1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )2 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 条件下，X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为( )（A）f X(x)（B） fY(Y)（C） fX(x) fY(Y)（D）3 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则PX Y=( )4 设随机
2、变量 X，Y 独立同分布，且 X 分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y) 的分布函数为( )（A）F 2(z)（B） F(z)F(y)（C） 11F(z)2（D）1 一 F(z)1 一 F(y)5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)， Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= ，记 FZ(z)为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=03(x)+0 7(x1/2) ，其中 (x)为标准正态分布函数，则 E(X)=( )（A）0（B） 0.3（C
3、） 0.7（D）17 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差为 20。令Y= Xi，则( )（A）Cov(X 1，Y)= 2（B） Cov(X1，Y) = 2（C） D(X1+Y)=n+2/n2（D）D(X 1 Y)=n+1/n28 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E(X)与 E(Y)存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y，则 E(UV)=( )（A）E(U)E(V)（B） E(X)E(Y)（C） E(U)E(Y)（D）E(X)E(V)9 连续型随机变量 X1 与 X2 相互独立，且方差均存在，X 1 与 X2 的概率密度分别为f1(x)与 f2(x)。随机变
4、量 Y1 的概率密度为 fY1(y)= f1(y)+f2(y)，随机变量Y2= (X1+X2)，则( )（A）E(Y 1) E(Y 2)，D(Y 1)D(Y 2)（B） E(Y1)=E(Y2)， D(Y 1)=D(Y2)（C） E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)（D）E(Y 1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)10 设随机变量 X，Y 不相关，且 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，则 EX(X+Y2)=( )（A）3（B） 3（C） 5（D）511 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)
5、=E(Y)（B） E(X2)一 E(X)2=E(Y2)一E(Y) 2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2二、填空题12 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_。13 设二维随机变量(x，y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXYY0)=_。14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1)=_。15 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=05(x)+0 5(x4/2) ，其中 (x)为标准正态分布函数，则 E(X)=_。16 设随机变量 X 服从
6、参数为 的指数分布，则 =_。17 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_。18 设随机变量 X 概率分布为 PX=k= (k=0，1，2，)则 E(X2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ， x+， y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(Y|x)。20 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为且 P(X2=Y2)=1。()求二维随机变量(X，Y)的概率分布；()求 Z=XY 的概率分布；()求 X 与 Y 的相关系数 XY。21 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：(
7、)求 PX=2Y；()Cov(X Y，Y)。22 设两个随机变量 X，Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 的正态分布，求随机变量|XY|的方差。23 从正态总体 N(34，6 2)中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14， 54)内的概率不小于 095，问样本容量 n 至少应取多大？附表：标准正态分布表24 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。25 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 PX2Y；()求 Z=X+Y的概率密度 fZ(z)。26
