1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对任意两个事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（A）AB=（B）（C） P(A)P(B)=0 （D）P(AB)=P(A)2 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= (a0，A 为常数)，则 Pa xa+b的值( )（A）与 b 无关，且随 a 的增加而增加（B）与 b 无关，且随 a 的增加而减少（C）与 a 无关，且随 b 的增加而增加（D）与 a 无关，且随 b 的增加而减少3 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2(a0)上服从均匀分布，
2、p=P(X2+9Y29a2)，则( )（A）p 的值与 a 无关，且 p=（B） p 的值与 a 无关，且 p=（C） p 的值随口值的增大而增大（D）p 的值随 a 值的增大而减少4 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )5 总体 XN(，5 2)，则总体参数 的置信度为 1 的置信区间的长度( )（A）与 无关（B）随 的增加而增加（C）随 的增大而减少（D）与 有关但与 的增减性无关6 以下命题正确的是( ) （A）若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立（B）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥（C）设
3、 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立（D）A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=07 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） maxX，Y（D）minX，Y二、填空题8 设 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(A+B)=_9 设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= ，则 P(Y1)=_10 设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X2)=_11 设 X，Y 相互独立且都服从标准正
4、态分布，则 EXY=_ ，DX Y=_ 12 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则=_13 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 PX E(X)2D(X)=_14 设 X1，X 2，X 100 相互独立且在区间一 1， 1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 P( )_15 设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1，X 9)与(Y 1，Y 9)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本，则 U= _16 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体的简单样本，其中参数 ，未知，令 ，则假设 H0：=0 的 t 检验
5、使用统计量_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 XN(0，1) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数17 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下： 就下列两种情况，求(X，Y) 的联合分布律：18 第一次抽取后放回；19 第一次抽取后不放回20 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望20 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2)，再设 U=aX+
6、bY，V=aX 一bY，其中 a， b 为不相等的常数求：21 E(U)，E(V)，D(U) ，D(V) ，UV；22 设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系23 一批种子中良种占 ，从中任取 6000 粒，计算这些种子中良种所占比例与之差小于 001 的概率24 设事件 A，B 独立证明：事件 都是独立的事件组25 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= ，求 y=eX 的概率密度 fY(y)25 设 D=(x，y)0x1，0y1，且变量(X ，Y)在区域 D 上服从均匀分布，令 Z= 26 令 U=X+Z，求 U 的分布函数27 判断 X，Z 是否独立28 设随机变量 X，Y
7、相互独立，且 ，Z=XY ，求 E(Z)29 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2) 令 的数学期望考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)dx=1，所以 a Aex dx=1，解得 A=ea 由P(aXa b)=aab f(x)dx=aab eaex dx=e aex aab =1 一 eb ，得P(
8、aXa+b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为(C)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2 上服从均匀分布，【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由 ，选(D)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 总体方差已知，参数 的置信度为 1- 的置信区间为 ，其中 n为样本容量，长度为 越大，所以置信区间的长度随 增大而减少，选(C) 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 当 P(A)0，P(B) 0 时，事件 A， B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(A
9、B)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 XE()，所以密度函数为 f(x)= ，分布函数为 事实上，min(X，Y)的分布函数为 Pmin(X，Y)x=1 一 Pmin(X，Y)x=1 一P(Xx，Y x)=1 一 P(Xx)P(Yx)=1-1-F(x) 2=【知识模块】 概率统计二、填空题8 【正确答案】 09【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(A+B)=P(AB)+P(B)=08【
10、知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 39【试题解析】 XB(12，05)， E(X)=6，D(X)=3，E(X 2)=D(X)+E(X)2=3+36=39【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 2，【试题解析】 因为 EZ 2=E(Z2)=D(Z)+E(Z)2=2，所以DZ=E Z 2=(EZ) 2=2 一 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 0.4【试题解析】 因为 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=0 6，所以 P(AB)=02又因为 ，所以 =P(A)+P(B)一
11、2P(AB)=0804=0 4【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 08413【试题解析】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 由 X1+X2+X9N(0，81)，得 (X1+X2+X9)N(0，1)，因为 Y1，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 13) 2+(Y23) 2+(Y93)2 2(9)，即 (Y12+Y92) 2(9)，因此 U= t(9)【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 在 未知的情况下，对参数 进行假设检验选用统计量 t= ，其中 【知识模块】 概率统计三、解
12、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 (X，Y) 的可能取值为(0，0) ，(1，0)，(0 ，1)，(1，1)【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 f(x)= 游客等电梯时间设为 T，则 T= ，于是 E(T)= T(x)f(x)dx= 05(5 一 x)dx+525(25-x)dx+2555(55 一 x)dx+5560(65 一 x)dx=1167(分钟)【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答
13、案】 E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aXbY)=0，D(U)=D(V)=(a 2+b2)2Cov(U ， V)=Cov(aX+bY，aX bY)=a2D(X)一 b2D(Y)=(a2 一 b2)2【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 U，V 不相关【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 设 6000 粒种子中良种个数为 X，则 XB(6000， )，【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)，【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(eXy)，当 y1 时，X0 ，F Y(y)=0；当 y1
14、时，X0，F Y(y)=P(eXy)=P(Xlny)= lnyfX(x)dx=0lnyex dx，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= ，U 的分布函数为F(x)=PUx，当 x0 时，F(x)=0；当 x2 时，F(x)=1；当 0x1 时，F(x)=X+Zx =PZ=0，Xx=P XY，Xx =0xdxx1dy=0x(1 一 x)dx=x 一 ；当 1x2 时，F(x)=P Z=0，Xx+PZ=1，Xx 一 1=P X Y，X1+PXY，Xx 一 1【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 设(X，Z)的分布函数为 F(x，z) ，【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 令 Yi=Xi+Xni (i=1，2，n)，则 Y1，Y 2，Y n 为正态总体N(2，2 2)的简单随机样本， =(n 一 1)S2，其中 S2 为样本 Y1，Y 2，Y n 的方差，而 E(S2)=22，所以统计量 U= 的数学期望为 E(U)=E(n 一 1)S2=2(n 一1)2【知识模块】 概率统计
