1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 随机变量序列 X1，X n，相互独立且满足大数定律，则 Xi 的分布可以是（A）PX im ，m 1，2，（B） Xi 服从参数为 的指数分布（C） Xi 服从参数为 i 的泊松分布（D）X i 的概率密度 f() 2 设统计量 Y 服从 F 分布 F(m，n)，F (m，n)满足 PYF(m，n) ，则 F1-(m，n)等于（A）1F (m，n)（B） 1F (n，m)（C）（D）二、填空题3 某选择题有四个选项(四选一)，已知考生知道正确答案的概率为 ，该考生虽然知道
2、正确答案但因粗心选错的概率为 ，如果考生不知道正确答案只能随机地选，则该考生选对答案的概率 _；若已知该考生选对了答案，那么他确实会做该题的概率 _ 4 设随机变量 X，Y 分别服从正态分布 N(1，1)与 N(0，1)，E(XY)01，则根据切比雪夫不等式 P4 X2Y6_5 设 X1，X 2，X n，相互独立都服从参数为 2 的泊松分布，则当 n 时，Xi2 依概率收敛于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为试判断 X 与 Y 的独立性以及 X2 与 Y2 的独立性7 设随机变量 X 的概率密度为 f()ae 2 ( )，随机变量Y
3、1X，Y 2X 2 ()确定常数 a 的值； ()讨论 X 与 Yi(i1，2)的相关性与独立性8 设随机点(X，Y) 在单位圆内的联合密度为()求常数 C； ()判断X，Y 的独立性与相关性； ()设随机点的极坐标为(R，)，求(R，) 的联合密度，并判断 R， 的独立性9 一条生产线生产的产品正品率为 p(0p1)，连续检查 5 件，X 表示在查到次品之前已经取到的正品数，求 X 的数学期望(在两次检查之间各件产品的质量互不影响)10 自动生产线在调整后出现废品的概率为 p(0P1) ，当在生产过程中出现废品时，立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数 X 的概率分布、数学期望和方
4、差11 设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，随机变量 Y 为求：()Y 的概率分布； ()Y 的期望 EY 与方差DY12 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，已知 PX0 1e -1求： ( )PX1； ( )X 与 X2 的协方差13 设 X 是连续型随机变量，且已知 lnX 服从正态分布 N(， 2)，求 X 与 X2 的期望14 已知随机变量 X 的概率密度为 f()Ae (B) ()，且有 EX2DX，试求： () 常数 A，B 的值； ()E(X 2e )； ()Y 的分布函数 F(y)15 一个正四面体的四个面上分别标有数字 1，2，3，4连续抛掷两次，以底面上数字作
5、为掷出的数字，记 X，Y 分别表示两次掷出数字的最大值与最小值计算XY 与 XY 的协方差矩阵 的逆矩阵16 设随机事件 A、B 相互独立，P(A)P，0P 1，且 A 发生 B 不发生与 A 不发生 B 发生的概率相同，令随机变量求：()二维随机变量(X， Y)的概率分布； ()X Y 的概率分布； ()X 与 XY 的相关系数 17 设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量 XXY ，X 2XY，已知(X 1，X 2)的概率密度函数为 f( 1， 2) ()求 X 与 Y 的边缘概率密度； () 计算 X 与 Y 的相关系数 XY18 设随机变量 X 与 Y 的联合密度为 其中 D是由两坐标
6、轴与直线 y10 所围有界平面区域(如图 91)求 X 与 Y 的相关系数19 设随机变量(X，Y) 在区域 D(，y) ：01， 0y1上服从均匀分布，随机变量 U(YX) 2求 U 的期望与方差20 设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D(，y)：02 ，0y1 上服从均匀分布，随机变量 Zmax(X， Y)，求 EZ 与 DZ21 某商店销售某种季节性商品，每售出一件获利 5(百元)，季度末未售出的商品每件亏损 1(百元) ，以 X 表示该季节此种商品的需求量，已知 X 等可能的取值1，100中的任一正整数，问商店应提前贮备多少件该种商品，才能使获利的期望值达到最大22 设随机变量(X，
7、Y) 在区域 D(，y) ：02， 0y2上服从均匀分布，求矩阵 A 是正定矩阵的概率23 设随机变量 X1 服从参数为 2 的泊松分布，而 X2 服从二项分布 B(4，05)，X 3服从区间3，3 上的均匀分布，判断以矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组 A0 的解的情况24 籍产品右 10 件其次品数从 0 到 2 是等可能的开箱检验时从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率是 2，一件次品被漏查误判为正品的概率是 10试求：()检验一箱产品能通过验收的概率；()检验 100 箱产品通过率不低于 90的概率25 将一枚骰子独立地重复
