1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，则( ) 2 设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0，则 P(ABC)=P(AC)P(B C)的充要条件是( )（A）P(AC)=P(A)。（B） P(BC)=P(B)。（C） P(ABC)=P(AB)。（D）P(BAC)=P(BC) 。3 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1-p) 2。（B） 6p(1-p)2。（C） 3p2(1-p
2、)2。（D）6p 2(1-p)2。4 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，其密度函数为其中 A 为常数，则 的值为( )5 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 a 满足 PX a=，若 PXx= ，则 x 等于( )6 设二维随机变量(X 1，X 2)的密度函数为 f1(x1，x 2)，则随机变量(Y 1，Y 2)(其中Y1=2X1，Y 2= X2)的概率密度 f2(y1，y 2)等于( )7 设(X，Y) 为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（A）若 X 与 Y 不相关，则 X2 与 Y2 不相关。（B）若 X2 与 Y2 不相关，则 X 与 Y
3、不相关。（C）若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价。（D）若 X 与 Y 均服从 0-1 分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价。8 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X-2Y 的方差是( )（A）8。（B） 16。（C） 28。（D）44。9 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于( )（A）-1 。（B） 0。（C）（D）1。10 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y= ，则( )（A）y 2(n)。（B） y 2(n-1)。
4、（C） yF(n，1) 。（D）YF(1，n)。二、填空题11 将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为_。12 已知随机变量 Y 服从0，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0 有实根的概率 p=_。13 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，已知 PX2=0062，PX9=0025 ，则概率 PX 4=_ 。(1 54)=0938，(1 96)=0975)14 假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从 0-1 分布：PX i=1=p，PX i=0=1-p(i=1，2， 3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等
5、于 ，则 p=_。15 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，且 E(X1)=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06 1(2x+1)，则 E(x)=_。16 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2)=E(Y2)=2，则E(X+Y)2=_。17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则根据切比雪夫不等式有 P0X+Y10_。18 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=1-(01)。若已知 PXx=b(b0)，则 x=_。19 设总
6、体 X 的概率分布为 为未知参数，对总体抽取容量为 10 的一组样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取0。则 的矩估计值为_，最大似然估计值为_。20 设总体 XN(， 2)未知， X1，X 2，X n 是取自该总体的样本，记，则对假设检验 H0：= 0H 1： 0 使用的t 统计量 t=_(用 ，Q 表示) ；其拒绝域 u=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知在 10 件产品中有 2 件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率：()两件都是正品；()两件都是次品；()一件是正品，一件是次品；()第二次取出的是次品。22 随机地向圆 x2+y2
7、=2x 内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X 表示该点与原点的连线与 x 轴正半轴的夹角，求 X 的分布函数和概率密度。23 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=-1=，并且 PX+Y=1=1，求：()(X ，Y)的联合分布； ()X 与 Y 是否独立? 为什么?24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，- x+，-y+，求常数 A 及条件概率密度 fYX (yx)。25 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ()试求(X，Y) 的边缘概率密度 fX(z)fY(y)，并问 X 与 Y 是否独立；()令 Z=X-Y，求Z 的分布函数 FZ
8、(z)与概率密度 fZ(z)。26 设随机变量 X 和 Y 分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= 求：()(X，Y) 的分布；( )X 和 Y 的相关系数；()PX=1X 2+Y2=1。27 设总体 X 服从区间0，上的均匀分布，X，X，X 是取自总体 X 的简单随机样本， =maxX1，X n。()求 的矩估计量和最大似然估计量；() 求常数 a，b，使 =bX(n)的数学期望均为 ，并求考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 已知 AB= ，因此选项 A、B 不能选。由于 AB=
9、 所以 ，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 P(ABC)=P(AC)P(B C，只在 C 发生的条件下，A 与 B 独立，所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(BAC)=P(BC，故选 D。选项 A、B、C 分别是 A 与 C、B 与 C、AB 与 C 独立的充要条件。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标= (1-p)2p=3p2(1-p)2， 故正确答案为 C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据题
10、意得，f(x)关于 x= 是对称的，故 ，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu a=与 PX x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 3-2-2 及图 3-2-3所示图形。如图 3-2-3 所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 ，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布为 F2(y1，y 2)。F2(y1，y 2)=PY1y1，Y 2y2=P2X1y1， X2y
11、2故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D：设 XB(1，p)，YB(1，q)，当 X 与 Y 独立时 X 与Y 不相关。反之，当 X 与 Y 不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq 时，可得下列分布律 由此可知 X 与 Y 独立。故此时 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价，故选项 D 正确。 根据不相关的性质可排除选项 A 和 B。对于选项 C，当 X 与 Y 均服从正态分布时，(X，Y) 未必服从二维正态分布，故选项 C 不正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据方差的运算性质 D(C)
