1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (12 年 )将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为2 (14 年 )设连续型随机变量 X1 与 X2 相互独立且方差均存在，X 1 与 X2 的概率密度分别为 f1(x)与 f2(x)，随机变量 Y1 的概率密度为 ，随机变量 Y2= 则（A）EY 1EY 2，DY 1 DY2（B） EY1=EY2，DY 1=DY2（C） EY1=EY2，DY 1DY 2（D）EY 1=EY2，DY 1DY 23 (15 年 )设随机变量 X， Y 不相关
2、，且 EX=2，EY=1，DX=3，则 EX(X+Y 一 2)=（A）一 3（B） 3（C）一 5（D）54 (16 年 )随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1，A 2，A 3，且三种结果发生的概率均为 ，将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，Y表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数为5 (03 年 )设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= ,则（A）Y 2(n)（B） Y 2(n 一 1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)6 (05 年 )设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 1)的简单随机样本
3、， 为样本均值，S 2 为样本方差，则7 (13 年 )设随机变量 Xt(n)，YF(1 ，n) ，给定 a(005)，常数 c 满足PXc)= ，则 PYc 2=（A）（B） 1 一 （C） 2（D）12二、填空题8 (15 年 )设二维随机变量(X，Y) 服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY 一Y0=_9 (01 年 )设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2_10 (03 年) 已知一批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 cm，则 的置信度为 095 的置信区间是
4、_(注：标准正态分布函数值 (196)=0975，(1645)=095)11 (09 年) 设 X1，X 2，X m 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本，X 和S2 分别为样本均值和样本方差若 为 np2 的无偏估计量，则 k=_12 (14 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本若 是 2 的无偏估计，则 c=_13 (16 年) 设 x1，x 2，x n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本，样本均值=9 5，参数 的置信度为 095 的双侧置信区间的置信上限为 108，则 的置信度为 095 的双侧置信区间为
5、_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (11 年) 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为且 PX2=Y2=1 (I)求二维随机变量(X ， Y)的概率分布； () 求 Z=XY 的概率分布； ()求 X 与 Y 的相关系数XY15 (14 年) 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= 在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2) (I)求 Y 的分布函数 FY(y)； ()求EY16 (15 年) 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数(I)
6、求 Y 的概率分布；()求 EY17 (98 年) 从正态总体 N(34，6 2)中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1 4，54) 内的概率不小于 095，问样本容量 n 至少应取多大?18 (01 年) 设总体 XN(， 2)(0) ，从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值的数学期望 E(Y)19 (05 年) 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- ，i=1，2，n 求：(I)Y i 的方差 DYi，i=1 ，2，n； ()Y 1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y 2)20
7、 (97 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 一 1 是未知参数X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量21 (99 年) 设总体 X 的概率密度为X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(1)求 的矩估计量 (2)求22 (00 年) 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 其中 0 为未知参数又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值23 (02 年) 设总体 X 的概率分别为其中 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2， 3 求 的矩估
8、计值和最大似然估计值24 (04 年) 设总体 X 的分布函数为： 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： (I)的矩估计量； () 的最大似然估计量25 (06 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(0 1) X1，X 2， ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数求 的最大似然估计26 (09 年) 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (0)未知，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本 (I)求参数 的矩估计量； ()求参数 的最大似然估计量27 (13 年) 设总体
9、 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本(I)求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量28 (15 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本 (I)求 的矩估计量； ()求的最大似然估计量29 (16 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，+)为未知参数，X 1，X 2，X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令 T=maxX1，X 2，X 3 (I)求 T 的概率密度； ()确定 a，使得 aT 为 的无偏估计30 (98 年) 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机
10、地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程 附表：t 分布表 Pt(n)tp(n)=p考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设这两段的长度分别为 X 和 Y(是随机变量)，则 X+Y=1 即 Y=1 一X DY=D(1 一 X)=DX Cov(X，Y)=Coy(X，1 一 X)=-Cov(X，X)=-DX 故(X，Y)的相关系数为【知识模块】 概率论与
11、数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 (3951，4049)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 一 1【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【
12、正确答案】 (82，108)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (I)由 P(X2=Y2)=1，可得：P(X=0，Y=-1)=P(X=1，Y=0)=P(X=0，Y=1)=0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X ，Y)的联合(含边缘)分布列如表所示 ()由(X ， Y)的联合分布列易知 Z=XY 可能取的值为一 1，0，1，易得：()由(X，Y) 的分布( 及 X，Y 的分布)，易知：【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (I)F Y(y)=P(Yy)=P(Yy | X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(
13、X=2)由题意可得：()由(I)得 Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (I)P(X3)= 3+f(x)dx=3+2-xln2dx=一 2-x|3+=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 可见，n 至少应取 35【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 若记 Yi=Xi+Xn+i，i=1 ，2，n 则知 Y1，Y n 独立同分布有 EYi=EXi+EXn+i=2 DYi=DXi+DXn+i=2+2=22，Y iN(2，2【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (I) ()【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 矩估计：再求最
14、大似然估计，似然函数 L(x1，x n； )为 当0x 1，x n1 时， lnL=nln(+1) 一 ln(x1xn)由于0lnL 在 0 处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知lnL(或 L)在 =0 处取得最大值故知 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 似然函数 L(x1，x n；)为 =2n0，可见 lnL(或 L)关于 单调增欲使 lnL(或 L)达最大，则应在 限制下让 取得最大值，这里应为 故 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 先求矩估计 E(X)=0 2+12(
15、1一 )+22+3(12)=34由题目所给的样本值算得又求最大似然估计，本题中 n=8，样本值 x1，x 8 由题目所给，故似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 总体 X 的概率密度为：()似然函数为 当x1，x n1 时， lnL=nln 一(+1)ln(x 1xn)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 似然函数而由题意，x1，x 2，x n 中有 N 个的值在区间(0，1)内，故知 L=N(1 一 )n-N lnL=Nln+(n一 N)ln(1 一 ) 故知 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计2
16、7 【正确答案】 最大似然估计：似然函数为当 xi0，i=1，n 时故 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (I)先求总体 X 的分布函数 F(x)=-xf(t；)dtx0 时，F(x)=0；x时，F(x)=1： 再求 T 的分布函数 FT(t) FT(t)=P(Tt)=Pmax(X1，X 2，X 3)t =PX1t，X 2t，X 3t=PX1【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设这次考试全体考生的成绩为总体 X，抽的 36 位考生的成绩为简单随机样本值 x1，x n，而 和 s2 分别为样本均值和样本方差由题意，可设XN(， 2)， 2 未知现要检验 H0：=70，(H 1：70) (=005)故接受 H0，即认为这次考试全体考生的平均成绩(即 )与 70 分没有显著差异(在显著水平 0【知识模块】 概率论与数理统计