8、设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i)= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 fY(y)= 记 Z=X+Y。() 求 PZ |X=0()求 Z 的概率密度 fZ(z)。27 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x1，x 2y 上服从均匀分布，令 ()写出(X，Y) 的概率密度； ()问 U 与 X 是否相互独立？并说明理由；() 求 Z=U+X 的分布函数 F(z)。28 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX =0=PX=2= ，Y 的概率密度为 ()求 PYE(Y)；()求 Z=X+Y 的概率密度。29 已知甲、乙两箱中装有同种
9、产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数 X 的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。30 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止。记 Y 为观测次数。 ()求 Y 的概率分布；()求 E(Y)。31 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 对 X 独立地重复观察 4 次，用 y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望。32 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值
10、，记 Yi= Xi ，i=1 ，2， ，n。求：()Y i 的方差 D(Yi)，i=1 ，2，n；()Y 1与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)。考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(1 ，1)，所以由期望的性质：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+1=1，F(X Y)=E(X) E(Y)=01=1。由独立随机变量方差的性质：D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1+1=2， D(XY)=D(X)+D(Y)=1+1=2
11、，所以 X+YN(1，2)，XYN(1，2) 。结合正态分布的对称性可知：PX+Y1= ，故选 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 因(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立，于是 fX|Y(x|y)=fX(x)。因此选 A。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意可知 X，Y 的概率密度为由于 X，Y 相互独立，因此(X ， Y)的联合概率密度为 f(x，y)=f X(x) fY(y)= 则PXY= f(x，y)dxdy= 0+dy0y4ex4ydx= 40+(e4y e5y)dy = 。【
12、知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 X，Y 独立同分布，所以由独立的性质可知，Z 的分布函数 FZ(x)=PZx)= PmaxX，Y)x =PXx)PYx=F(x) F(x)=F 2(x)。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z) = PXY z = PXYzY=0PY=0 +PXYz|Y = 1PY = 1PXYz|Y = 0 +PXYz|Y =1PX0 z|Y = 0 +PX z|Y = 1，因为 X，Y 独立，所以 FZ(z)= PX0z)+PXz。当 z0，则 FZ(z)= (z)； 当z0，则 FZ(z)= 1+(z
13、)。所以 z=0 为间断点，故选 B。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 F(x)=03(x)+07(x 1/2)，所以 F(x)=03(x)+因此 E(x)= +xF(x)dx=+x03(x)+0 35(x1/2)dx=03 +x(x)dx+035 +x(x1/2)dx。而 +x(x)dx=0， +x(x1/2)dx=2+(2u+1)(u)du=2，所以 E(X)=0+0.352=07。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A:所以 A 对，B 不对。为了熟悉这类问题的快速、正确计算。可以看本题 C，D 选项。因为 X 与
14、 Y 独立时，有 D(XY)=D(X)+D(Y)。所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：所以本题选A。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由于当 XY时，U=X，V=Y；当 XY 时，U=Y，V=X ，则UV=maxX， YminX，Y=XY，又因为随机变量 X 与 y 相互独立，所以E(UV)=E(maxX，YminX，Y)=E(XY)=E(X)E(Y)，故应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 分别计算期望 E(Y1)，E(Y 2)，E(Y 12)，E(Y 22)，得出 E(Y1)，E(Y 2)之间的关系；将 E(Y12)和
15、E(Y22)作差，利用方差的定义式判断出方差的大小。由于E(Y1)=+y f1(y)+f2(y)dy= E(X1)+E(X2)，E(Y 2)= E(X1+X2)= E(X1)+E(X2)，故 E(Y1)=E(Y2)。E(Y 12)=+y2 f1(y)+f2(y)dy= E(x12)+E(X22)，E(Y22)= E(X1+X2)2= E(X12)+E(X22)+ E(X1) E(X2)，则 E(Y 12)一 E(Y22)= E (X1X2)20 。故 D(Y1)=E(Y12)一(E(Y 1)2D(Y 2)=E(Y22)一E(Y 2)2。答案为 D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案
