1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F1()与 F2()为两个分布函数，其相应的概率密度 f1()与 f2()是连续函数，则必为概率密度的是（A）f 1()f2()（B） 2f2()F1()（C） f1()F2()（D）f 1()F2()f 2()F1()2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则P(XY)（A）（B）（C）（D）3 设 X1，K 2，X 3 是随机变量，且 X1N(0，1)，X 2N(0，2 2)，X3N(5 ，3 2)p iP 2X
2、 i2(i1，2，3)，则（A）p 1p 2p 3（B） p2p 1p 3（C） p3P 1p 2（D）P 1p 3P 24 设随机变量 XN(， 2)(0)，记 pPX 2，则（A）p 随着 的增加而增加（B） p 随着 的增加而增加（C） p 随着 的增加而减少（D）p 随着 的增加而减少5 设随机变量 X 的概率密度 f()满足 f(1)f(1 )，且 02f()d06，则PX0（A）02（B） 03（C） 04（D）056 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 UmaxX，Y ，VminX ， Y，则 E(UV)_（A）EU.EV（B） EX.EY（C） EU
3、.EY（D）EX.EV7 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（A）1（B）（C）（D）18 设连续型随机变量 X1 与 X2 相互独立且方差均存在，X 1 与 X2 的概率密度分别为f1()与 f1()，随机变量 Y1 的概率密度为 (y) f1(y)f 2(y)，随机变量Y2 (X1X 2)，则（A）EY 1EY 2，DY 1 DY2（B） EY1EY 2，DY 1DY 2（C） EY1EY 2，DY 1DY 2（D）EY 1EY 2，DY 1 DY29 设随机变量 X，Y 不相关，且 EX2，EY1，DX3则 EX(XY2) （A）3（B） 3（C） 5（D）51
4、0 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1，A 2，A 3，且三种结果发生的概率均为，将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，Y 表示 2次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数为（A）（B）（C）（D）二、填空题11 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y24yX0 无实根的概率为 ，则 _ 12 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则PXY1_13 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY2_14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均
5、匀分布，则PmaxX，Y1_15 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则PYa1Ya_16 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)_17 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXYY0_18 设随机变量 X 的分布函数为 F()050() 05( )，其中 ()为标准正态分布函数，则 EX_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 PX2Y； ()求ZX Y 的概率密度 fZ(z)20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布
6、PXi (i1，0，1)，Y 的概率密度为 fY(y) ，记 ZXY ()求 PZ X0； ()求 Z 的概率密度 fZ(z)21 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数()求 PX1Z 0 ；()求二维随机变量 (X，Y) 的概率分布22 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为()求 P(X2Y) ()求 Cov(XY，Y)23 设随机变量 X 的概率分布为 PX1PX2 在给定 Xi 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布(U(0，i)(i 1，2) ()求 Y，的分布函数 FY(y)
7、； ()求 EY24 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 ()求 Y 的概率分布； () 求 EY25 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX0PX2 ，Y的概率密度 f(y) ( )求 PYEY； ()求 ZXY 的概率密度26 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX1PX1 ，Y 服从参数为 的泊松分布令 ZXY (1)求 Cov(X，Z)； (2)求 Z 的概率分布考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
8、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 F1()f 1()，F 2()f 2()，且 F1()F2()为分布函数，那么F 1()F2()f 1()F2()F 1()f2()为概率密度，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意，X，Y 的概率密度分别为则(XY) 的(联合)概率密度为 f(，y) f X().fY(y) P(XY) f(，y)ddy 4e e4y ddy 0 4e4y dy0ye d 0 (1e y )4e4y dy 0 4e4y dy4 0 e5y dy 1 (D 区域如图)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答
9、案】 A【试题解析】 p 1P2X 12(2) (2)2(2)1 p 2P2X 22(1)( 1) 2(1)1 p 3P(2X 32这儿 () ，是服从 N(0，1)分布的随机变量的分布函数知 (2)(1)，故 p1p 2；又 (1)08413，而 ( )1，可得 p2p 3，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 p P(X 2)P( )()，其中 (.)为服从 N(01)分布的随机变量的分布函数，单调增故选 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知 UVXY 故E(UV)E(
