1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是（A）E(X Y)0（B） D(XY)0（C） E(X2Y 2)0（D）EX(YEY)02 设 A1，A 2 是两个随机事件，随机变量 Xi (i1，2)，已知X1 与 X2 不相关，则（A）X 1 与 X2 不一定独立（B） A1 与 A2 一定独立（C） A1 与 A2 不一定独立（D）A 1 与 A2 一定不独立二、填空题3 每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字 0
2、，三张卡片都写有数字 1，另两张卡片上分别写有数字 2 与 9将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为 2001911 的概率是_4 设 A、B、C 是三个随机事件， A C，B C，P(A) 07，P(AC)04，P(AB)05，则 P(AB )_5 设 A、B 是两个随机事件，0P(B)1，AB ，则 P(A )P( B)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 将 3 个球随机地放入 4 个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为 1，2，3 的概率7 将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C 分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线 y 2BC 与 轴没有交点的概率 p8 随
3、机地向半圆 (，y)：0y 内投掷一点 (r0)，事件 A 表示“掷点与原点连线和 轴正方向夹角小于， 6”，求 P(A)9 设 A、B 是两个随机事件，P(A)04，P(BA) P( )1，P(AB)07，求 P( )10 某批产品优质品率为 80，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是 90，而将非优质品错判为优质品的概率是 20，为了提高检验信度，每个产品均由 3人组成的检查组，每人各自独立进行检验 1 次，规定 3 人中至少有 2 名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品假设各检验员检验水平相同求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率11 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次
4、，每次试验的成功率甲为 07，乙为 06，试求二人试验成功次数相同的概率12 一条旅游巴士观光线共设 10 个站，若一辆车上载有 30 位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这 10 个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车求：()这辆车在第 i 站停车的概率以及在第 i 站不停车的条件下在第 i 站停车的概率；()判断事件 “第 i 站不停车 ”与“第 i 站不停车”是否相互独立13 设离散型随机变量 X 的概率分布为 PXna 2pn，n0，1，2， 试确定a 与 p 的取值范围14 设钢管内径服从正态分布 N(， 2)，规定内径在 98
5、到 102 之间的为合格品；超过 102 的为废品，不足 98 的是次品，已知该批产品的次品率为 159，内径超过 101 的产品在总产品中占 228，求整批产品的合格率15 设连续型随机变量 X 的分布函数为 求使得F(a) 达到最小的正整数 n16 假定某街道有 n 个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为 1：2今有一汽车沿该街道行驶，若以 X 表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求 X 的分布律17 设 1000 件产品中有 150 件次品，从中一次抽取 3 件，求：最多取到 1 件次品的概率18 一大批种子的发芽率是 998，从中随机地选取 100
6、0 粒进行试验，求这 1000粒种子中发芽数目 X 的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率19 一批玻璃杯整箱出售，每箱装有 12 只，其中含有 0 个，1 个，2 个次品的概率分别是 06，02，02一顾客需买该产品 5 箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取 3 只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数 X 的概率分布及检查箱数不超过 6 箱的概率 20 连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为 p(0p1)，X1 表示首次击中目标所需进行的射击次数，X 2 表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y 表示第二次击中目
