1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 现有一批电子元件，系统初始先由一个元件工作，当其损坏时，立即更换一个新元件接替工作如果用 Xi 表示第 i 个元件的寿命，那么事件 A=到时刻 T 为止，系统仅更换一个元件可以表示为 ( )（A）A=X 1+X2T （B） A=0X1T，0X 2T（C） A=0X1T，X 1+X2T（D）A=0X 1T，X 1+X2T2 设 A，B，C 为三个事件，已知 P(BA)=0 6，P(C AB)=04，则 P(BCA)=( )（A）03（B） 024（C） 05（D）0213
2、设 A，B，C 三个事件两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是 ( )（A）A 与 BC 独立（B） AB 与 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）A U B 与 AC 独立4 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=ce-x2，-x+，则 c=( )5 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度函数 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知F(0)= ，则( )6 设随机变量 XN(， 2)(0)，且满足 PXPX，则比值 ( )（A）小于 1（B）等于 1（C）大
3、于 1（D）不确定7 PX=k=cke-k!(k=0，2，4，)是随机变量 X 的概率分布，则 ，c 一定满足( )（A）0（B） c0（C） c0（D）c0 且 08 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )（A）X=Y（B） P(X-Y)=0（C） PX-Y)= （D）PX-Y=19 设随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，若概率 PaX-by=，则( )10 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 ，记随机变量Z=X-Y的概率密度为 f(x)，则( )11 设 X1，X 2，X 3 服从区间0，2上的均匀分布，则 E(2X1-
4、X2+3X3)=( )（A）1（B） 3（C） 4（D）212 设随机变量 XU-1 ，1- ，则随机变量 U=arcsin x，V=arccos x 的相关系数为( )（A）-1 （B） 0（C）（D）113 已知 X 和 Y 的联合分布如下所示，则有( )（A）X 与 Y 不独立（B） X 与 Y 独立（C） X 与 Y 不相关（D）X 与 Y 彼此独立且相关14 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令 Y=，则( )（A）Cov(X 1，Y)=（B） Cov(X1，Y)= 2（C） Cov(X1，Y)=（D）Cov(X 1，Y)=15 总体 XN(， 2)
5、， 分别是该总体容量为 10 和 15 的两个样本均值，记 p1= ，则( )（A）p 1p 2（B） p1=p2（C） p1p 2（D）p 1=， p2=16 已知总体 X 的期望 E(X)=0，方差 D(X)=2，从总体 X 中抽取容量为 n 的简单随机样本，其样本均值、样本方差分别为(k=1，2，3，4) ，则( )（A）E(S 12)=2（B） E(S22)=2（C） E(S32)=2（D）E(S 42)=217 设总体 X 服从于正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 的随机样本，使 为 的无偏估计量，则 k=( )二、填空题18 设 A，B，C 是三个随
6、机事件， ，P(A)=0 7，P(A-C)=04， P(AB)=05，则 =_19 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_20 设随机变量 X 服从参数为 2，p 的二项分布，随机变量 Y 服从参数为 1，p 的二项分布，若 PX1= ，则 PY1=_21 随机变量 K 在(0，5) 上服从均匀分布，则方程 4x2+4Kx+K+2=0 有实根的概率为_.22 已知二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，0y2上服从均匀分布，则概率 PX+Y1=_，PX 2Y=_23 设随机变量 X，Y 相互
7、独立，且 XN(0，2)，Y N(0 ，3)，则 D(X2+Y2)=_24 已知 xN(0， 2)，Y 在区间(0， )上服从均匀分布，且 D(X-Y)=2，则 X与 Y 的相关系数 =_25 已知 X 的概率密度为 f(x)= 且 aX+bN(0，1)(a0)，则A=_，a=_，b=_26 已知总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 2n 是来自总体 X 的容量为 2n 的简单随机样本，则统计量 X2i-1X2i 服从参数为 _ 的_分布27 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从于 N(0， 32)，而 X1，X 2，X 9 和Y1，Y 2，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单
8、随机样本，则统计量服从_分布，参数为_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 事件 A=到时刻 T 为止，系统仅更换一个元件=第一个元件在时刻T 之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过时刻 T=0X1T，X 1+X2T，选择 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 A，B，C 相互独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)