10、XY)EX.EY，选 B【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 设这两段的长度分别为 X 和 Y(是随机变量)， 则 XY1，即Y1X DYD(1X)DX Cov(X ，Y)Cov(X，1X)Cov(X，X) DX 故(X ， Y)的相关系数为 X，Y 1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 EY y (y)dy y f1(y)f 2(y)dy yf1(y)dy yf2(y)dy (EX1EX 2)E (X1X 2)EY 2 E(Y12) y2 (y)dy y2 f1(y)f 2(y)dy y2f1(y)dy y2f2(y)dy E(X22)E
11、(X 22) E(Y22)E (X1X 2)2 E(X12)E(X 22) E(X1X2) 由题意，X 1 与X2 独立，且 X1 与 X2 均为连续型随机变量，故 E(X 1X 2)20，即有 E(X12)E(X 22)2E(X 1X2) E(X12)E(X 22) E(X1X2) 得 E(X12)E(X 22) E(X12) E(X22) E(X1，X 2) 即 E(Y12)E(Y 22)故得 DY1DY 2，选D【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 E(X 2)DX(EX) 232 27，E(XY)EX.EY212 EX(XY2)E(X 2XY2X) E(X 2
12、)E(XY) 2E(X)72225【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 A【试题解析】 由题意有 XB(2， )，YB(2， ) 所以EXEY2 ，DX DY2 而 XY于是 E(XY)1PA 1 恰发 1 次，A 2 恰发生1 次 故 X 与 Y 的相关系数为故选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 4【试题解析】 该二次方程的判别式4 24X，故 P(A0)P(4 24X 0)P(X4) 所以 ，故可得0，4【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 其中区域 G 如图所示(阴影部分)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】
13、 【试题解析】 由题意，X 的概率分布为： 且P(Y2X 1)0，P(Y2X2) ，P(Y2X3) ，P(Y2X4) ， 故由全概率公式得 P(Y2)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由题意知 X 与 Y 的概率密度均为 则PX1PY1 1f()d 故 Pmax(X，Y)1PX1，Y1PX1PY1 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 1e -1【试题解析】 由题意，Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 3 2【试题解析】 由题意知 X 与 Y 独立同分布，且 XN( ， 2)， 故 EX，E(Y 2)DY(EY) 2 2
14、2 E(XY2)EX.E(Y 2)( 2 2) 3 2【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 XN(1，1)，YN(0 ， 1)，且 X 与 Y 独_上 可得X1N(0 1) ，于是 P(Y0)P(Y0) ，P(X10)P(X10) ，可得 P(XY Y0)PY(X1)0PY 0，X10PY0，X10 P(Y0)P(X10) P(Y0)P(X 10) 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 2【试题解析】 X 的概率密度为： f()F() 05() 05 ， 其中 () 为标准正态分布的概率密度，则 EX f()d05 ()d ( )d 而 ()d
15、0，做积分变量代换：y ，可得 ( )d (2y4)(y)2dy4 y(y)dy8 (y)dy088 故 EXO50 82。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 ()f Z(z) f(，z )d，而于是，f Z(z) 01f(，z)d 20 时， fZ(z)0；0z1 时，f Z(z) 0z(2z)dz(2z) 122 时，f Z(z) z-11(2z)d(2z) 2；z2 时，f Z(z)0，故【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 ()PZ X0 PX Y X0 P0 Y X0PY ( )Y 的分布函数为：Z 的分布函
16、数为 F Z(z) PZzPXyz PXYz XiPXi P1YzX 1. P0YzX0.P1Yz X1. PYz1PYzP(Yz 1 FY(z1)F Y(z)F Y(z1)故 fZ(z)F Z(z)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 由 P(Z0) ，()X 和 y 可能取得值均为：0，1，2得：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 ()P(X2Y)P(X0，Y0)P(X2，Y1) ()由(X，Y)的分布可得 X，Y 及 XY 的分布分别为：E(XY)0 ， 而 E(Y2)0 2 故 DYE(Y 2)(6Y) 2 ， Cov(X，Y)E(XY)EXEY 10，
17、 得 Cov(XY ，Y)Cov(X ，Y)DY0 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()F Y(y)P(Yy)P(YyX 1)P(X1)P(YyX2)P(X2) 由题意可得：()由()得 Y 的概率密度为 故 EY yf(y)dy【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()P(X3) 3 f()d 3 2 ln2d2 3 P(Yk) ，k2，3， ()EY 令 g() k(k1) k-2，1 则在 1，故 EY.2.8316【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()EY yf(y)dy 01y.2ydy 所以 P(YEY)()Z 的分布函数为： F Z(
18、z)P(Zz)P(XYz)P(XYz X0)P(X0) P(XYzX 2)P(X2)P(0Yz). P(2yz). zf(y)dy z2 f(y)dy 故 Z 的概率密度为 f Z(z)F Z(z) f(z)f(z2)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)Cov(X，Z) Cov(X，XY)E(X 2Y)EX.E(XY) E(X 2)ETEX.EX.EY 由 X 的分布，可得 EX(1) 0， E(X 2)( 1) 21 由 Y 的分布知 EY 故 Cov(X，Z)1. 0 2. (2)由题意可知，Z 可能取的值为 0，1，2，(所有整数) P(Z 0)P(XY0)一P(XY0X1)P(X1)P(XY0X1)P(X1) P(Y0) P(Y0)P(Y0) e P(Zk)P(XYkX1)P(X1)P(XYkX1)P(X1) P(Yk) P(Yk) P(Yk) e ，k1，2， P(Zk)P(XYkX 1)P(X1)P(XYkX1)P(X1) )P(Yk) P(Yk) P(Yk) e ，k1，2，【知识模块】 概率论与数理统计