7、标所需进行的射击总次数，求X1，X 2，Y 的概率分布21 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为 p1 与 p2(0p 1，p 21)求： () 甲攻擂次数 X1 的概率分布； ()乙攻擂次数 X2 的概率分布； ()擂主丙对甲、乙二人守擂总次数 X3 的概率分布 ()假设乙对丙的胜率 p2 是 14，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率22 设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为 0001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为 001 的指数分布若随机变量 X
8、 表示生产线无故障工作的时间，求 X 的分布函数 F()以及 PX100 23 设离散型随机变量 X 的概率分布为 PXn ，n1，2，求 Ytan的分布函数24 将一枚均匀的硬币接连掷 5 次()求正面出现次数 X 的概率分布；()在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比 Y 的概率分布25 若随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量 YX lnX 的概率密度函数26 设随机变量 X 服从正态分布 N(0， 2)，YX 2，求 Y 的概率密度 fY(y)27 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Ye X，求 Y 的概率密度28 设随机变量 U 服从标准正态分布 N
9、(0，1)，随机变量求：()X 与 Y 的联合分布； ()X 与 Y 的相关系数 XY29 设随机变量 X 与 Y 同分布，X ，并且 PXY0 1求(X， Y)的联合概率分布与 XY 的概率分布30 已知(X，Y)的联合密度函数 ()求常数A；(X，Y) 的联合分布函数 F(，y)，并问 X 与 Y 是否独立? 为什么? ()求条件概率密度 fXY (y) ，f YX (y) 及条件概率 PXY1X ； ()记Z1Y X，求证 Z1 服从参数 1 的指数分布，并计算 Z2X Y 的概率密度31 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数1 20， 12 221， 2求证： ( )关
10、于 X 的边缘分布是正态分布； ()在 X 条件下，关于 Y 的条件分布也是正态分布32 设随机变量 X1 与 X2 是关于 的一元二次方程 2Y 1Y 20 的两个根，并且X1 与 X2 相互独立都服从参数为 的 01 分布 ()求随机变量 Y1 与 Y2 的联合分布； ( )求 DY1，DY 2，cov(Y 1，Y 2)； ()若 UY 1Y 2，V Y 1Y 2，求DU，DV，cov(U，V)33 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 服从参数 p07 的 01 分布，Y 服从参数1 的指数分布，令 U XY，求 U 的分布函数 G(u)34 设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为
11、f(u ， v) 求证：()XUV 服从正态分布； ()YU 2V 2 服从指数分布35 设随机变量(X，Y) 在矩形区域 D(，y) ：0 20y2 上服从均匀分布，()求 U(XY) 2 的概率密度； ()求 Vmax(X，Y)的概率密度； ()求WXY 的概率密度36 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为令随机变量UX，VXY，W XY，求： ( )U 的分布函数 F1(u)； ()V 的分布函数 F2(v)； ()W 的分布函数 F3(w)； ()PVv，Ww(vw0)37 设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D(，y)：02 ，0y1 上服从二维均匀分布，随机变量 ()求U
12、 和 V 的联合概率分布； ()讨论 U 和 V 的相关性与独立性考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (X，Y) 服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是它们的相关系数 XY0，而对任何两个随机变量 X 与 Y，有 XY0 cov(X，Y)0 EXYEXEY 而 EXYEXEY 又可以变形为EXYEXEY EX(YEY)0，因此应选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 EX iP( )P(A i)12P(A i)，i1，2， E(X 1
13、X2)PX 11，X 21 PX 11，X 21PX 11，X 21PX 11，X 21 P(A 1A2)P(A 1 )P( A2)P( ) P(A 1A2)P(A 1)P(A 1A2)P(A 2)P(A 1A2)1P(A 1)P(A 2)P(A 1A2) 4P(A 1A2)2P(A 1)2P(A 2)1， EX 1EX212P(A 1)12P(A 2)4P(A 1)P(A2)2P(A 1)2P(A 2)1 因 X1 与 X2 不相关，故 E(X1X2)EX 1EX2 P(A1A2)P(A 1)P(A2)，即A1 与 A2 相互独立，应选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答