8、掷 n 次，以 Sn 表示各次掷出的点数之和 () 证明：当n时，随机变量 Un 的极限分布是标准正态分布； ()为使 P350100 95，至少需要将骰子重复掷多少次?26 设 X1，X 10 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记Y ，T ，已知 PTa005，求 a 的值27 设总体 X 服从自由度为 m 的 2 分布，其概率密度是 f(；m)X 1，X 2，X n是取自 X 的一个简单随机样本，其样本均值 的概率密度记为 g(y) ()试将 g(y)用 X 的概率密度表示出来； ()具体计算 Y 的期望与方差28 设 X1，X 2，X 3，X 4 是取自正态总体
9、N(0，4)的简单随机样本，令Y5(X 12X 2)2(3X 3 4X4)2，求 PY229 设总体 Xi 服从正态分布 N(i， i2)， 与 Si2 分别是取自总体 Xi 的样本均值与样本方差，i1，2，且 X1 与 X2 相互独立 ()求证 ，S 12， ，S 22 相互独立； ()如果 1 2 ，令 i ，i1，2，求统计量 Y 的数学期望30 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2， ，X n 是取自 X 的样本 ，S 2分别是样本均值与样本方差试确定下列估计量中 a，b 的取值范围 ()a (1a)S 2 是 的无偏估计量； () 是 2 的无偏估计量31 设 X1，X
10、 n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为()求未知参数 的矩估计量 ； ()求未知参数 的最大似然估计量 32 设总体 X 服从二项分布 B(10，P)， 1， n 是取自总体 X 的一个简单随机样本值求未知参数 p 的最大似然估计量 33 设总体 X 服从0， 上的均匀分布，X 1，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本 () 求 的矩估计量 ； ( ) 是否为 的无偏估计量，为什么 ? ()求 的最大似然估计量 ； () 是否为 的无偏估计量，为什么?34 设总体 X 的概率密度为 f(；) ， ，00 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本求 的矩估计
11、量与最大似然估计量35 设某地区在一个月内发生重大交通事故的次数 X 服从参数为 的泊松分布(0)，现有九个月的样本观察值7，0，3，2，0，5，4，2，4，求一个月内无重大交通事故的概率 p 的最大似然估计值36 设随机变量 X 服从正态分布 N(，8)， 未知现有 X 的 10 个观察值1， 10，已知 1500 ()求 的置信度为 095 的置信区间； ()要想使 095 的置信区间长度不超过 l，观察值个数 n 最少应取多少? ()如果n100，那么区间( )作为 的置信区间时，置信度是多少?37 某种内服药有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为 022 的正态分布现研制出
12、一种新药品，测试了 10 名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下： 18，27，23，15，18，15，18，20，17，8， 问这组数据能否支持“新药的副作用小 ”这一结论 (005)?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 相互独立的随机变量 X1，X 2，如果 X1，X 2，同分布，只要EXi 存在，则 X1，X 2，服从辛钦大数定律；若 X1，X 2，不同分布，但 Xi 的期望、方差应都存在，且方差要一致有界，则 X1，X 2，满足切比雪夫大数定律据此分析： 在选项 A
13、 中同分布，EX i ，由于级数是收敛的，因此 EXi 存在，X 1，X 2，满足辛钦大数定律，应选 A 进一步分析，在选项 B 中，DX i i 2；在选项 C 中，DX ii ，它们均不能对 i一致有界，因此不满足切比雪夫大数定律 在选项 D 中，由于，因此 故 EXi 不存在，所以不能满足辛钦大数定律【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 若 YF(m，n)，则 F(n，m) ，依题意 PYF 1-(m，n)1，PYF 1-(m，n)， 但是P F(n，m)，所以 F(n，m) ，F 1-(m，n) ，应选D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】
