1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于( )（A）T (1)t0 （B） T(2)t0（C） T(3)t0 （D）T (4)t02 设随机变量 XN(， 2)，则 P(X 一 2)( )（A）与 及 2 都无关（B）与 有关，与 2 无关（C）与 无关，与 2
2、 有关（D）与 及 2 都有关3 设(X，Y) 服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合 l2X+l2Y 服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）=0 时 X，Y 相互独立4 设 Xt(2)，则 服从的分布为( ) （A） 2(2)（B） F(1，2) （C） F(2，1)（D） 2(4) 5 设总体 XN(， 2)，其中 2 未知，s 2= ，样本容量 n，则参数 的置信度为1 一 的置信区间为( )6 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )7 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则(
3、)（A）X+Y 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布8 在假设检验中，显著性水平 的含义是( )（A）原假设 H0 成立，经过检验 H0 被拒绝的概率（B）原假设 H0 成立，经过检验 H0 被接受的概率（C）原假设 H0 不成立，经过检验 H0 被拒绝的概率（D）原假设 H0 不成立，经过检验 H0 被接受的概率二、填空题9 设 P(A)=06，P(B)=05，P(AB)=04，则 P(BA)=_，P(A+B)=_10 设 XN(2， 2)，且 P(2X4)=04，则 P(
4、X0)=_11 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P X =_12 设 D(X)=1，D(Y)=9 ， XY=一 03，则 Cov(X，Y)=_ 13 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体的简单随机样本， 14 设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， =07，则P(A+B)=_15 设 X 的分布函数为 F(x)= ，且 Y=X2 一 1，则 E(XY)=_16 设总体 XN(0，8) ，Y N(0 ，2 2)，且 X1 及(Y 1，Y 2)分别为来自上述两个总体的样本，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设
5、X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9，XY= ，用切比雪夫不等式估计 P X+Y 一 31018 设 XU(0，2) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数18 设(X，Y)在区域 D：0 x1，yx 内服从均匀分布19 求随机变量 X 的边缘密度函数；20 设 Z=2X+1，求 D(Z)21 设 Xf(x)= ，对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)21 某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的100 个索赔户中被盗索赔户的户数22 求 X 的概率分布；23 用拉普拉斯定理求被盗
6、户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值24 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 125 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y=1 一 e2X 在区间(0，1)上服从均匀分布25 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：26 试开过的钥匙除去；27 试开过的钥匙重新放回28 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望29 设总体 XN(， 12)， YN( ， 2
7、2)，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ，样本方差为 S12，S 22记 a= 的数学期望考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 T (1)t0表示四个温控器温度都不低于临界温度 t0，而 E 发生只要两个温控器温度不低于临界温度 t0，所以 E=T (3)t0，选(C)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 P(X 一 2)=P(2 X 一 2)=P =(2)一 (一2)为常数，所以应该选(A)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 A【试
8、题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时， X，Y 才相互独立，选 (A)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Xt(2)，所以存在 UN(0 ，1)，V 2(2)，且 U，V 相互独立，使得 X= ，则 ，因为 V 2(2)，U 2 2(1)且 V，U 2 相互独立，所以 F(2 ，1)，选(C) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 2 未知，所以选用统计量 t= ，故 的置信度为 1 一 的置信区间为 ，选(D) 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 A【试题解析】 因为事件 A，C
9、 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D) 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 A【试题解析】 选(A) 【知识模块】 概率统计二、填空题9 【正确答案】 P(B A)=03，P(A+B)=0 9【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(AB)=02，于是 P(BA)=P(B)一 P(AB)=0502=0 3，P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=06+0 502=0 9【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 0.
10、1【试题解析】 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 e -1【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 -0.9【试题解析】 Cov(X，Y)=XY =一 0313=09【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 ,【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 一 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 X ，E(XY)=EX(X 2 一 1)一 E(X3 一X)=E(X3)一 E(X)，因为 E(X3)=一 803+105+802= 一 03，E(X)=一203+105+202=03，所以 E(XY)=一
11、06【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3，D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=492( )23=7，于是 PX+Y 一 310=PU-E(U)10 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= ，则 fX(x)= f(x，y)dy= 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21
12、 【正确答案】 YB(4，p)，其中 p= ，E(Y 2)=D(Y)E(Y) 2=5【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 XB(100，02)，即 X 的分布律为 P(X=k)=C100k02 k 08 100k (k=0，1，2，100)【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 E(X)=20，D(X)=16 ，P(14X30)=P( )(25)一 (一 15)=0927 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB C，于是 P(C)P(AB)，而 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)1，所以有 P(AB)P
13、(A)+P(B)一 1，于是P(C)P(A)+P(B)一 1【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 FX(x)= ， Y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(1 一 e2X y)，当 y0 时，F Y(y)=P(X0)=0；当 y1 时， FY(y)=P( X+)=1 ；当 0y1 时，F Y(y)=P(1-e2X y)=P(X ln(1 一 y)=FX ln(1y)=y 即 FY(y)= ，所以 Y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n且P(X=k)= ，k=1 ，2， ，n注意：设第 3 次才能打开门，则【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 设 Y 为开门次数，y 的可能取值为 1，2，n，【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 利用随机变量分解法【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 由 相互独立，显然 a+b=1 =E(a)+E(b)=E(a+b)=E(1)=【知识模块】 概率统计