14、案】 00024【试题解析】 设事件 A“排成数字是 2001911”，将七张卡片随意排列共有 7!种不同的等可能排法此即样本空间 的样本点总数，而有利于事件 A 的卡片排列方法为 2!3!种，依古典型概率公式 P(A) 00024【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 02【试题解析】 从 A C，B C，可知 AB C，两次应用减法公式有 P(C) P(A)P(AC)0704 03， P(AB )P(ABC)P(AB)P(C)050302【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 2【试题解析】 从条件 AB 有 (AB)( )(AB)(AB)AB ，但是对任何事件 A、B ，
15、都有因此有 AB ，AB 于是 A 与 B 为对立事件，即 B， A 因此 P(A )P( B)P( )P(BB)2【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 设事件 Ai 表示盒子中球的最多个数为 i 个，i1，2，3易见A1，A 2，A 3 是一个完备事件组将 3 个球随机地放入 4 个盒子共有 43 种不同的等可能情况，即样本空间 中的样本点个数为 43事件 A1 表示盒子中球的最多个数为 1，即 4 个盒子中有 3 个盒子有球，其中每个盒子只有 1 个球，因此#A1C 43.3!根据古典概型公式 P(A 1) 事件 A3 表示盒子中
16、球的最多个数为 3，即 3 个球都放入了 4 个盒子中的 1 个盒子内，因此#A3C 41于是 P(A 3) 由于构成完备组的各事件概率之和为1，所以 P(A 2)1P(A 1)P(A 3)1 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 设事件 A 表示“y 2BC 与 轴无交点”，将一颗骰子连续抛掷两次，所有等可能的基本结果共有 36 种，即 (1，1)，(6 ，6)而A“B 24C0”=“C ”，用列举法可以确定出有利于 A 的样本点数目为 17，具体做法是：对应于第一次掷出的“1 点” ，即“B1” ，样本空间中有利于 A 的样本点有 6 个，它们分别是(1，1)，(1，6) ，对于
17、 B2，3，4，5，6，逐个分析列表如下：从表中看出，有利于 A 的样本点数目为 17，则 pP(A) 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 如图 1 一 1，设掷点坐标为(，y)，依题意，它是随机地取自以(r，0)为圆心、r 为半径的半圆内，即样本空间 (，y)：0y 事件 A 的样本点区域 G 为 G(，y)：0 ，y，这是一个几何型概率的计算问题，需要计算样本空间 所在区域的面积与有利于事件 A 的样本点区域 G 的面积： S ，S GS DOCS 扇形 DCB，其【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 对于任何概率不为零的事件 ，一定有 P(B )P( )1，结合题设
18、条件：P(B A) P( )1，可以得到 P(BA) P(B )，即 A 与 B 相互独立应用加法公式，有 P(AB)P(A)P( )P(A)P( )P(B)， P(B)05， 1P(AB)1P(A)P(B)08 或者从 A 与 B 独立知 与 也独立，因此有 P(AB)1 ， 与 P( )1P(A)P(B) 从可得 P( )05，P(B) 05，代入 得到 P()08【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 设事件 B 表示“检查的产品被判为优质品 ”，事件 A 表示“ 检查的产品实为优质品” ，X 表示 3 人中对被验的优质品判断为优质品的人数，则XB(3，09)，Y 表示 3 人
19、中对被验的非优质品误判为优质品的人数，YB(3，02)依题意 P(A)08，P( )02， P(BA)PX2C 3209 2.0109 30972， P(B )PY2C 3202 2.0802 30104， 根据贝叶斯公式，有 P(AB)0974【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 设事件 Ai 与 Bi 分别表示在两次独立重复试验中甲成功 i 次与乙成功 j 次，显然 Ai 与 Bi 相互独立，i，j0，1，2，依独立重复试验的伯努利 (二项分布)公式 P(A0)03 2009，P(A 2)07 2049， P(A 1)1P(A 0)P(A 2)042 类似地，P(B 0)04
20、2016，P(B 2)06 2036，P(B 1)048 设事件 A 表示“ 在二人各自进行的两次独立重复试验中，甲、乙二人成功次数相同”，则 P(A) P(AiBi) P(Ai)p(Bi) 0090 160420480490360 3924 如果要计算甲比乙试验成功次数多(记作事件 B)或少(记作事件 C)的概率，则 P(B) P(A 1B0A2B0A2B1)P(A 1B0)P(A 2B0)P(A 2B1) P(A 1)P(B0)P(A 2)P(B0)P(A 2)P(B1) 0420 160490160490480 3808， P(C)1P(A)P(B)02268 或 P(C)P(A 0B1
21、)P(A 0B2)P(A 1B2)02268【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设事件 Am“ 第 m 位乘客在第 i 站下车”(m1，2，30)，Bn“第 n 站停车” ，n1，2，10 ( )依题意 A1，A 2，A 3。相互独立，P(Am) ，m1，2，30类似地 P(Bj)1在第 i 站不停车，即 Bi 不发生的条件下，每位乘客都等可能地在第 i 站以外的 9 个站中任意一站下车，也就是说每位乘客在第 j 站下车的概率为 ，因此有 ()由于 P(Bj )P(Bj)，因此 与Bj 不独立，从而 Bi 与 Bj 不独立或者由计算可知 B 与 不独立，从而 Bi 与 Bj 亦不