14、 ； 【试题解析】 设事件 A1“该考生不知道正确答案 ”，A 2“知道正确答案，但因粗心选错”，A 3“知道正确答案且是正确答对”易见 A1，A 2，A 3 构成一个完备事件组且 设事件 B 表示“答对题目”，则有 (BA 1) ，P(BA 2)0，P(B A 3)1 根据全概率公式及贝叶斯公式故 ； 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 0816【试题解析】 E(X2Y)EX2EY1， cov(X，Y)EXYEXEY 01，D(X2Y)DX4cov(X，Y) 4DY46， P4X2Y6 PX2Y151 0816【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 6【试题解析】 依题意
15、 X12，X 22，X n2亦相互独立同分布，其共同的期望存在：EXi2 DXi(EX i)2 26，设 Yn Xi2，根据辛钦大数定律，当 n 时，Yn Xi2 依概率收敛于 EXi2，即 Yn 依概率收敛于 6【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 为判断 X 与 Y 的独立性，题设已知道 X 与 Y 的联合概率分布，我们应求出 X 和 Y 各自的边缘概率分布从表中得出： PX1，Y 1005，PX1PY1006 由于 PX1，Y1P，X1PY1，因此 X 与 Y 不独立 为判断 X2 与 Y2 的独立性，我们再求 X2 与 Y2
16、的联合概率分布与 X2 及 Y2 各自的边缘概率分布：显然(X 2，Y 2)只取(0，0)，(0，1)，(1，0) 及(1，1)四个可能性值 PX 20，Y 20PX0，Y0020， PX 20，Y 21PX0，Y1PX0，Y1020， PX 21，Y 20PX1，Y0PX1，Y0030， PX 21，Y 211 一 PX20，Y 20PX 20，Y 21PX 21，Y 20 030 将 X2 与 Y2 的联合概率分布与其边缘概率分布列于下表从表中数据可以计算出对所有 i，j0，1，均有 pijp i.pj，因此 X2 与 Y2 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 ()1
17、f()da e2 d2a 0 e2 da a1 ()EX f()d e2 d0， EXY1 EX X ee 2 d0， cov(X，Y 1)EXY 1EXEY 10 从 cov(X1，Y 1)0 可得 X 与 Y1 不相关 对于任何正实数 b：0b，有0PXb1，但是 PXb，Y 1bPXb ， XbPX b PY 1b，PXbPY1bPY 1b 由于当 b0 时，PXb，Y 1bPXbPY1b，因此 X 与 Y1 不独立我们的结论是 X 与 Y1 不相关，但是它们不独立 类似地有EXY2 EXX2EX 30，cov(X ，Y 2)EXY 2EXEY 20 因此，X 与 Y2 亦不相关 对任何
18、实数 c0，PXc1但是当 c1 时，事件Xc X2c PXc，Y 2cPXc，X 2cPX 2cPY 2c， PXcPY 2CPY 2c 由于 PXc，Y 2cPXcPY2c，因此 X 与 Y2 也不独立【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 由于 fX.fY(y)f(，y)，所 X，Y 不独立 又 E f()d0，(对称区间奇函数) EXY yf(，y)ddy(1 2y 2)ddy0， 所以 cov(X，Y)EXYEX.EY0由此可知X、Y 既不独立，也不相关 ()直角坐标到极坐标的变换 rcos ，yrsin，其雅可比行列式 Jr，故(R，)的联合密度为由于 f(r，) fR(r
19、).f)，故随机变量 R， 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 求离散型随机变量 X 的数学期望需要先确定 X 的概率分布易见X 只取 0，1，5 共 6 个可能值当 n5 时，事件 Xn 表示抽查 n1 件产品，前 n 件为正品，第 n1 件为次品；当 n5 时，X5表示抽查的 5 件均为正品X 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 X 是离散型随机变量，其取值为 0，1，2，且 PXnpq n，n0，1，2，q1P EX 与 DX 可以直接根据 X 的分布计算，即DXEX 2(EX) 2 但是上述计算过程比较繁杂，我们注意到 X 与参数为 P 的
20、几何分布有很密切的关系，即若令 PYnpq n-1，n1，2，则 XY 1，而 Y 是参数为 p 的几何分布，其 EY ，DY ，应用随机变量函数的期望与方差公式，有 EXE(Y1)EY1 ，DXD(Y 1) DY 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 () 记 aPY1，bPY1 ，q1P，则 baPY 1PY 11， ba PY1PY1C n0p0qnC n1pqn-1C n2p2qn-2C n3p3qn-3 C n0(p) 0qnC n1(p)q n-1C n2(p) 2qn-2C n3(p) 3qn-3C nn(p) nq0 (q P) n 解方程组于是 Y的概率分布为 (
