1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 同时发生时事件 C 必然发生，则( )（A）P(C)P(A)+P(B)（B） P(C) P(A)+P(B)-1（C） P(ABC)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)2 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)=( )（A）01（B） 02（C） 03（D）043 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面)，A 2=掷第二次出现正面)，A 3=正、反面各出现一次)，A 4=正面出现两次
2、)，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立4 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则可以作为概率密度函数的是( )（A）f(2x)（B） f(2-x)（C） f2(x)（D）f(x 2)5 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意函数 a，有( )（A）F(a+)+F(a-)=1（B） F(+a)+F(-a)=1（C） F(a)+F(-a)=1（D）F(a-)+F(-a)=16 设随机变量 X 的分布函数为 p1=P0X1，p2=PX=1，则 (
3、 )（A）p 1p 2（B） p1=p2（C） p1p 2（D）无法判定7 设(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)=g(x)h(y)，其中 g(x)0，h(y)0，存在且不为 0，则 X 与 Y 的概率密度 fX(x)，fY(y)分别为( )（A）f X(x)=g(x)，f Y(y)=h(y)（B） fX(x)=ag(x)，f Y(y)=bh(y)（C） fX(x)=bg(x)，f Y(y)=ah(y)（D）f X(x)=g(x)，f Y(y)=abh(y)8 设随机变量(X，Y) 的分布律为已知事件X=0与X+Y=2独立，则 a，b 分别为 ( )9 ， 相互独立且在0，1上服从均匀分布，
4、则使方程 x2+2x+=0有实根的概率为( )10 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 的分布函数为 FX(z)，Y 的概率分布为PY=0PY=1= ，则 Z=XY 的分布函数 FZ(z)为 ( )11 设离散型随机变量 X 可能的取值为 x1=1，x 2=2，x 3=3，且 E(X)=23，E(X 2)=59，则取 x1，x 2，x 3 所对应的概率为( )（A）p 1=01，p 2=02，p 3=07（B） p1=02，p 2=03， p3=05（C） p1=03，p 2=05， p3=02（D）p 1=02，p 2=05，p 3=0312 设随机变量 X 与 Y 均服从 B(1，
5、)分布，且 E(XY)= 记 X 与 Y 的相关系数为 ，则( )（A）=1（B） =-1（C） =0（D）=13 已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2+X+3，则 X 与 Y( )（A）不相关且相互独立（B）不相关且相互不独立（C）相关且相互独立（D）相关且相互不独立14 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n( )（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布15 设 X1，X 2，X 3，X 4 是取自
6、总体 N(0，4)的简单随机样本，记 X=a(X1=2X2)2+b(3X3-4X4)2，其中 a，b 为常数，已知 X 2(n)分布，则( )（A）n 必为 2（B） n 必为 4（C） n 为 1 或 2（D）n 为 2 或 416 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记则服从于自由度为 n=1 的 t 分布的随机变量是( )17 设 X1，X 2，X n 为取自正态总体 XN( ， 2)的样本，则 2+2 的矩估计量为( )二、填空题18 设 A，B 为随机事件，已知 P(A)=05，P(B)=06， =04，则P(AB)=_19 设随机变量
7、的分布函数为 F(x)=A+Barctan x，-x+ ，则常数A=_；B=_；PX 1=_；概率密度 f(x)=_20 已知每次试验“ 成功” 的概率为夕，现进行 n 次独立试验，则在没有全部 “失败”的条件下，“ 成功” 不止一次的概率为 _21 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，已知 F(0)= ，且密度函数 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，则 a=_，b=_22 设平面区域 D 由曲线 y= 及直线 y=0，x=1，x=e 2 围成，二维随机变量(X ，Y)在 D 上服从均匀
8、分布，则(X，Y)关于 X 的边缘密度在 X=2 处的值为_23 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则数学期望 E(X+e-2X)=_24 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2)=E(Y2)=2，则E(X+Y)2=_.25 设 ， 是两个相互独立均服从于正态分布 的随机变量，则E(-)=_.26 设总体 X 服从 0-1 分布，PX=1)=p(0p1)设 X1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 为其样本均值，则 =_(k=0，1，2，n)27 X1，X 2，X n 为总体 XN(0， 2)的一个样本，则 2 的最大似然估计量为_考研数
9、学一（概率论与数理统计）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 A，B 同时发生时事件 C 必然发生，所以，AB C，则ABC=AB，P(ABC)=P(AB)，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 B 相互独立，所以，A 与 也相互独立，从而，即P(A)=06； B 与 也相互独立，从而 P(B-A)= =1-P(A)=P(B)=0405=0 2【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 两事件相互独立的充要条件为 P(AB)=P(A