22、独立【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 作为离散型随机变量 X 的概率函数应满足非负性与 PXn1，结合本题应有 PXna 2pn0(n0，1，2，)与 PXn a2pn1 由此可以推出 p 一定是非负的并且只有当 op1 时，级数互pn 才收敛，此时互 则 a21P，0a 1 由以上分析可以看出 a， p 的取值范围分别是：0a 1， 0P1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 依题意 PX980159，PX10100228， 0159PX98PX98( )，00228PX1011PX1011( )， ( )09772 根据与式查正态分布表，可得关于 与 的二元方程
23、组： 99，1 于是，P98X102(102 99)(9899)(3)( 1)083995 因此合格率约为 84【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由于连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，因此 F()在(， )内连续，当然在 1 与 1 处也连续，于是有 0F(10)F(1)a b， 1F(1) F(10)a b 解以 a，b 为未知量的二元一次方程组，可得 a ，b 当一 11 时，由于0，且只有当 n 时为 0，n 时大于 0比较 n2与 n3 的两个值： 当 n2 时， 当 n3 时，因此可知，当 n3 时，F(a) 达到最小，其最小值为 112【知识模块】 概率论与
24、数理统计16 【正确答案】 事件“Xk” 表示汽车在前 k 个路口均遇到绿灯，而在第 k1 个路口遇到红灯，所以 PXk ，k0，1，2，n1 而 PXn( )n，将其列成表格形式即为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由于超几何分布中产品总数(1000)很大，而从中抽取的产品数量(3件)相对很小，因此可将超几何分布用二项分布 B(3，015)近似，即 PX1PX0PX1085 3C 31015085 2093925【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由于该批种子数量很大，因此可以认为 X 服从二项分布B(1000，0998)，即 PX k C 1000k0998
25、k0002 1000-k，k0，1，1000 设 1000 粒种子不发芽的种子数为 Y，则 Y1000X 且 YB(1000，0002)Y所服从的二项分布参数 n1000 和 p0002 显然满足泊松定理条件，因此 y 近似服从参数 np2 的泊松分布，于是 PY1e 2e 2 027【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 Ai 表示一箱中有 i 个次品，i0，1，2；B 表示一箱通过检查 P(B)P(A 0BA 1BA 2B) P(Ai)P(BA i) 06 02( ) 0602( )0859， 于是 X 的概率分布为 PXk5C k+44p4.qk.pC k+44p5qk，k
26、0，1，2，； 或 PXkC k-14p4.qk-5.pC k-14p5qk-5，k5，6，其中 p0859，q0141 PX 5PX6p 5C 54p5q0859 550859 50141 046770329707974【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 显然 X1，X 2，Y 都是离散型随机变量，X 1 与 X2 的取值都是1，2，而 Y 的取值为 2，3， PX inpq n-1，n1，2，q1p，i1，2， PYnC n-11pqn-2.p(n1)p 2qn-2，n2，3， 或根据 YX 1X 2 且 X1 与 X2 相互独立，可得 PYnPX 1X 2n PX1m，X
27、2nm PX1mPX 2nm pqm-1.pqn-m-1 (n 1)p2qn-2，n2，3，【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响，故这是一个独立试验序列问题 事件“X 1n” 表示“甲与丙对阵 n 局”即“甲、乙各自与丙在前 n1 次对局中均失败，在第 n 次对局中甲胜丙”或“ 甲、乙各自与丙在前 n1 次对局中均失败，在第 n 次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第 n 次对局中乙胜丙”，则 PX 1n(q 1q2)n-1(p1q 1p2)，n1，2， 其中 qi1p i，i 1，2 ()“X20”表示甲与丙第一次对局攻擂成功，乙未上
28、场PX 20p 1；“X 2n”(n1)表示“甲、乙与丙各对阵 n1 次均失败，甲、丙第 n 次对阵中甲又失败，但乙、丙第 n 次对阵中乙胜丙”或者“ 甲、乙与丙各对阵 n 次均失败甲在第 n1 次与丙再对阵时胜丙” ，则 PX2n (q 1q2)n-1(q1p2q 1q2p1)q 1(p2q 2p1)(q1q2)n-1，n1，2， () 显然若丙的守擂次数为奇数，则表示甲攻擂成功，否则为乙攻擂成功 “X 32n1”表示“丙在前 2n2 次守擂均成功，第 2n1 次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局 n1 次均失败，而在甲与丙的第 n 次对局中甲胜丙” ，因此有 PX 32n1(q 1q2)n