21、)EYPY1 PY1ba(qp) n， EY 2PY1PY1ba1， DYEY 2(EY)21(q p) 2n【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 依题意 PX0 e e ，又 PX01PX0 e -1，于是有 e e 1 ，1 ()PX1 PX0PX1e 1 e1 2e 1 ()EX1，EX 2DX(EX) 2 22，故 EX3 5 于是 cov(X，X 2)EX 3EXEX 25123【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 令 YlnX则 Xe Y，这是求正态分布随机变量 Y 的函数的数字特征问题 EXEe Y 对 的指数进行配方：用同样方法计算 EX2：【知识模块】
22、 概率论与数理统计14 【正确答案】 () 由 f()Ae (B) 将 f()看成正态分布 XN( )的密度函数，由已知条件 EX2DX，得 1，B2 而 从而 A ， B2 ( )E(X 2e )EX 2 Ee EX2DX(EX) 2故 E(2e ) ()XN(1， )，X1 N(0， )， (X1)N(0，1) 当 y0 时，F(y)0 当 y0 时，F(y)PYyP X1yPy (X1)y 2(y)(0)2(y)1 其中(y)为标准正态分布的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其联合概率分布及关于 X，Y 的边缘分布如下表：根据上表
23、，得cov(X，Y) EXY EXEY 应用随机变量函数协方差的公式 cov(aXbY， cXdY)acDX(adbc)cov(X，Y)bdDY， 可以计算出 XY与 XY 的方差与协方差 D(XY)cov(X Y，X Y)DX2cov(X，Y)DY ， D(XY) DX 2cov(X，Y)DY ， cov(XY ，XY)DXDY0 因此 XY 与 XY 的协方差矩阵是二阶对角阵 ，其逆矩阵为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 依题意 P(A )P( B)，由于 P(B)P( B)P(AB)，P(A)P(A)P(AB)，故 P(B)P(A)P，P(AB)P(A)P(B)p 2 (
24、)(X，Y)是二维离散型随机变量，其可能取值为(0，0)，(0，1) ，(1，0)，(1 1)(称为二维 01 分布)，且 PX0，Y0P( )P( )1P； PX 0，Y 1P( AB)0； PX1，Y0P(A )PA( )P(A )p(1p)； PX 1，Y 1P(AAB)P(AB)P 2 于是(X，Y)的概率分布为()XY 是一维离散型随机变量，其可能取值为 0，1，2，且 PXY0PX0，Y01p； PXY2PX1，Y1p 2； PX Y11PXY0PXY2 1(1p)p 2p(1p) 于是 XY 的概率分布为()从() 中容易算出 EXp，DXp(1p) ，EYp 2，DYp 2(1
25、p 2)， EXY p 2，cov(X，Y)EXY EXEYp 2p 3 p2(1p) 应用随机变量函数的方差公式及协方差的性质，有 D(XY) DX2coy(X，Yy)DYp(1p)2p 2(1p)p 2(1p 2) p(1 p)(13pp 2)， cov(X，XY)DXcov(X，Y) p(1p) p 2(1p)p(1 p)(1p)， 于是 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 () 从(X 1，X 2)的概率密度函数可知 (X1，X 2)服从二维正态分布，且 14， 22， 1 ， 21， 0根据二维正态分布的性质 0X1 与 X2 独立而且 X1 与 X2 的线性函数 X，
26、Y 都服从正态分布依题设EX (EX1EX 2)3，DX (DX1DX 2)1； EY (EX1EX 2)1，DY (DX1DX 2)1 于是有 XN(3，1) ，Y N(1，1)，其边缘概率密度分别为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 EX24 012d01 ydy12 012(1) 2d 同理 EY EX24 01301 ydy12 013(1) 2d ，EY 2 DXDYEX 2(EX) 2， E(XY) 24012d01 y2dy8 012(1) 3d 8 01(23 33 4 5)d cov(X，Y)E(XY)EX.EY ， XY【知识模块】 概率论与数理统计19 【正
27、确答案】 令 VYX，则 UV 2.V 的分布函数与概率密度分别记作 F(v)与 f(v)，区域 D1，D 2 如图 92 所示， ，S D 分别为区域 D1，D 2，D 的面积，则根据均匀分布的性质有EUEV 2 -10v2(1v)dv 01v2(1v)dv EV 2EV 4 -10v4(1v)dv 01v4(1 v)dv ， DUEV 2(EV) 2【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 将 Zmax(X ，Y)作为 X 与 Y 的函数，应用随机变量函数的期望公式计算 Z 的期望与方差依题意【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设提前贮备 n 件商品，则商店获利为 Y