9、，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)又 A，B，C 三个事件两两独立，故 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，从而 A 与 BC 独立等价于 PA(BC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)，即 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，所以在题设条件下，A，B，C 相互独立的充分必要条件是 A 与 BC 独立，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 利用概率密度的规范性，选 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由 f2(x)dx=a+b=1，知四个选项均符合这个要求
10、，因此只有通过 F(0)= 确定正确选项由于故正确选项为 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由于连续型随机变量为任何给定值的概率均等于 0，则 PX=PX= ，PX=1-PX= 已知 PXPX，所以，即 ，得到 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由 PX=k=cke-kk!(k=0 ，2，4，)知 c0而 k 为偶数，所以 可以为负所以选 B【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 PX=Y)=PX=-1，Y=-1+P(X=1，Y=1=P(X=-1.P(Y=-1+PX=1.PY=1【知识模块】 概率论与
11、数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 aX-byN(a-b)，(a 2+b2)2)，由 PaX-bY)= 知，必有 a-b=1，只有 B 项满足要求【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 X 与 Y 相互独立，且均服从 ，所以 X-YN(0，1)当z0 时，非负随机变量 Z 的分布函数 F(z)=PZ2=0；当 z0 时，F(z)=PZz=PX-Yz =P-zX-Yz =(z)-(-z) =2(z)-1总之，f(z)=F(z)=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Xi 服从区间0 ，2上的均匀分布，则 E(Xi)= =1，
12、i=1，2，3，故 E(2X1-X2+3X3)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)=4E(X1)=4选择C【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 A【试题解析】 因为 U+V=arcsinx+arccos= (-1x1)，所以由题知 UV=1，故选A【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 A【试题解析】 PX=0=04，PY=0=03，因为 01=PX=0，Y=0PX=0.PY=0故 X 与 Y 不独立，选 A【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 A【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布，故 Cov(X1，X i)=E(X1，X i)=E(
13、X1)E(Xi)=0(i=2，3， ，n)，则故选 A【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 C【试题解析】 由于【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 B【试题解析】 所以E(Sk2)= 当 k=2 时，E(S 22)=2，选择 B【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题18 【正确答案】 02【试题解析】 由 ，所以 P(A-C)=P(A)-P(C)，即 P(C)=P(A)-P(A-C)=07-04=03， =P(AB-C)=P(AB)-P(C)=05-03=0 2【知识模块】 概率论与数理统计19 【正
14、确答案】 【试题解析】 因为 A，B 相互独立，且 ，所以， 即 P(B)-P(AB)=P(A)-P(AB)，从而 P(A)=P(B)，又=1-P(A)2=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 PX1=1-PX 1=1-PX=0=1=C 20p0(1-p)2= 或者p= (舍去) ，故 PY1=PY=1)= .【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 方程 4x2+4Kz+K+2=0 有实根的充要条件是=(4K) 2-16(K+2)0，故K2 或者 K-1，P(K2)(K-1)=PK2+PK-1=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】
15、【试题解析】 (X，Y) 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 26【试题解析】 XN(0，2)，故 同理YN(0 ，3) ，故 =2.D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)=42+92=26【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 由已知条件直接计算 由题设知 E(X)=0， D(X)=2， E(Y)= D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)= 2+ -2Cov(X，Y)= 2，故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)= ，根据正态分布的概率密度知XN(-1，2)，故 又 aX+bN(aE(X)+b ，a 2D(X)，而题设aX+bN(0 ，1)，所以【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 n， 2【试题解析】 (X12+X22+X2n-12+X2n2)+X1X2+X2X3+X2n-1X2n今 Yi=，由 XiN(0，1)且相互独立，故 X2i-1+X2iN(0 ，2) ，所以 Yi=N(0，1) ，且相互独立，所以 Y= 2(n)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 t，9【试题解析】 因 2(9)，故【知识模块】 概率论与数理统计