29、-1p1，n1，2， 类似分析可知 PX32n(q 1q2)n-1q1p2，n1，2， ()设事件 A 表示“ 甲攻擂成功”，则若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则 P(A)12，即 将p214 代入上式，得 p115 或甲、乙胜率相同的充分必要条件是 P(A)P( )，即【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 当 0 时，F() PXPX00； 当 0 时，F()P0PX0 0001； 当 0 时，F() PXPX0，XPX0，X 而 PX0，X PX0 0 001； PX 0，XPX0PXX00999(1e 001 ) 故 X 的分布函数为PX100 1PX1001F(100)0999
30、e -103675【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于 X 取值为所有正整数，因此 Y 的取值只有 事件 是可列个两两互不相容事件X2，X5，X3n 1，的和，根据概率的可列可加性，有类似地有由于事件Y ，Y0， Y 是一个完备事件组，因此有 PY 1PY PY047 于是 Y 的分布函数 F()为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 掷 5 次硬币，正面出现次数 X 的取值为0，1，2，3，4，5每次掷出正面的概率为 ，因此 X 服从参数为(5， )的二项分布： PXk ，k0，1，2，3，4，5， 即()为求比值 Y 的分布，先求 X1 的分布，X 1表
31、示在“掷 5 次硬币至少出现了一次反面 ”的条件下正面出现的次数，则 X1 的取值为 0，1，2，3，4设 A 表示事件“5 次中至少出现一次反面”，则 P(A)1PX51 随机变量 X1 的概率分布为 PX 1kPXkA ， 即 由已知条件Y ，则 Y 相对于 X1 的 5 个取值为 0， ，4，于是由 X1 的概率分布可得 Y 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 F Y(y)PYyPX lnXyP y 当 Yi 时，Fy(y)0；当 y1 时，由于 X 在(0，1)上取值，故有 F Y(y)P(lnX) 2lnyP lnX0P X11 ， 从而 Y 的分布函数为
32、于是 Y的密度函数【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由于函数 yg() 2 在(，)内不是单调函数，我们用分布函数法求 Y 的概率密度 显然当 y0 时，F Y(y)PYy0 当 y0 时，F Y(y)PYyPX 2yPX 由于 XN(0 ， 2)，故X N(0，1)由于 将 FY(y)对 y 求导数，得 Y 的概率密度函数为 其中 ()与()分别表示标准正态分布的分布函数与概率密度【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由于 ye 是单调函数，其反函数 lny h(y)亦单调可导，当y(1，)时，导数恒不为零(因 X 只取正值，故 Y 只取大于 1 的值)应用单调函
33、数公式法，得 Y 的概率密度为当 y1 时，F Y(y)0；当 y1 时， F Y(y)PYy 1YfY(t)dt【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 () 随机变量(X，Y) 只可能取(1，1)，( 1，1)，(1，1)与(1，1)各值 PX1， Y1 PU0 ，U196P196U0 (0)(196)0500250475 类似地，可以依次计算出其他三个概率值，将计算结果列于下表： ()从()中联合分布表可以得到关于 X 与 Y 的边缘概率分布分别为EX0，EY09， EXY(1)(1)0 475 ( 1)10 0251(1)0475110025 0， cov(X，Y)EXY EX
34、EY0 由于 cov(X，Y)0，因此我们不必计算 DX 与 DY，直接得出 XY0【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 先将 X 与 Y 的全部可能取值与边缘分布列出(X，Y) 的联合分布结构表，有依题意计算 pij：PXY01PXY00 但是事件XY0是四个两两互不相容事件X 1，Y 1，X1，Y1， X1，Y 1，X 1，Y 1的和，因此它们的概率都是零，即 p11p 13p 31p 330再从边缘分布与联合分布的关系容易算出 p12p 32p 21p 23025，p 220将所得数据代入联合分布表中 Pij 处得到(X，Y) 的联合分布如下：从联合概率分布表容易看出 XY，
35、只取1 和 1 两个可能值其概率都是 05，即XY 的概分布为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 () 因为 1 f(，y)ddy 0 d Ae ey dyA 0 e d ，所以 A2 F(，y)PX，Yy yf(u，v)dudv， 当 0 或 y0 时，F(，y)0； 当 0y时， F( ，y) 0yduuy2e-ue-vdv2 0y(e-2ue-ye-u)du (e -2u2e -ye-u) 0y12e -ye -2y， 当 0 Y 时， F(，y) 0duuy2e-ue-vdv2 0(e-2ue -ye-u)du (e -2u2e -ye-u) 012e -ye -22e
