 1，X n) 1Pmin(X 1，X n) 1PX 1 ，X 2，X n 1PX 1 PX2PX n 11
17、 F() n(3)的概率密度为： 所以【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 总体 X 的概率密度为： f(；)F (；) ()EX f(；)d 1 d 故 解得 的矩估计为：() 似然函数为当 1， n1 时， lnLnln ( 1)ln( 1 n) ln( 1 n)， 令0，解得 ，故 的最大似然估计为： 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 似然函数而由题意，1， 2， n 中有 N 个的值在区间(0，1)内，故知 L N(1) n-N lnLNln(nN)ln(1 ) 令 0，得 故知 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 ()EX
18、f(；)d， 得 ，故 的矩估计量为 由DX0，0，可知 E4( )2 2，有 E4( )22，即 4( )2 不是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 由 EX f()d 0 22e d ，得为 的矩估计 ()似然函数为当1， 2， n0 时， lnL2nlnln( 1 n) i ， 令0 得 故 为 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 记 p11，p 2 2，p 3 2，则可知 N iB(n，p i)，ENinp i，i1，2，3 且 DN1np 1(1p 1)n(1 ) 于是 ETna 1(a 2a 1)(a 3a 2)2 为使
19、 T 为 的无偏估计量，即要求 (0，1)时有 ET 即 na1(a 2a 1)(a 3a 2)2 比较系数即得：故 a10，a 2a 3 又由 N1N 2N 3n，得：【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () X 与 Y 独立，可见 ZXY 服从正态分布，而EZE(XY)EX EY 0， DZD(XY) DXDY 22 23 2 ZN(0 ，3 2) 故 f(z； 2) ，z ()似然函数为令 0，得 2 ，故 ()由EZ0，DZ3 2，E(Z 2)DZ (EZ) 23 2 故 为 2 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 矩估计：EX 做代换：t ，得
20、EX 0 et dt， ，得 最大似然估计：似然函数为当 i0，i 1，n 时 lnL2nln3ln( 1 n)令 0，得 故 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()X 的概率密度为所以 EX f(；)d E(X)2 2f(；)d ()似然函数当 1， n0时，nln2nlnln( 1 n) ， 令 0，解得 ， 故 ()由 E(X2) 及辛钦大数定律知 n时，故知：取 a ，则有 0，均有 a 0【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()E(X) f(；)d ，故 的矩估计为 1 ()似然函数为可见， 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统
21、计28 【正确答案】 () 先求总体 X 的分布函数 F() f(t；)dt 0 时，F()0； 时，F() 1； 0 时，F() 所以，F()再求 T 的分布函数 FT(t) FT(t)P(Tt) Pmax(X 1，X 2，X 3)tPX 1t，X 2t，X 3tPX 1t3于是，T 的概率密度为()由题意，E(T)ET tfT(t)dt 可见 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设这次考试全体考生的成绩为总体 X，抽的 36 位考生的成绩为简单随机样本值 1， n，而 和 y2 分别为样本均值和样本方差由题意，可设XN(， 2)， 2 未知 现要检验 H0：70，(H 1：70) (005) 拒绝域为：由已知： 665，n36，s15，005， (n1) t0975 (35)20301，代入得： 703 而507525 ，故接受 H0，即认为这次考试全体考生的平均成绩(即 )与 70 分没有显著差异(在显著水平 005 下)【知识模块】 概率论与数理统计