12、=0(C 为常数)，D(Cx)=C 2D(X)以及相互独立随机变量的方差性质 D(XY)=D(X)+D(Y)可得 D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=44。故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，Y=n-X，故 XY=-1。应选 A。 一般来说，两个随机变量X 与 Y 的相关系数 Y 满足 XY1。 若 Y=aX+b(a，b 为常数) ，则当 a0 时，XY=1，当 a0 时， XY=-1。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 因 Xt(n)，故根据 t 分布定义知 ，其中 UN(0 ，1)，V 2(n)。于
13、是 (F 分布定义)。故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 XB(5， )，而 Y=5-X 为 5 次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2Y5=2X5 ，25-X5=2X5，0X3=X=2X=3所以 P(A)=PX=2+PX=3=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 已知 Yf(x)= 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16Y2-16(Y+2)0=P16(Y-2)(Y+1)0=P(Y2)u(Y-1)=P
14、Y2+JPY-1【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 02946【试题解析】 要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 。根据题意有由题意已知，可得 于是 P X4=P-4X4=(-054)-(-4 54)=0 2946。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 记 =X1X4-X2X3，则 p 应使 P0=PX 1X4-X2X30=PX1X4X 2X3= ，因为 Xi 仅能取 1 或 0，且相互独立，故事件X 1X4X 2X3=X1X4=1，X 2X3=0，所以 =PX1=1，X 4=1，X 2=0，X 3=0+PX1=1，X 4
15、=1，X 2=0， X3=1+PX1=1，X 4=1，X 2=1，X 3=0=p2(1-p)2+p3(1-p)+p3(1-p)=p2(1-p2)=p2-p4，则 p4-p2+ 不符合题意，故舍去)【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 04【试题解析】 已知随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，可以验证 F1(2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为随机变量 X1 的函数，且 X2= ，记随机变量 X2 的分布函数为 F2(x)，概率密度函数为 f2(x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 2(x)，两
16、边同时对 x 求导得 f(x)=0 4f1(x)+06f 2(x)，于是 即 E(X)=04E(X 1)+06E(X 2)=04E(X 1)+06E =04。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 6【试题解析】 由已知条件得，D(X)=E(X 2)-E2(X)=2，同理，D(Y)=2。则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0， E(X+Y)2=D(X+Y)+E2(X+Y)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=2+2+2=6。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 0928【试题解析】 因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=l，DY=1 ，所以 E
17、(X+Y)=E(X)+E(Y)=5， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18。根据切比雪夫不等式，可得P0X+Y 10=PX+Y-5 5 即 P0X+Y 100 928。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据 t 分布的对称性以及 b0，可知 x0。所以 PXx=1-PXx=1- PXx=1- 根据题干“t 满足 PXt=1-(0a1)”可知，x=【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 E(X)=20(1-)+2(1-) 2=2(1-)。E(X)= ，则 的矩估计量为 由抽取的样本可得又样本似然函数【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确
18、答案】 【试题解析】 2 未知，对 的检验使用 t 检验，检验统计量为对双边检验H0：= 0H 1： 0，所以其拒绝域为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 令事件 Ai 表示“ 第 i 次取出正品”，则其对立事件 表示“第 i 次取出次品”(i=1， 2)。依题意可知： ()A 1A2 表示“两件都是正品”，且由概率乘法公式可得：P(A 1A2)=P(A1)P(A2A 1)= ()X 表示“两件都是次品” ，且由概率乘法公式可得：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 令 F(x)为 X 的分布函数，则 F(x)=PXx
19、，由于 F(x)=0 的取值范围为 ，因此当 x0 时，F(x)=0 ；当 x 时， F(x)=1。当 0x ，Xx 所代表的区域如图 3-2-5 中阴影部分。现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为每个扇形的面积均为 S2= 2x12=x，则阴影部分的总面积 S(x)=sin2x+2x，所以【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=-1，y=2+PX=0 ，Y=l+PX=1，Y=0=1 ，故其余分布值均为零，即 PX=-1，Y=0=PX=-1 ，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=
20、1，Y=1=PX=1 ，Y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为PX=-1，Y=0=0PX=-1PY=0= ，故 X 与 Y 不独立。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 根据概率密度的性质 ，可知X 的边缘概率密度为所以，条件概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算。因为fX(x)fY(y)f(x，y) ，所以 X 与 Y 不独立。() 分布函数法。 Z=X-Y 的分布函数为FZ(z)=PX-Yz= (1)当 z0 时，如图 3-3-7 所示，有(2)当 z0 时，如图 3-3-8所示，有 由于 FZ(z)
21、为 z的连续函数，除 z=0 外，导函数存在且连续，故【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得()PX 2+Y2=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0= PX=1X 2+Y2=1=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 总体 X 的密度函数、分布函数分别为样本X1，X n 的似然函数为L()为 的单调减函数，且 0xi，即 要取大于 xi 的一切值，所以 的最小取值为maxx1，x n， 的最大似然估计量 =maxX1，X 2=X(n)。X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)分别为【知识模块】 概率论与数理统计