36、-(+y) 综上得，因为FX().FY(y)F(，y)，所以 X 与 Y 不独立 ()由于X 的概率密度 Y 的概率密度()通过求 Z1YX 的分布函数(或概率密度 )来证明 Z1 服从参数 1 的指数分布 Z 1YX 的分布函数 F1(z)PY Xz f(，y)ddy， 当 z0 时，F1(z)0；当 z0 时， F 1(z) 0 dz 2e ey dy2 0 e (e e ez )d (1 ez )20 e2 d1e z 综上得 所以Z1Y X 服从参数 1 的指数分布 若(X， Y)f( ，y)，则 Z2XY，的概率密度 f 2(z) f(，z)d f(zy，y)dy， 其中 f(zy，
37、y)， 即 0yz2)， 所以当 z0 时 f2(z)0；当 z0 时 f 2(z) 2e-zdyze -z 综上得 f2(z)【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 () 依题意，(X，Y) 的联合密度 f(，y)为计算结果表明 fx()是标准正态分布 N(0，1)的概率密度，即 XN(0，1) ()这一结果恰是正态分布 N( )的概率密度，因此说明在 X 条件下，Y 的条件分布为正态分布 N( )【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 () 依题意，有 Y1(X 1X 2)，Y 2X 1X2显然 Y1，Y 2 都是离散型随机变量，并且其分布分别为 PY12，Y 20PX
38、 1X 22，X 1X20 0 根据边缘分布与联合分布的关系可以逐一求出 pij，列表如下： ()EY1 1，EY 12 ，DY 1 ； EY2 ，DY 2 ；EY 1Y221 ； cov(Y 1，Y 2)EY 1Y2EY 1EY2 ( )由于 D(Y1Y2)DY 12cov(Y1，Y 2)DY 2，所以有 DUD(Y 1Y 2) ， DV ， cov(U ，Y) cov(Y1Y 2，Y 1Y 2)DY 1DY 2 【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 Y 的分布函数 F(y) 应用全概率公式 G(u)PXYu PX0PXYuX0PX1PXYu X 1 03PY uX007PY1u
39、X1 由于 X 与 Y 独立，则 PYuX 0PYu PY1uX 1PY1 u 因此，随机变量 U 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 () 由题设条件可知，(U，V) 服从二维正态分布，因其相关系数 0，则 U 与 V 相互独立且都服从标准正态分布 N(01)根据独立随机变量和的卷积公式，X 的概率密度 fX()为计算得知 XN(0，2) ()当 y0 时，Y 的分布函数 FY(y)0当 y0 时， F Y(y)PYyPU 2V 2y因此 Y 的分布函数为 即 Y 服从参数为 12的指数分布【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 () 设 U 的分布函数为
40、 FU(u)，则 当 u0 时，F U(u)PUu0； 当 u16 时，F U(u) PUu1； 当 0u4 时，如图 71(a)：FU(u)P(XY) 2u P0XY 当 4u16 时， F U(u)P(XY) 2uP0XY 因此 U 的概率密度 fU(u)为()记 V 的分布函数为 FV(v)，由于(X，Y)服从均匀分布的区域 D 是边长平行于坐标轴的矩形因此 X 与 Y 相互独立且都服从区间(0 ，2) 上的均匀分布，它们的边缘分布函数都是FV(v)PVvPmax(X，Y)v PXv，YvPXvPYv F X(v)FY(v)F(v) 2 于是 V 的概率密度 fV(v)为 ()记 W 的
41、分布函数为FW(w)，则 当 w0 时，F W(w)0；当 w4 时，F W(w)1； 当 0w4 时，如图71(b)： FW(w)PWwPXYwSD ww(2ln2lnw)， F W(w) (12ln2lnw) 或先计算概率 PXYw ： PXYw f(，y)ddy 由于(X，Y)服从 D 上均匀分布，其联合概率密度 f(，y)为FW(w)1PXYw (12ln2lnw) 于是，W 的概率密度 fW(w)为【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 () 由于随机变量 X 只取正值，因此随机变量 UX 只取负值当 u0 时 F 1(u)PUuPXu PXu f(，y)ddy u d04
42、e2 dy u 4e2 d(1 2u)e 2u， 故 U 的分布函数 F1(u)为()当 v0 时，F 2(v)0；当 v0 时，故 V 的分布函数 F2(v)为 ()当 w0 时，F3(w)0；当 w0 时， F 3(w)PXYw f(，y)ddy 0wd04e2 dy w dw w4e2 dy 0w4e2 d w 4( w)e 2 d (2e 2 e2 0w2we 2 w 12we 2w e 2w 2we 2w 1e 2w 故W 的分布函数 F3(w)为 ()PVv，WwPXYv，XYw【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 依题意可知 X 与 Y 的联合概率密度为(I)(U，V) 的可能取值为(1，1) ，(1， 1)，(1，1)，(1， 1)，如图 81， 则有PV1Py ， PU1 PX 2Y 21PU1，V1PX 2Y 21，XYPU1，V1PV1PU 1，V 1 类似地(或根据联合分布与边缘分布的关系)可以计算出其他 pij 的值，列表如下：()从(U，V) 的联合分布与边缘分布可以计算出 EU 41，EV12，EUV 12 计算可知EUVEUEV，即 U，与 V 相关，当然 U