28、g(X ；n)，依题意 n 应使EY 达到最大为此需先写出利润函数 Yg(X；n)，由题设知，当商店有 n，件产品时，该季节商店获利为(单位：百元) ，其中需求量 X 的概率分布为 PXk (k1，2，100)，故 n 应使EYn 达到最大为求 n，我们考虑 h()5033 2，令 h()50360，解得 83 8，故 n84 ，即商店最佳进货量为 84 件【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 矩阵 A 是正定矩阵的充分必要条件是矩阵 A 的各阶顺序主子式都大于零，即 A 是正定矩阵 设事件 B 表示“矩阵 A 是正定矩阵” ，依题意，(X，Y) 的联合概率密度【知识模块】 概率论
29、与数理统计23 【正确答案】 依题意 EX1DX 12，EX 12DX 1(EX 1)26； EX2np 2，DX 2npq1，EX 225； EX 3 (ab)0，DX 3 (ba)23，EX 323 由于方程组系数矩阵行列式A0，因此该齐次方程组 A0 有无穷多解若进一步分析，矩阵A 的秩是 2，因此其方程组的基础解系中只有一个解向量事实上方程组的全部解为 (c 为任意实数 )【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 设事件 B“一箱产品通过验收 ”， 1“ 抽到一件正品”，Ai“箱内有泮 i：次品”，i0，1，2，A 0，A 1，A 2 是一完备事件组依题意， P(Ai)
30、，P(B 1A i) ，i0，1，2， P(BB 1)098，P(B )010 应用全概率公式 P(B 1) P(Ai)P(B1A i) 09 由于B 与 为对立事件，再次应用全概率公式 P(B)P(B 1)P(BB 1) 09098010 10892 ()由于各箱产品是否通过验收互不影响，且每箱产品通过验收的概率都是 0892，100 箱产品中通过验收的箱数 X 服从二项分布，参数 n100，p0 892 可以应用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理近似计算所求概率，其中 np892， 31 PX901P0X 90 11(026) 03974【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 设
31、X1，X 2，X n 表示将一枚骰子独立地重复掷 n 次各次掷出的点数，易见它们是独立同分布随机变量，且 EXk35(k1，2，n)不难计算其方差： EX k2 (122 26 2) ， DX kEX k2(EX k)2： 35(k1，2，n) 由于 SnX 2X 1X n，则 ESn35n，DS n 因此根据列维一林德伯格中心极限定理知，当 n时随机变量的极限分布是标准正态分布 ()掷骰子需要重复的次数 n，满足下列关系式：由此可见 196，n 112047 于是为满足所给条件，至少需要将骰子重复掷 1121 次【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 依题意有 N(0，1)， 2(
32、9) 根据t 分布的应用模式PTaP3T3a 005 查 9 个自由度，005 的 t 分布表，得其上分位数为1833，即 3a1833， a0611【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n。相互独立且与总体 X 同分布，即 XiX 2(m)，i1，2，n应用 2 分布可加性可知 YXi 2(mn)， Y 的概率密度为 f(y，mn) 是 Y 的函数 ，由于是 y 的单调函数且其导数为 0，应用单调函数的密度公式可直接得出 的概率密度应为 g(y)nf(ny ，mn) ()设随机变量 Y1，Y 2，Y mn 相互独立且都服从标准正态
33、分布 N(0，1) ，则随机变量 Y12，Y 22，Y mn2 也相互独立且都服从一个自由度的 2 分布于是 YY 12Y 22Y mn2 2(mn) 由于 YiN(0，1)，EYi0，EY i2DY i1，【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 因 X12X 2N(0，20)， N(0 ，1)，类似地，N(0，1) ，又因 X12X 2 与 3X34X 4 相互独立，根据 2 分布的应用模式可知 查 2 个自由度，上分位数为 002 的 2 分布上分位数表，可得概率 p 002099，即 PY2001【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 () 由于( ，S 12)与(
34、，S 22)分别取自两个相互独立的正态总体样本，所以它们相互独立，又因正态总体的样本均值与样本方差相互独立，所以与 S12 相互独立， 与 S22 也相互独立对于任意实数 a，b，c，d 有 P a，S 12b， c，S 22dP a，S 12bP c，S 22d P aPS12bP cPS22d， 于是 ，S 12， ，S 22 相互独立 ()从( )可知 i 与相互独立，i1，2，依题意 1 21，从而 EY(E 1E 2)E( 1 2)【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由于总体 X 服从参数为 的泊松分布，于是有 EXDX ， E ， 又因样本方差 S2 是总体方差 DX