16、】 D【试题解析】 因为 X 与 Y 不相关，所以 Cov(X，Y)=0，即 E(XY)=E(X)E(Y)，于是 EX(X+Y2)=E(X 2+XY2X)一 E(X2)+E(XY) 2E(X) = D(X)+E(X)2+E(X)E(Y)一 2E(X) = 3+22+2122=5。 故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 B【试题解析】 和 不相关的充分必要条件是它们的协方差 Cov(，)=0 。由协方差的性质：Cov(aX+bY，Z)=aCov(X，Z) +bCov(Y，Z)，故 Cov( ，) = Cov(X+Y，XY)= Cov(X，X) Cov(X ，Y)+ Cov(
17、Y ，X) Cov (Y ，Y)= Cov(X，X) Cov(Y，Y)= D(X)D(Y)，可见 Cov(，) = 0 D(X) D(Y) = 0 D (X) = D(Y) E(X2)E(X)2=E(Y2)E(Y)2，故正确选项为 B。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 ( 2+2)【试题解析】 由于 =0，由二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，因此 E(XY2)=E(X)E(Y 2)。 由于 (X，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，可知 E(X)=， E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=2+2， 则 E(XY 2)=(2+2)。【知识模块】 概率论与数理统计
18、13 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，XN(1，1)，YN(0 ， 1)，相关系数 =0，则 X，Y 相互独立，故 PXYY0=P(X1)Y0=PX10，Y0+PX 10，Y0=PX1Py0)+PX 1PY0【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，X 与 Y 具有相同的概率密度则 PmaxX，Y)1=PX1，Y1=PX1Py1【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 2【试题解析】 随机变量 X 的概率密度函数为注意到 是标准正态分布 N(0，1) 的概率密度， 是正态分布 N(4，4)的概率密度，所以 E(X)=050+054=2。【知识模块】
19、 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 由题设，知 D(X)= ，于是【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1。从而由 D(X)=E(X2)一E(X) 2 得 E(X2)=2。故 PX=E(X2)=PX=2= 。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 2【试题解析】 由概率分布的性质 PX =k=1，有 即随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则有 E(X)=1，D(X)=1 E(X2)=D(X)+E(X)2=2。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过
20、程或演算步骤。19 【正确答案】 由概率密度的性质 f(x，y)dxdy=1，可知 Ae2x2+2xyy2dx 如 dy=Aex2dxe(xy)2dy=1，又知X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 () 由于 P(X2=Y2)=1，因此 P(X2Y2)=0，故 P(X=0，Y=1)=0，因此，P(X=1， Y=1)=P(x=1，Y=1)+P(X=0 ，Y=1)=P(Y=1)= 。再由 P(X =1，Y=0)=0可知 P(X=0， Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 。同样，由P(X=0，Y= 1)=0 可知 P(X=1，Y= 一
21、 1)=P(X=1，Y=一 1)+P(X=0，Y=一 1)=P(Y=一 1)= 。这样，可以写出(X ，Y)的联合分布如下：()Z=XY 可能的取值有一 1，0，1，其中 P(Z=一 1)=P(X=1，Y=一 1)= ，P(Z=1)=P(X=1，Y=1)= ，则有 P(Z=0)= 。因此，Z=XY 的分布律为 ()E(X)= ，E(Y)=0，E(XY)=0，故 Cov(X，Y) = E(XY) E(X)E(Y) = 0，【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 ()PX=2Y=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= 。()Cov(XY，Y) = Cov(X，Y) Cov(Y，Y)
22、 = E(XY) E(X)E(Y) D(Y) ，其中 E(X)= ，E(X 2)=1，E(Y)=1，E(Y 2)= ，D(X)=E(X 2)一E(X) 2=1 一 ，D(Y)=E(Y 2)一E(Y) 2=所以 Cov(X，Y) =0 ，Cov(Y，Y)=D(Y)= ，Cov(X Y，Y) = 。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 令 Z=XY，由于 X，Y 相互独立，且都服从正态分布，因此 Z也服从正态分布，且 E(Z)=E(X)一 E(y)=0，D(Z)=D(X)+D(Y)= =1。于是，Z = X Y N(0，1) 。D(|X Y|)= D(|Z|)= E(|2|2)(E|Z