10、)P(B)；A ，B，C 三事件相互独立的充要条件为 A，B，C 两两相互独立，且 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)因为 P(A1)= ，P(A 2)= ，P(A 3)= ，P(A 4)= ，且 P(A1A2)= ， P(A 1A3)=，P(A 2A3)= ，P(A 2A4)= ，P(A 1A2A3)=0，有 P(A 1A2)=P(A1)P(A2)， P(A 1A3)=P(A1)P(A3)， P(A2A3)=P(A2)P(A3)， P(A 1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)，P(A 2A4)P(A2)P(A4)，故 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立；A 2，A 3，A
11、4 不两两独立更不相互独立，应选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 对于(B)，f(2-x)0 且f(t)dt=1，所以正确选项为 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 p1=P0X1=F(1-0)-F(0-0) p2=PX-1)=F(1)-F(1-0)=1-e-x- -e-1，因此 p2p 1，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由
12、分布律性质得 a+b= ，由X=0与X+Y=2独立得PX=0，X+Y=2=PX=0.PX+Y=2，即 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由 U(0，1) U(0 ，1)，且 与 独立，则( ，)f(x，y)=方程 x2+2x+=0 有实根，则 (2)2-40，即 2，故【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 由全概率公式及 X 与 Y 相互独立得 F Z(z)=PZz=PXYz =PY=0PXYzY=0+PY=1PXYzY= PX.0zY=0)+PXz Y=1=PX.0z+PXz，于是当 z0 时，F Z(z)= FX(z)；当
13、z0 时，F Z(z)= 1+FX(z)从而【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 B【试题解析】 E(X)=x 1p1+x2p2+x3p3=p1+2p2+3(1-p1-p2)=3-2p1-p2=23， 2p1+p2=07，E(X 2)=x12p1+x22p2+x32p3=p1+4p2+9(1-p1-p2)=59，8 p 1+5p2=31，解 得 p1=0.2，p 2=0.3，则 p3=0.5 故选 B.【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 A【试题解析】 由，又Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=故选 A【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 D【
14、试题解析】 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=E(X 2)=1，E(X 3)=0，所以E(XY)=EX(2X2+X+3)=2E(X2)+E(X2)+3E(X)=1 Coy(X，Y)=E(XY)-E(X)E(y)=10 X 与 Y 相关 X 与 Y 不独立故选 D【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 C【试题解析】 列维一林德伯格中心极限定理要求随机变量 X1，X 2，X n 相互独立、同分布且方差存在当 n 充分大时，S n=X1+X2+Xn 才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 C【试题解
15、析】 X 1，X 2，X 3，X 4 是相互独立且均服从 N(0，4)分布，所以 X1-2X2N(0 ，20)和 3X3-4X4N(0，100)且相互独：泣，因此，如果令 a= ，则a(X1-2X2)2 2(1)；如果令 b= ，则 b(3X3-4X4)2 2(1)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 B【试题解析】 若 XN(， 2)，则 t(n-1) ，对本题来说，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 D【试题解析】 按矩估计方法：所以 2+2 的矩估计为 故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题18 【正确答案】 07【试题解析】 【知识模块】 概率论与数
16、理统计19 【正确答案】 【试题解析】 利用分布函数的规范性 F(-)=0，F(+)=1，得，从而 A=05，B= ，即分布函数 F(x)=0 5+ arctanx，-x +利用分布函数计算随机事件发生的概率，得【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=成功，则 p=P(A)，又设 n 次独立试验中 A 发生的次数为 X，则 XB(n，p) ，所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 已知 F(0)= ，即【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 D 的面积= =2 所以二维随机变量 (X，Y)的密度函数为
17、下面求 X 的边缘密度当 x1 或 xe 2 时 x(x)=0，当 1xe2 时， 所以 x(2)= .【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 X 的概率密度为 故 E(X+e -2X)=E(X)+E(e-2X)=1+【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 6【试题解析】 E(X+Y) 2=E(X2)+2E(XY)+E(Y2)=4+2Cov(X，Y)+E(X).E(Y)【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【试题解析】 设 Z=-，因 ， 是两个相互独立且均服从于正态分布的随机变量，故 ZN(0，1)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 C nkpk(1-p)n-k【试题解析】 X 1，X n 相互独立且都服从 0-1 分布， B(n ，p)即【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计