35、 的无偏估计量，故 ES2 ( )Ea (1a)S 2aE (1a)ES2a (1 a) 由于 a，a (1a)S 2 都是 的无偏估计量，因此 a 的取值范围是全体实数，即 a(，) () 2b 由于 的无偏估计量，所以有 ( b) 2 2，b 【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 () 要求 的矩估计量 ，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系记 EX ，则 e() d1 1 于是得 0 的矩估计量 1 ()对于总体 X 的样本值 1， 2， n，似然函数为当 0min( 1， n)时，似然函数是零； 当 0min(1， ， n)时，L 是 的单调增函数，因此当 mi
36、n(1， n)时，L 达到最大值，即 的最大似然估计量为min(X 1，X n)【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 对于总体 X 的样本值 1， n，似然函数为解似然方程 得到 p i 因此，p 的最大似然估计量 【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 () 记 EX ，则 EX2，即 2 故 的矩估计量 () 由于 2EX2 ，因此 是 的无偏估计量 () 对于总体 X 的样本值 1， n，似然函数当 max( 1， n)时，L0 当 0max(1， n)，L 是 的单调减函数，因此当 max(1， ， n)时，L 达到最大值故 的最大似然估计量max(X 1，X n
37、) ()为求 的期望值，需先求 的分布 因总体 X 服从0， 上均匀分布，因此 Xi(i1，n)都服从0， 上均匀分布，其分布函数为概率密度为 的分布函数记为 G()，概率密度记为 g()，则 当 0 时，G()0；当 0 时，G()1；当 00 时， G()P Pmax(X 1，X n)P (Xi) 由于 X1，X n 相互独立，于是有计算得出 不是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 总体 X 的概率密度中只有一个未知参数，在求 的矩估计量时我们首先考察 X 的期望，但是 f()是一个偶函数，其数学期望为零无法得到 与EX 的关系进行 的矩估计，为此我们应该计算
38、X 的二阶原点矩 EX2： EX2 2f(；)d 注意到被积函数中 g() 是参数为 的指数分布， 因此积分 可以看作是参数为 的指数分布的随机变量 Y 的二阶原点矩，其值为 EY2DY (EY 2) 2 22 2 又 EX22 2， ， 于是 的矩估量为 设 1， 2， n 是样本 X1， X2，X n 的观测值，似然函数为 解上述方程得 的最大似然估计值为 ，因此 的最大似然估计量为 【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 对于样本观察值 1， 2， n，其似然函数为解似然方程 因此 的最大似然估计值为 ，即 (703205424)3，由于 pPX0e ，根据最大似然估计的不变性
39、，p 的最大似然估计值为e 3 005【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 () 正态总体的方差已知，求期望值 的置信区间公式为将 ，n10， 1500，196 代入上式，得到 I (1498，1502)， 其中 由等式 PU095(UN(0 ，1) 确定 ()根据( )中置信区间公式可知置信区间长度 l ，由于196， ，l1，依题意，应解不等式 1961， 得出n12293因此观察值个数 n 最少应取 123 ()如果置信区间 I( )，根据( )中置信区间公式，应有 1将 ，n100 代入上式，解出354其置信度为 1PU3542(354)109996 求置信度 1 的另一种
40、解法是直接计算概率2(3 54)109996 【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 根据问题特点，设 H 0： 022 ，H 1：22， 若能根据观察值(记作 1， 2， ， 10)，拒绝 H0，就可以支持所要的结论 由于该题属于一个正态总体方差未知关于期望值的假设检验问题我们选取的检验统计量是 T当 0 时，Tt(9) 如果 0，则 T 的值有增大趋势，因此该检验的拒绝域是单侧且应该在 T 取较小的值时拒绝 H0： 0，对于 005，查自由度为 9 的 t 分布表，确定出 005 的左分位点为 183，即 PT1 83010，PT183 PT 1 83005 本题检验的拒绝域为RT183 由样本观察值计算可得 (1027178179， 18 217 217 28 23433