23、|)2= D(Z)+E(Z)2 (E|Z|)2= 1 (E|Z|)2，而 故 D(|X Y|)=1 。【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由题知：X 1，X 2，X nN(34，6 2)， 各样本相互独立，根据独立正态随机变量的性质， XiN( ， 2n)。其中根据期望和方差的性质，故 0975，查表得到 1 96，即 n(1963) 234 57，所以 n 至少应取 35。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 离散型随机变量边缘分布律的定义：p i =PX=xi= PX=xi，Y=y i= pij，i=1，2，p j =PY=yi= PX=xi，Y=y i= pij
24、，j=1 ，2，即在求关于 X 的边缘分布时，把对应 x 的所有 y 都加起来，同理求关于 Y 的边缘分布时，就把对应 y 的所有 x 都加起来。故 PY=y1=p1 = PX=xi，Y = y 1= pi1，即 PY = y1= PX =x1，Y = y1+PX=x2，Y =y1而由表知 PYy1= ，PX=x 2，Y=y 1= ，所以 PX=x1，Y=y 1= PY=y1PX =x2，Y =y 1= 又根据 X 和 Y 相互独立，则有 PX=xi，Y=y i=PX=xiPY=yi，即 Pij=Pi pj 。因 PX=x 1，Y=y 1= ，PY=y 1= ，所以再由边缘分布的定义有 PX=
25、x1=PX=x1，Y=y 1)+PX=x1，Y=y 2+PX=x1，Y=y 3，所以 PX=x 1，Y = y3= PX=x1PX=x1，Y=y 1 PX = x1，Y = y 2 又由独立性知 由边缘分布定义有 PY=y3=PX=x1，Y=y 3+PX=x2，Y=y 3，所以 PX=x2，Y=y 3= PY=y3PX=x1，Y=y 3= 再由 pi =1，所以 PX=x2=1PX=x1=1 一，而 PX=x2=PX=x2，Y=y 1+PX=x2，Y=y 2+PX=x2，Y =y 3故 PX=x2，Y=y 2=PX=x2PX=x2，Y=y 1PX=x2，Y =y 3又 pi=1，所以 PY =
26、y 2= 1PY =y1PY =y3=1所以有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()PX 2y= ()先求 Z 的分布函数：F Z(z)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy。当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z1 时，其中 D1=(x，y)|0x，y1，x+yz，0z1。当 1z2 时，F Z(z)=1 f(x，y)dxdy=1 一 z11dyzyn(2 一 xy)dx=1 (22)3，其中 D2=(x，y)|0x，y1，x+yz，1z2。当 z2 时，F Z(z)=1。故 Z=X+Y 的概率密度为：【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()()由卷积公式知
27、fZ(z)= P(X=i) fY(zi)，故 f Z(z)= fY(z+1)+fY(z)+fY(z 一 1)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 区域 D 的面积 S=01 ，则(X ，Y)的概率密度为 ()PU=0=PXY= 01dx PU=11PU 一 0= ，因为PU=0，X PU=0 Px ，所以 U 与 X 不独立。()由全概率公式可得F(z)=PZz=PX+Uz=PX+Uz，XY+PX+Uz，Xy=PXz1，XY+PXz，XY。当 0 z 1 时，F(z)= PX z ，X Y = 0xdx z2z3；当 1 z 2 时，F(z) = PX z 1，X Y+PX
28、z ，X Y【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 ()E(Y)= +yf(y)dy=012y2dy= ，则 PYE(Y)=PY() 因为 X 为离散型随机变量，所以由全概率公式可知， Z 的分布函数 FZ(z)=PZz=PX+Yz=PX=0PX+YZ|X=0)+PX 一 2)PX+YZ|X X=2= PYz+ Pyz2= FY (Z)+FY(z2)，上式中 FY(z)是随机变量 Y的分布函数。则 Z 的概率密度为 fZ(z)=FZ(z)= f(z)+f(z2)=【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 ()X 的可能取值为 0，1，2，3 ，取出 k 件次品(k=0，1，2
29、，3)的取法有 C3kC33k 种；样本空间即从两个箱子中取出 3 件产品的总的取法数为C63，所以 X 的概率分布为()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品” ，由于X=0 ，X=1，X=2 ，(X=3 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 ()P(X3)= 3+ 2xln2dx= 则 Y 的概率分布为PY=k=Ck11p(1 一 p)k2p=(k 一 1) ，k=2，3，。记 h(x)= k(k1)xk2(一1x1) ，则【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 如果将观察值大于 这事件理解为试验成功的话，则 Y 表示对X 独
30、立地重复试验 4 次中成功的次数，即 YB(4，p)，其中 p=PX 。由一维概率计算公式，PaXb= abfX(x)dx，有所以 YB(4， )。由公式D(Y)=E(Y)2 一 E(Y2)以及 YB(n，p)知，其数学期望和方差分别为 E(Y)=np；D(Y)=npq，其中 q=1p，得 E(Y 2)=D(y)+E(Y)2=npq+(np)2=4=5。【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 由题设，知 X1，X 2，X n(n 0)相互独立，且 E(Xi)=0，D(X i)=1(i=1，2， ，n)， () D(Y i)= D(Xi()因为已知 X1，X 2，X n(n2)相互独立，则【知识模块】 概率论与数理统计
